Prof. Ing. Claudia Madiai

(1)

DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE e AMBIENTALE Sezione Geotecnica

Dinamica dei Terreni Dinamica dei Terreni

Comportamento dei terreni in presenza di carichi dinamici e ciclici

Prof. Ing. Claudia Madiai

DEFINIZIONI

In generale

CARICHI “DINAMICI” : carichi variabili nel tempo (in intensità e/o direzione e/o posizione)

⇒

stati tensionali e deformativi variabili nel tempo

prof. ing. Claudia Madiai

Corso di Ingegneria Geotecnica Sismica

e/o posizione)

⇒

stati tensionali e deformativi variabili nel tempo Se la variazione è abbastanza lenta rispetto alle caratteristiche dinamiche del problema in esame, si può ritenere di essere nel campo delle azioni statiche Nella Dinamica dei Terreni

CARICHI “DINAMICI” : carichi con velocità di applicazionecosì elevata da non poter trascurare le forze di inerzia e gli effettiindotti sul terreno (modifica delle condizioni di drenaggio, effetti viscosi)

CARICHI “CICLICI” : alternanza periodica (più o meno ‘regolare’ ) di fasi di carico, scarico, ricarico

Un carico dinamico può essere: - monotono - ciclico

22

(2)

DEFINIZIONI

Nelle più comuni applicazioni ingegneristiche i carichi dinamici sono generalmente anche ciclici e possono essere di tipo:

impulsivo (esplosioni) contenente frequenze molto elevate (fino anche a 300 Hz)

transitorio (terremoti) contenente prevalentemente frequenze medie (1 ÷10 Hz)

vibratorio(macchine industriali, traffico, etc.) contenente frequenze medio-alte (comunque superiori a 1 Hz)

CARATTERIZZATI DA UN ANDAMENTO ‘IRREGOLARE’

ondulatorio (vento, onde, ..) contenente frequenze molto basse (minori di 1 Hz)

CARATTERIZZATI DA CICLI ‘REGOLARI/PERIODICI’

NB: Anche i carichi più irregolari (come i terremoti) possono essere ricondotti, applicando il teorema di Fourier, ad una sommatoria di carichi ‘regolari’

(funzioni armoniche elementari) ₃₃

LEGAME FREQUENZA-AMPIEZZA-VELOCITÀ DI APPLICAZIONE

Per definire completamente un carico ciclico periodico ad andamento ‘regolare’

(es. sinusoidale, rettangolare, triangolare ) occorre conoscere:

ampiezza

Relazione tra frequenza f , ampiezza A

_max

e velocità di applicazione per un carico ciclico periodico di forma ‘triangolare’

A&

periodo:

T= 1/f

frequenza

durata

T 2T t T 3T

Α

Α_max Α

/(T/4)

A A

& =

m a x

A f 4

A =

&

t t

f = 1/T bassa velocità di carico bassa

T T 3T

f = 1/T alta velocità di carico alta

T/4

-Α_max

44

/(T/4)

m a x

A A

=

(3)

Campi di frequenza tipici di alcune sorgenti di vibrazione

SORGENTE DI VIBRAZIONI CAMPO DI FREQUENZA[HZ]

Terremoti 1÷10

Moto ondoso 0.05 ÷ 0.2

Vento ~ 0.7

Traffico stradale e ferroviario ~ 1

Infissione di pali, cadute di magli 1÷10

Macchine di cantiere 10÷60

Macchine industriali > 10

Esplosioni > 100

55

CARICHI DINAMICI E ONDE SISMICHE

I carichi dinamici producono nel terreno vibrazionimeccaniche che si propagano in tutte le direzioni imprimendo alle particelle del mezzo attraversato dei movimenti di tipo oscillato io(con andamento egola e o i egola e) into no a na posi ione di

tipo oscillatorio (con andamento regolare o irregolare) intorno a una posizione di equilibrio

Si generano così delle onde progressive di sforzo e di deformazione che, per analogia con quelle generate dai terremoti, sono denominate ‘onde sismiche’

Le vibrazioni si attenuano con la distanzadalla sorgente e si smorzano nel tempoa meno che la sorgente non sia continua (es. macchine vibranti)

L’entità e l’andamento nel tempo e nello spa io delle sollecita ioni e defo ma ioni

L’entità e l’andamento nel tempo e nello spazio delle sollecitazioni e deformazioni cicliche indotte nel terreno dai carichi dinamici dipendono strettamente dalle caratteristiche del caricodinamico, oltre che dalle proprietà del terreno

TEORIA DELLE VIBRAZIONI

66

(4)

CARICHI DINAMICI E ONDE SISMICHE

La fase successiva al rilascio di energia è quello della propagazione delle onde sismiche nel mezzo ‘terreno’

I l i i ità d ll t

In generale, in prossimità della sorgente:

- i carichidinamici periodici regolari producono vibrazioni periodiche e regolari;

- i carichidinamici ad andamento impulsivo e casuale producono vibrazioni irregolari Ad una certa distanza dalla sorgente le vibrazioni indotte possono comunque avere un andamento irregolare nel tempo e nello spazio per effetto di vari fenomeni (riflessione e rifrazione all’interfaccia fra i vari strati di terreno e all’impatto con la superficie libera; interazione tra terreno e vibrazioni)

TEORIA DI PROPAGAZIONE DELLE ONDE

La teoria della propagazione delle onde sismiche nei mezzi continui ed elastici è di fondamentale importanza per comprendere i problemi legati alla propagazione delle onde sismiche nei terreni (anche se i terreni reali hanno caratteristiche molto particolari

difficilmente riconducibili a quelle del mezzo continuo ed elastico) 77

CARICHI DINAMICI E ONDE SISMICHE

In prossimità della superficie libera il terreno e le sovrastanti costruzioni sono soggetti a vibrazioni che inducono oscillazioni (libere o forzate) e deformazioni

