Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Prof. A. Andreazza
Interazioni nucleone-nucleone
Lezione 6
Interazioni nucleone-nucleone
• Finora abbiamo visto delle proprietà generiche dei nuclei:
– massa, dimensione, carica
• ...ed abbiamo considerato alcuni casi di decadimento ed interazioni.
– da cui abbiamo potuto trarre delle informazioni generali sulle forze nucleari
• Per fare dei progressi possiamo studiare il sistema più semplice:
– interazioni tra due nucleoni
• Per poterle interpretare, bisogna introdurre dei concetti nuovi:
– spin: momento angolare intrinseco di una particella – fermioni: principio di esclusione di Pauli
– teoria dello scattering quantistico
• Dallo studio del sistema legato p-n (deutone):
– proprietà del potenziale di interazione: energia potenziale, dipendenza dallo spin, struttura non centrale
• Dallo scattering nucleone-nucleone:
– indipendenza delle interazioni forti dalla carica
Spin
• Una particella può presentarsi con un momento angolare intrinseco
– Intuitivamente può venire visto come se la particella ruotasse su sé stessa.
– È un grado di libertà interno della particelle.
– Corrisponde a come la funzione d’onda di questo grado di libertà interno cambia in seguito ad una rotazione.
• Oltre all’operatore di momento angolare orbitale L:
– L2 può avere autovalori l(l+1)ħ2, l=0, 1, 2, 3, ...
– Dato un asse di riferimento (es. z), Lz ha autovalori mħ, m=l, l-1, ..., -l+1, -l – Esistono gli operatori di innalzamento e abbassamento
• Compare un operatore di spin, corrispondente al momento angolare intrinseco.
• Il momento angolare totale è dato da:
L = r × p = −i!r × ∇ [ L
i, L
j] = i! ε
ijkL
kS [ S
i, S
j] = i! ε
ijkS
k[ L
i, S
j] = 0
J = L + S
L
±= L
x± iL
ySpin
• L’autovalore di S
2=s(s+1)ħ
2è una proprietà intrinseca della particella, al pari di carica e massa
• Se consideriamo una particella in un potenziale centrale, la sua funzione d’onda sarà etichettata in base ai numeri quantici radiale, di momento angolare orbitale e dall’autovalore m
sdi S
z.
• Siccome lo spin non dipende dalla posizione, si può utilizzare una notazione vettoriale per fattorizzare questo grado di libertà interno.
– Ad esempio se s=1:
N.B.: da qui in poi, parlando di momenti angolari, diremo in maniera impropria:
• che una particella ha spin s se il suo autovalore di S2 è s(s+1)ħ2 e, di conseguenza, Sz può assumere valori da –sħ a sħ
• inoltre, in generale, ometteremo di scrivere esplicitamente ħ
ψ
n, l,m,ms(r)
ψ
n, l,m, 1(r) = ψ
n, l,m(r) 1 0 0
⎛
⎝
⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ , ψ
n, l,m, 0(r) = ψ
n, l,m(r) 0 1 0
⎛
⎝
⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ , ψ
n, l,m, −1(r) = ψ
n, l,m(r) 0 0 1
⎛
⎝
⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟
Spin 1/2
• Consideriamo, su uno spazio bi-dimensionale, gli operatori:
• Dove le σ
isono le “matrici di Pauli”:
• È immediato verificare che questi operatori soddisfano le regole di commutazione del momento angolare:