Se la frequenza fondamentale delle vibrazioni si avvicina a quella del sistema (terreno di fondazione-struttura) si possono avere fenomeni dirisonanza

Vibrazioni della struttura

σ_v σ_v

τ δ +τ +δ

‐δ ‐τ Propagazione delle onde

in direzione verticale

(terreno di fondazione struttura) si possono avere fenomeni di risonanza

Nel seguito, quindi, verrà concentrata l'attenzione sul legame tra sollecitazioni e deformazioni di taglio (piano τ, γ)

In campo dinamico le deformazioni più critiche per la stabilità dei terreni e delle opere sono le deformazioni di taglio γ dovute al passaggio delle onde di taglio (onde S)

ONDES

γ = δ/H =

τ/ G

δ H

γ = deformazione di taglio G = modulo di taglio

+δ δ

88 τ = sforzo di taglio

(5)

CARATTERISTICHE DEI PROBLEMI GEOTECNICI DINAMICI

il carico è dinamico e ciclico (varia rapidamente e irregolarmente nel tempo e nello spazio):

tempo e nello spazio):

⇒ la velocità di applicazione e la successione di fasi di carico, scarico e ricarico producono effetti sul terreno (modifica delle condizioni di drenaggio con possibile accumulo di pressioni interstiziali, effetti viscosi, sviluppo di deformazioni irreversibili, variazione di rigidezza e resistenza)

⇒ sforzi e deformazioni sono funzioni del tempo e si utilizzano

‘equazioni d'onda’ anziché ‘equazioni di equilibrio’ per descrivere le q q q p variazioni dello stato tensio-deformativo

il comportamento del terreno viene definito in termini di tensioni e deformazioni di taglio in un range molto ampio (da piccolissime a grandi deformazioni)

99

PROGETTAZIONE IN ZONA SISMICA

Per la progettazione in zona sismica devono essere affrontate tre fondamentali categorie di problemi:

1. identificazione delle caratteristiche dell‘azione sismica

2. analisi delle modalità di propagazione delle perturbazioni nel mezzo di trasmissione attraversato (terreno) e studio delle mutueinterazioni fra vibrazioni e mezzoattraversato

3. studio deglieffetti indottisul terreno e sui manufatti

Per affrontare i problemi indicati ai punti 2 e 3 è necessaria la conoscenza del comportamento del terreno in condizioni dinamiche

(DINAMICA DEI TERRENI)

10 10

(6)

CARICHI DINAMICI E COMPORTAMENTO DEL TERRENO

l’effetto indotto dai carichi dinamicisul terreno è molto più complesso rispetto alle condizioni statiche specie nei terreni saturi ove la velocità di applicazione dei carichi non consente la dissipazione dellesovrappressioni interstiziali.

dei carichi non consente la dissipazione delle sovrappressioni interstiziali.

Ciò può causare:

- nei terreni poco permeabili (argille) un’attivazione e rafforzamento dei legami intramolecolari e un conseguente incremento della rigidezza e della resistenza - nei terreni molto permeabili (sabbie) una riduzione delle tensioni efficaci e

conseguentemente della resistenza

Sono dunque spesso identificabili condizioni di deformazione e di resistenza

il comportamento del terreno sotto l’azione di carichi dinamici e ciclici è molto più complicato di quello esibito sotto l’azione di carichi dinamici monotoni: la ripetitività del carico fa sì che gli effetti dinamici di modificazione delle condizioni di drenaggio e di natura viscosa possano essere particolarmente rilevanti e produrre nel terreno effetti permanenti significativi

molto diverse durante l’applicazione dei carichi dinamici e dopo

11 11

a)

CARICHI DINAMICI E COMPORTAMENTO DEL TERRENO

Non esistono condizioni di carico esclusivamente dinamico (c’è sempre il peso proprio, poi spinte,

h )

- se il rapporto è piccolo (a)

l’influenza è limitata; ^b)

ε0, u₀

A

carichi esterni…)

L’influenza dei carichi dinamici (e ciclici)dipende dalla velocitàdi applicazione e dal rapportotra l’ampiezza A del carico dinamico e ciclico e lo sforzo statico iniziale τ₀:

; - in caso contrario (b)

l’influenza è sensibile e gli effetti conseguenti dipendono da:

- caratteristiche dell’azione dinamica - natura dei terreni

- condizioni di drenaggio

ε0, u0

A

12 12

(7)

1. conoscenza del comportamento dei terreni attraversati dalle onde sismiche in

CARICHI DINAMICI E COMPORTAMENTO DEL TERRENO

La previsione realistica della risposta di un sottosuolo alle azioni sismiche richiede:

prove di laboratorio che riproducono condizioni analoghe a quelle del terreno in sito sotto una determinata azione sismica

2. identificazione di un modello interpretativodi tale comportamento (legge costitutiva) per ogni strato di terreno attraversato dalle onde sismiche 3. accurata misura o stima dei parametri dinamicirichiesti dal modello

Per affrontare il punto (1) è necessario definire preliminarmente:

a. quali sono glistati di sollecitazione e deformazione indottinell’elemento di volume dalle azioni sismiche

b. come si può applicare ad un provino di laboratorio una sollecitazione di taglio equivalentea quella indotta da un terremoto reale

13 13

a. STATI DI TENSIONE E DEFORMAZIONE INDOTTI DALL’AZIONE SISMICA

L’azione sismica in un deposito determina:

i i i à d ll fi i d

in prossimità della superficie onde prevalentemente di taglio che si propagano verticalmente (onde SH con direzione di propagazione verticale), ovvero tensioni tangenziali τ_cyc e deformazioni di taglio γ_cyc dinamiche e cicliche

condizioni non drenate con l’instaurarsi di sovrappressioni interstiziali

14 14

(8)

1) Prima del sisma sui piani orizzontali e

ti li ti

a. STATI DI TENSIONE E DEFORMAZIONE INDOTTI DALL’AZIONE SISMICA

sforzi normali(totali)σ_ve σ_h

tensioni tangenziali τ_st (nel caso di pendio o di carico applicato in superficie)

verticali sono presenti:

h

2) Durante il sisma vengono indotti

sforzi di taglio dinamici e ciclici τ_cyc

15 15

Il moto del terreno prodotto dall’azione sismica è irregolare in ampiezza e frequenza e pertanto anche glisforzi di tagliohanno unandamento irregolare

+τ

b. NUMERO DI CICLI EQUIVALENTE

τ

In laboratorio, invece, per poter rendere i risultati generalizzabili, è utile fare riferimento a sequenze regolari di forma semplice (armonica, triangolare, rettangolare ecc ) conampiezza e frequenza costantinel tempo

(a) _O

t

−τ

τcyc

rettangolare, ecc. ), conampiezza e frequenza costantinel tempo

È quindi necessario stabilire un’equivalenza tra gli sforzi di taglio applicati in laboratorioe quellipresenti (o ‘attesi’ ) in sito durante l’evento sismico

“TEORIA DEL DANNO EQUIVALENTE”

Seed et al., 1975

“Numero di cicli equivalente”

16 16

(9)

1. Una sequenza irregolare di cicli di carico può essere considerata come una sommatoria di sequenze di cicli regolari, ognuna delle quali costituita daN_icicli di ampiezzaτ_i

b. NUMERO DI CICLI EQUIVALENTE

di ampiezzaτ_i

(b) O

t +τ

−τ

τ_{i i}, Ν

τ₁ τ₂

τ₃ τ₄

τcyc

2. Un elemento di terreno può essere portato a rottura in infiniti modi, ognuno dei quali è caratterizzato da una particolare combinazione di ampiezze dello sforzo di taglio e di numero di cicli,ad esempio :

- con una sommatoria diN_ifcicli di ampiezzaτ_i - conN_efcicli di ampiezza arbitrariaτ_e

17 17

3. L’effetto di N_eqcicli di ampiezza τ_e è equivalente (danno equivalente) a quello della sommatoria di N_icicli di ampiezza τ_i e quindi a quello della sequenza irregolare iniziale (a) :

b. NUMERO DI CICLI EQUIVALENTE

∑

=

if i ef

eq

N N N

N

ef if

i

eq N

N N =

∑

N ⋅

+τ

τ_{e eq}, Ν

Magnitudo M

Numero dei cicli equivalenti N^eq

6 5

O t

−τ

6 5

6.5 8

7 12

7.5 15

8 20

τ_e= 0.65 τmax

18 18

(10)

Modificazioni della struttura del terreno indotte da carichi dinamici e ciclici

Il comportamento del terreno in presenza di carichi dinamici e ciclici è assai complesso a causa di:p

- natura granulare del materiale - presenza di più fasi

- instaurarsi di condizioni non drenate In generale, le azioni dinamiche e cicliche:

¾ in terreni asciutti comportano variazioni di volume

¾ in terreni saturi comportano variazioni delle pressioni interstiziali

Le modifiche della struttura del terreno (MICROSCALA) per effetto di carichi dinamici e ciclici dipendono da:

¾ natura del terreno (coesivo o incoerente)

¾ stato di addensamento o di consistenza iniziale (D_ro I_C)

¾ ampiezza dello sforzo di taglio ciclico (τ)

¾ numero di cicli di carico (N)

19 19

Effetti della ciclicità

MEZZO IDEALE (sferette uguali, lisce e prive di peso)

In relazione allo stato di addensamento iniziale si avrà:

- terreno sciolto⇒ iniziale riduzione di volume - terreno denso⇒ iniziale aumento di volume A PRESCINDERE DALLO STATO INIZIALE:

l’applicazione di un carico ciclico comporta l’alternanza di riduzioni e aumenti di volume; il comportamento è simmetrico (ad una inversione di τ corrisponde un’inversione diδ)

δ τ δ τ

σ σ σ

δ δ

stato sciolto

stato addensato

τ τ

σ σ σ

20 20

(11)

Effetti della ciclicità

MEZZO IDEALE (sferette uguali e lisce) DOTATO DI PESO

S l f d di ’è iù i i il è

Se le sferette sono dotate di peso non c’è più simmetria: il comportamento è diverso in relazione allo stato di addensamento iniziale:

{

τ piccolo ⇒ riduzione di volume immediata e quasi definitiva

τ grande ⇒ aumenti e riduzioni di volume con gradiente decrescente, complessiva densificazione

- stato sciolto

{

decrescente, complessiva densificazione (il materiale tende a ‘dimenticare’ lo stato iniziale)

{

τ piccolo ⇒ movimento ciclico con piccole variazioni di volume regolari

- stato addensato

21 21

Effetti della ciclicità - TERRENI INCOERENTI ASCIUTTI

{

τ piccolo ⇒ riduzione di volume contenuta (spostamento verso il basso delle particelle più piccole e rotazione delle più grandi)e comportamento quasi reversibile

d id i di l i i i l d

- stato sciolto

{

τ grande ⇒ riduzione di volume iniziale grande e progressiva densificazione

τ piccolo ⇒ solo movimento ciclico delle particelle con variazioni di volume praticamente nulle

- stato addensato

{

τ grande ⇒ alternanza di aumenti (comportamento dilatante)e riduzioni di volume con progressiva lenta densificazione

τ τ

σ σ σ

δ

δ δ

δ

STATO SCIOLTO (e τgrande)

STATO ADDENSATO (e τpiccolo)

δ δ

τ

22 22

(12)

Effetti della ciclicità - TERRENI COESIVI ASCIUTTI

progressiva rottura dei legami; orientamento delle particelle;

significative diminuzioni di volume - soffici

{

significative diminuzioni di volume

variazioni di volume significative solo per

τ

grandi; alternanza di aumenti (comportamento dilatante) e riduzioni di volume con complessiva diminuzione per numero di cicli elevato

- compatti

{ {

τ τ

σ σ σ

δ δ

23 23 TERRENO SOFFICE

Agli effetti della ciclicità (“load repetition effects”) si aggiungono altri effetti legati alla velocità di applicazionedei carichi (“strain velocity effects”) che complicano

t l t il d d ll ibili i t d l t tt tt i

Effetti della velocità di applicazione del carico

notevolmente il quadro delle possibili risposte del terreno soprattutto in presenza di acqua

Il comportamento di un terreno saturo è governato dal principio delle pressioni efficacie la resistenza a rottura è convenzionalmente descritta dal criterio di Mohr-Coulomb

τ = σ‘ tg ϕ’ + c’

σ’ = σ ‐ u

L’applicazione veloce di carichi ciclici in un terreno saturo produce condizioni non drenate e quindi una modificazione del regime delle pressioni interstiziali e delle pressioni efficaci, con ricadute sulla rigidezza e sulla resistenza al taglio

24 24

(13)

Comportamento dei terreni in condizioni di carico dinamico e ciclico

(o Tσ_d)

carico monotono

Prova triassiale ciclica

- apparecchiatura avanzata e complessa - modalità di prova complessa

rappresentazione dei risultati sul piano q

t (o Tσ_d)

t carico ciclico - rappresentazione dei risultati sul piano q, ε_a

σ1c

σ3c

σd

σ1c

σ3c

σ1c

σ3c

σd

εa

(u_o) (uo+ Δu)

(uo+ Δu)

Prova di taglio semplice ciclico - apparecchiatura avanzata e complessa

- prove capaci di simulare bene le condizioni dei depositi reali durante i terremoti - rappresentazione dei risultati sul piano τ, γ

σ’v

σ’^h

δ T(t)

σ’h

σ’^v

T(t) δ

σ’h

σ’^v

H (u⁰) (u0+ Δu) (u0+ Δu) 2525

Prova triassiale: carico dinamico monotono (1/2)

σ1c

σd

200

Prova rapida (”dinamica”) (tempo di applicazione= 0.02 sec) prof. ing. Claudia Madiai

σ1c

σ3c

σ1c

σ3c

εa

(u_o) (uo+

Δu)

( )

3 p σ¹^c+σ^d +2σ³^c

=

(

₁_c _d

)

₃_c

q = σ + σ − σ N B

Nella prova rapida sia la rigidezza (E=σ /ε ) sia ione assiale, [kPa]σa

100

150 Prova lenta (”statica”)

(tempo di applicazione= 4 min)

N.B.

Nella prova rapida sia la rigidezza (E=σ_a/ε_a) sia la resistenza a rottura (σ_a,max) sono molto più elevate di quelle relative alla prova lenta

(con velocità di carico minori il terreno ha la possibilità di sfogare fenomeni deformativi dicreep, a sforzo costante, e di relaxation, a deformazione costante, invece impediti quando la velocità è

elevata) Deformazione assiale, [%]εa

Tensi ₅₀

0

2 4 6 8 10 12

w = 44%

26 26

(14)

Prova triassiale: carico dinamico monotono (2/2)

(I hih 1996) materiali argillosi e limosi (Ip = 15-50 %; w=20-50%)

(Ishihara, 1996)

Ed/Est

-perε_a< 0.2%, il modulo di Young secante, E_d, non è molto influenzato dalla velocità di applicazione del carico (E_d/E_st؆ 1)

-perε_a> 2% E_d/E_st> 1

(con una tendenza a crescere all’aumentare diε_a, fino a raggiungere valori superiori a 2)

Deformazione assiale, ε_a

- la resistenza in prove rapide è sempre maggiore di quella in prove statiche e il rapporto tra resistenza dinamica e resistenza statica può raggiungere valori anche superiori a 2

27 27

In generale la resistenza al taglio in condizioni di carico dinamico monotono è maggiore di quella in condizioni statiche

Prova di taglio semplice: carico dinamico monotono

γ = δ/h = tg(θ) ≅ θ τ = Τ/Α

con A: area della sezione

τ σ δ

θ h

⎪⎩

⎪ ⎨

⎧

÷

=

⇒

÷

=

⇒

=

15 . 1 0 . 1

0 . 3 5 . 1 F sabbie

F argille resistenza dinamica

F

T: forza di taglio

resistenza statica

28 28

(15)

Parametri che influenzano la resistenza in condizioni dinamiche

In generale la resistenza al taglio in condizioni di carico dinamico aumenta all’aumentare del grado di sovraconsolidazione, OCR, dell’indice di plasticità, I_P, e della velocità di deformazione,

γ&

29 29

Comportamento dei terreni in condizioni di carico dinamico monotono

curva di decadimento della rigidezza con la deformazione prof. ing. Claudia Madiai

Parametri che definiscono la curva dorsale: •modulo di taglio iniziale, Gmax(o G0) Parametri che definiscono la curva dorsale:

γ γ

curva sforzi deformazioni di taglio (‘backbone curve’

o ‘curva dorsale’)

Parametri che definiscono la curva dorsale: modulo di taglio iniziale, Gmax(o G0)

•sollecitazione di taglio massimaτmax

Sulla curva G-γ si identificano due importanti livelli deformativi (soglie di deformazione):

Parametri che definiscono la curva dorsale:

(≅ iperbole )( ) ( τ )γ γ γ

τ + ⋅

= ⋅

max max

max

/ 1 G

G

•

soglia di deformazione lineare (o elastica),

γ

l

•

soglia di deformazione volumetrica,

γ

^v

30 30

(16)

DEFINIZIONI

SOGLIA DI DEFORMAZIONE LINEARE (O ELASTICA),

γ

_l:

deformazione di taglio oltre la quale il comportamento del terreno diventa marcatamente non lineare

marcatamente non lineare.

Convenzionalmente viene definita, con riferimento alla curva G-γ, come la deformazione di taglio in corrispondenza della quale il valore del modulo di taglio G è pari al 95% del valore del modulo di taglio massimo Gmax

γ

_l

= γ (G=0.95 G

_max

)

SOGLIA DI DEFORMAZIONE VOLUMETRICA,

γ

_v^:

deformazione di taglio oltre la quale g q

- in condizioni drenate si hanno deformazioni volumetriche irreversibili - in condizioni non drenate si hanno incrementi della pressione interstiziale È definita come la deformazione di taglio in corrispondenza della quale il rapporto tra le sovrappressioni interstiziali e la pressione media di confinamento raggiunge un valore prestabilito (di norma Δu/σ’₀=1%) L’esperienza ha evidenziato che per γ=γ_v, G/G_max=0.60÷0.85

31 31

I domini di comportamento del terreno e le relative soglie di deformazione, identificate sulla “curva dorsale” con riferimento a prove dinamiche di taglio monotone, possono essere identificate anche in condizioni dinamiche e cicliche

Prova di taglio semplice: carico dinamico ciclico

Si considerano tre provini saturi dello stesso materiale (1, 2 e 3):

• consolidati alla stessa pressione di consolidazione verticale (σ’_v)

• sottoposti a sforzi di taglio ciclici regolari, totalmente invertiti, di ampiezza rispettivamente pari aτ1,τ2,τ3(τ1<τ2<τ3)

(“prova a sforzo controllato”)

Consolidazione

CON RIFERIMENTO AL 1° CICLO DI CARICO

32 32 (Provini1,2e 3)

σ’^v σ’h H (u⁰)

Consolidazione

σ’h

σ’v

T(t) (u⁰+ Δu) δ

γl γv

τ G⁰ G

1

1 τmax

γ τ3

τ2 τ1

(17)

Comportamento dei terreni in prove dinamiche e cicliche di laboratorio

Per uno sforzo di taglio ciclico,τ₁, molto basso (⇒ γ₁molto bassa), si osserva:

τ

all’aumentare del numero dei cicli di carico-scarico, l'andamento delle PROVINO 1 COMPORTAMENTO (VISCO)ELASTICO LINEARE

t

t t τ₁

τ1

τ τ

γ

γ γ

u DOMINIO ELASTICO LINEARE

SFORZO

CONTROLLATO DEFORMAZIONE CONTROLLATA

γ1

τ1

Δu

deformazioni e delle pressioni interstiziali è caratterizzato da piccole oscillazioni intorno allo zero

i cicli di carico, scarico, ricarico risultano praticamente ‘chiusi’ (modesta dissipazione di energia) e sovrapposti indipendentemente dal valore di τ₁ (comportamento elastico lineare)

33 33

Comportamento dei terreni in prove dinamiche e cicliche di laboratorio

Per uno sforzo di taglio ciclico maggiore (τ₂>τ₁), ovvero tale da produrre una deformazione di taglio ciclica maggiore (γ₂>γ₁), si osserva:

SFORZO CONTROLLATO

DEFORMAZIONE CONTROLLATA

PROVINO 2 COMPORTAMENTO VISCOELASTICO NON LINEARE (ISTERETICO STABILE) CONTROLLATO CONTROLLATA

t

t t

τ τ₂

γc

τ τ

γ γ

γ

N

1 10 100

γ_c γ

u DOMINIO ISTERETICO STABILE

G

1

Δu

i cicli di carico, scarico, ricarico sono approssimabili ad ellissi (cicli di isteresi)

⇒ si ha dissipazione significativa di energia per attrito

all’aumentare del numero dei cicli di carico l’ampiezza massima della deformazione ciclica cresce, stabilizzandosi intorno a un valore limiteγ_c; i cicli di isteresi tendono a sovrapporsi, assumendo la stessa forma (comportamento non lineare:γ_ce energia dissipata dipendono dal valore diτ₂)

le pressioni interstiziali oscillano intorno allo zero in modo all’incirca

simmetrico ³⁴³⁴

(18)

Comportamento dei terreni in prove dinamiche e cicliche di laboratorio

Per uno sforzo di taglio ciclico ancora maggiore (τ₃ > τ₂), ovvero tale da produrre una deformazione di taglio ciclica elevata (γ₃>γ₂), si osserva:

SFORZO CONTROLLATO

DEFORMAZIONE CONTROLLATA

PROVINO 3 COMPORTAMENTO VISCO-ELASTO- PLASTICO NON LINEARE

(ISTERETICO INSTABILE) t

t

τ τ₃

γ_c γ

γ

N

1 10 100

γ_V u

DOMINIO ISTERETICO INSTABILE

τ τ

γ γ

G₁

1 ₁G_n

γ_c CONTROLLATO CONTROLLATA

Δu

l’ampiezza delle deformazioni e le pressioni interstiziali crescono progressivamente con il numero di cicli di carico

all'aumentare del numero dei cicli di carico, l'area racchiusa da ciascun ciclo di isteresi è sempre maggiore e la direzione della retta congiungente gli estremi è sempre più inclinata

l'azione continuata degli sforzi di taglio ciclici produce una crescente instabilità della struttura interna del terreno che porta il provino al collasso ₃₅₃₅

Definizione del rapporto di smorzamento

¾ Il comportamento dissipativo del terreno viene interpretato facendo riferimento ad un cicloτ-γ corrispondente all’intera sequenza di carico, scarico e ricarico

¾ La rigidezza media durante il ciclo è espressa con il modulo elastico equivalente G =τ /γ (rapporto tra le ampiezze picco picco di tensione e deformazione);

backbone curve pp

pp

G

eq

γ

= τ

S D

W D W

π

= 4

G_eq=τ_pp/γ_pp(rapporto tra le ampiezze picco-picco di tensione e deformazione);

se i cicli tensione-deformazione sono simmetrici, G_eqcoincide con il modulo secante G della backbone curve

¾ L’energia dissipata è definita mediante il rapporto di smorzamento D

W_D W_S γ_c

pp

•W_D= area del ciclo di isteresi

•W_S= energia elastica immagazzinata inOA

La definizione di D deriva dalla teoria delle oscillazioni libere smorzate di un sistema visco-

elastico ad un grado di libertà 3636

(19)

Definizione del rapporto di smorzamento

MODELLO DI KELVIN-VOIGT m = massa del sistema

k t t l ti d ll ll

u

k = costante elastica della molla

c = coefficiente di viscosità dello smorzatore u = spostamento del sistema

= 0 + + c u ku u

m && &

Si definisce:

Equazione di moto per oscillazioni libere (F(t)=0) [1]

pulsazione naturale del sistema

coefficiente di smorzamento critico

RAPPORTO DI SMORZAMENTO

0

0 2 f

m

k π

ω = = [2]

[3]

k [4]

c m

c km c c

c

c 2 2 2

0 0

ω

ξ

= = =

ω

=

km c_c =2

37 37

Definizione del rapporto di smorzamento

Con le suddette definizioni l’equazione di moto diventa: u_&&+2

ξω

₀u_&+

ω

₀²u=0

Riferendosi al sistema ad un grado di libertà (SDOF - Single Degree of Freedom) visco-elastico di Kelvin-Voigt,

t u

t

u ( ) =

₀

sin ω

La for a esercitata s lla massa dalla molla e dallo smor atore iscoso è la velocità è data da :

u & ( t ) = ω u

₀

cos ω t

soggetto ad uno spostamento armonico:

La forza esercitata sulla massa dalla molla e dallo smorzatore viscoso è:

t u

c t ku

t F t F t u c t ku t

F ( ) = ( ) + & ( ) =

_k

( ) +

_c

( ) =

₀

sin ω + ω

₀

cos ω

componente non dissipativa

componente dissipativa

38 38

(20)

Definizione del rapporto di smorzamento

L’energia dissipata in un ciclo di oscillazione, ovvero tra t₀e t₀+T, è data dall’area interna al ciclo di isteresi ovvero:

/

2 2 /

0 0

t

du

t

ω

π

π π ω

+ +

2 0 2

0 2 2

2 0 2

0 0

cos t dt c u c u

u c dt dt F du W

t t

c

D

π ω

ω ω π ω

ω = =

=

= ∫ ∫

^[7]

02

2 1 ku

W

_S

=

_[8]

D ll i i[7] [8] h

F

u₀ -u₀

ku₀ u0

ω c In corrispondenza del massimo spostamento, la

velocità è nulla e l’energia elastica accumulata è data da:

u Dalle equazioni[7]e[8]segue che:

) /( u

₀²

W

c =

_D

π ω k = 2 W

_S

/ u

₀²

Sostituendo le espressioni dic e k nella[4], avendo posto si ottiene la definizione di:

ω

0

ω

=

S D

c

W

W k

c c D c

π ξ ω

4 2

0

=

39 39

Definizione del rapporto di smorzamento

Se il comportamento del terreno è rappresentabile con il modello di Kelvin-Voigt

• l’equazione sforzi-deformazioni è data da

e seγ ha andamento armonico con ampiezza γ_ce frequenza circolareω γ

G' γ G

τ= ⋅ + ⋅&

• un ciclo di isteresi è rappresentato da un’ellisse di area

• l’energia elastica immagazzinata tra 0 eγ_cè:

'

_c2

D

G

W = ω π γ

^τ

γ_c Gγ_c

G’ωγ_c 2

2 1

c

S

G

W = γ

^γ

) :

' G

(

viscosità

Si osserva che D dipende dalla frequenza del carico ciclico, ovvero dalla velocità di deformazione

NOTA: i metodi per la determinazione del rapporto di smorzamento da prove dinamiche di laboratorio fanno riferimento al SDOF visco-elastico di Kelvin-Voigt

G G W D W

S D

2 ' 4

ω

π ⁼

Vale quindi la

=

seguente relazione:

40 40

(21)

DOMINI DI COMPORTAMENTO

In relazione all'ampiezza dello sforzo di taglio dinamicoτ (o della deformazione di taglioγ) i terreni mostrano comportamenti diversi. Al crescere dell'ampiezza della deformazione di taglio si individuano tre diversi domini di comportamento:

1) elastico lineare, per γ < γ_l 1) elastico lineare, per γ γ_l 2) isteretico stabile, per γl<γ < γv

3) isteretico instabile, per γ > γ_v

1) 2) 3)

ELEVATE

γ_l≅ 10^-3÷10^-2% γ_v≅ 10^-2÷10^-1%

41 41

Dominio elastico lineare

Si è nel dominio ‘elastico lineare’ quando γ < γ_l Tale dominio di comportamento è caratterizzato da:

deformazioni permanenti trascurabili (comportamento reversibile) con

deformazioni permanenti trascurabili (comportamento reversibile) con dissipazione di energia durante un ciclo di carico, scarico, ricarico, molto bassa (1% ≤ D₀≤ 5%)

andamento dei cicliτ−γ approssimativamente indipendente dal livello deformativo (comportamento lineare: D=D₀e G=G₀)

sovrappressioni interstiziali praticamente nulle

⇒

il comportamento lineare del terreno è descritto mediante i parametri G₀ e D₀

PROBLEMI DINAMICI: fondazioni di macchine vibranti, vibrazioni prodotte da transito di veicoli, macchine di cantiere, misure geofisiche etc.

MODELLI: elastico o visco-elastico lineare

PARAMETRI: modulo di taglio iniziale, G₀, e rapporto di smorzamento iniziale, D₀ Bassi livelli deformativi (γ ≤ γl≅ 5·10^-3%)

42 42

(22)

Dominio elastico lineare

ELEVATE

γ l

γ <

43 43

Dominio isteretico stabile

Si è nel dominio ‘isteretico stabile’ quando γl< γ < γv

Tale dominio di comportamento è caratterizzato da:

deformazioni permanenti modeste; significativa dissipazione di energia durante un

deformazioni permanenti modeste; significativa dissipazione di energia durante un ciclo di carico, scarico, ricarico (comportamento visco-elastico)

deformazione massima crescente per alcuni cicli di carico fino ad un valore limite legato all’entità della sollecitazione in modo non lineare;

forma dei cicli τ−γ tendenti ad un limite legato al livello deformativo raggiunto

sovrappressioni interstiziali oscillanti intorno allo zero, con media quasi nulla

⇒

il comportamento non lineare del terreno è descritto mediante curve G(γ) e D(γ)

PROBLEMI DINAMICI: terremoti (risposta sismica locale), carichi ciclici irregolari transitori con frequenze tra 1 e 10 Hz

MODELLI: visco-elastico lineare equivalente o non lineare PARAMETRI: G₀, D₀e leggi di variazione G=G(γ) e D=D(γ) Medi livelli deformativi (5·10^-3%≅ γ_l≤ γ ≤ γ_v≅ 10^-1%)

44 44

(23)

Dominio isteretico stabile

ELEVATE

l

γ γ

γ

_l

< γ < γ

_v

γ < <

45 45

Dominio isteretico instabile

(1/2) Si è nel dominio isteretico stabile quando γ > γv

Tale dominio di comportamento è caratterizzato da:

p

significative deformazioni permanenti (comportamento elasto-plastico)

ampiezza massima della deformazione legata all’ampiezza della sollecitazione e progressivamente crescente col numero di cicli di carico N; significativa dissipazione di energia durante un ciclo di carico, scarico, ricarico con

andamento dei cicli di isteresi dipendente dal livello deformativo raggiunto e dal numero di cicli di carico N (comportamento marcatamente non lineare)

accumulo di deformazioni volumetriche nei terreni asciutti o accumulo di deformazioni e sovrapressioni interstiziali nei terreni saturi all’aumentare del deformazioni e sovrapressioni interstiziali nei terreni saturi, all aumentare del numero di cicli di carico N

⇒

il comportamento del terreno deve essere descritto mediante relazioni G(γ, N), D(γ, N) e Δu(γ, N)

46 46

(24)

Dominio isteretico instabile

(2/2)

Inoltre, poiché applicando un numero crescente di cicli si può raggiungere la rottura

⇒

è necessario talvolta conoscere le leggi di degradazione della gg g resistenza del terreno con il numero dei cicli τ_cyc= τ_cyc(N)

PROBLEMI DINAMICI: terremoti distruttivi e esplosioni (carichi ciclici irregolari transitori di notevole entità e con frequenze elevate)

MODELLI: non lineari elastoplastici, con incrudimento, ecc.

PARAMETRI: G₀, D₀e leggi di variazione con deformazione di taglioγ e numero Elevati livelli deformativi (γ ≥ γv≅ 10^-1%)

di cicli N: G = G(γ, N); D = D(γ, N); Δu = Δu (γ, N) τ_cyc=τ_cyc(N)

(per livelli deformativi γ > 5 ·10^-1% si può definire un dominio di collasso incrementalecon sviluppo di elevate deformazioni progressive fino alla rottura generalizzata dei contatti interparticellari)

47 47

Dominio isteretico instabile

ELEVATE

γ

v

γ >

48 48

(25)

TERRENI A GRANA GROSSA E A GRANA FINE

Dal punto di vista qualitativo i comportamenti descritti sono caratteristici di tutti i terreni;

nello specifico la risposta dei terreni a grana grossa si differenzia da quella dei terreni a grana fine

grana fine

Ilcomportamento dei terreni a grana grossaè governato esclusivamente da:

modificazioni dello scheletro solido (dilatanza)

principio delle pressioni efficaci

Ilcomportamento dei terreni a grana fineè più complesso e dipende anche dalla t d i l i i t ti ll i

natura dei legami interparticellari

In particolare l’applicazione veloce di carichi dinamici potenzia i legami interparticellari mentre l’applicazione di carichi ciclici opera nella direzione opposta, che è quella di produrre fenomeni di fatica del materiale e una sua progressiva destrutturazione

49 49

SOGLIE DI DEFORMAZIONE

L’esperienza ha evidenziato che

γ

_v/ γ_l؆ 30 (Vucetic, 1994)

γ

_v‐ γ_l؆ un ordine di grandezza (massimo due) Valori tipici della soglia lineare:γ ≅ 10^-3÷10^-2%

Valori tipici della soglia lineare:γ_l≅ 10³÷10²% Valori tipici della soglia volumetrica:γ_v≅ 10^-2÷10^-1%

I valori delle soglie sono più elevati per le argille che per le sabbie FATTORI CHE INFLUENZANO LE DUE SOGLIE:

1) nei terreni incoerenti: indice dei vuoti

pressione di confinamento (tensioni geostatiche)

composizione granulometrica

2) nei terreni coesivi:

composizione granulometrica

indice di plasticità

grado di sovraconsolidazione

velocità di deformazione

aging e cementazione

N.B. Le due soglie dipendono invece poco dalla

pressione di confinamento 5050

(26)

SABBIE – Andamento del rapporto sovrappressioni interstiziali/pressione di confinamento per diversi valori di D_r

SOGLIE DI DEFORMAZIONE

Δu/σ’₀= 0 per γ < 10^‐4 Δu/σ’0

51 51

TERRENI COESIVI – Influenza di I

_P

su γ

_l

SOGLIE DI DEFORMAZIONE

1.E-01

1.E-03 1.E-02

c threshold shear strain, γl [%]

Senigallia Quaternary soils

Senigallia Plio-Pleistocene soils

}

Crespellani e Simoni (2007) γ_l= 0.0001 I_P^1.326 R² 0 865 a elastica lineare,γl[%]

1.E-04

0 10 20 30 40 50 60 70

plasticity index, PI [%]

linear cyclic Senigallia Plio-Pleistocene soils

Gori (1998)

Several Authors (from Lo Presti, 1989) Silvestri (1991)

Simoni (2003)

}

_R₂_=0.865

Indice di plasticità, I_P[%]

Soglia

52 52

(27)

TERRENI COESIVI – Influenza di I

_P

su γ

_v

SOGLIE DI DEFORMAZIONE

1 E+00

1.E-02 1.E-01 1.E+00

clic threshold shear strain,

γV [%]

Senigallia Quaternary soils Lo Presti (1989)

Lo Presti (1989)

Vucetic (1994)

}

Crespellani e Simoni (2007) γ_v= 0.0024 I_P^0.859 a volumetrica,γv[%]

1.E-03

0 10 20 30 40 50 60 70

plasticity index, PI [% ]

volumetric cyc Senigallia Quaternary soils

Gori (1998) Simoni (2003) Tika et Al. (1999) Lo Presti (1989)

}

^γ^v ^P

R²=0.762

Soglia

Indice di plasticità, I_P[%]

53 53

SOGLIE DI DEFORMAZIONE

ARGILLE DI SENIGALLIA I fl di I

Influenza di I_Psu γl e γv

γ_v‐ γ_l≅ costante al variare di IP

ARGILLE DI SENIGALLIA Influenza di σ’₀sull’incremento delle

pressioni interstiziali

54 54

(28)

Influenza di OCR e di IP su γ

_v

SOGLIE DI DEFORMAZIONE

volumetrica,γv[%]

Grado di sovraconsolidazione, OCR

Soglia

55 55

Prof. Ing. Claudia Madiai

Dinamica dei Terreni Dinamica dei Terreni

Prof. Ing. Claudia Madiai

DEFINIZIONI

⇒

⇒

Un carico dinamico può essere: - monotono - ciclico

DEFINIZIONI

Nelle più comuni applicazioni ingegneristiche i carichi dinamici sono generalmente anche ciclici e possono essere di tipo:

LEGAME FREQUENZA-AMPIEZZA-VELOCITÀ DI APPLICAZIONE

Relazione tra frequenza f , ampiezza A

e velocità di applicazione per un carico ciclico periodico di forma ‘triangolare’

A&

/(T/4)

A A

& =

A f 4

A =

&

/(T/4)

A A

=

Campi di frequenza tipici di alcune sorgenti di vibrazione

CARICHI DINAMICI E ONDE SISMICHE

CARICHI DINAMICI E ONDE SISMICHE

CARICHI DINAMICI E ONDE SISMICHE

τ/ G

CARATTERISTICHE DEI PROBLEMI GEOTECNICI DINAMICI

 il carico è dinamico e ciclico (varia rapidamente e irregolarmente nel tempo e nello spazio):

tempo e nello spazio):

⇒ sforzi e deformazioni sono funzioni del tempo e si utilizzano

‘equazioni d'onda’ anziché ‘equazioni di equilibrio’ per descrivere le q q q p variazioni dello stato tensio-deformativo

 il comportamento del terreno viene definito in termini di tensioni e deformazioni di taglio in un range molto ampio (da piccolissime a grandi deformazioni)

PROGETTAZIONE IN ZONA SISMICA

Per la progettazione in zona sismica devono essere affrontate tre fondamentali categorie di problemi:

1. identificazione delle caratteristiche dell‘azione sismica

Per affrontare i problemi indicati ai punti 2 e 3 è necessaria la conoscenza del comportamento del terreno in condizioni dinamiche

CARICHI DINAMICI E COMPORTAMENTO DEL TERRENO

CARICHI DINAMICI E COMPORTAMENTO DEL TERRENO

CARICHI DINAMICI E COMPORTAMENTO DEL TERRENO

a. STATI DI TENSIONE E DEFORMAZIONE INDOTTI DALL’AZIONE SISMICA

L’azione sismica in un deposito determina:

1) Prima del sisma sui piani orizzontali e

ti li ti

a. STATI DI TENSIONE E DEFORMAZIONE INDOTTI DALL’AZIONE SISMICA

verticali sono presenti:

2) Durante il sisma vengono indotti

b. NUMERO DI CICLI EQUIVALENTE

b. NUMERO DI CICLI EQUIVALENTE

b. NUMERO DI CICLI EQUIVALENTE

∑

∑

Modificazioni della struttura del terreno indotte da carichi dinamici e ciclici

Effetti della ciclicità

MEZZO IDEALE (sferette uguali, lisce e prive di peso)

δ τ δ τ

δ δ

δ δ

stato sciolto

stato addensato

τ τ

Effetti della ciclicità

MEZZO IDEALE (sferette uguali e lisce) DOTATO DI PESO

{

{

{

Effetti della ciclicità - TERRENI INCOERENTI ASCIUTTI

{

{

{

δ

δ δ

δ

Effetti della ciclicità - TERRENI COESIVI ASCIUTTI

{

τ

{ {

τ τ

σ σ σ

δ δ

il carico è dinamico e ciclico (varia rapidamente e irregolarmente nel tempo e nello spazio):

il comportamento del terreno viene definito in termini di tensioni e deformazioni di taglio in un range molto ampio (da piccolissime a grandi deformazioni)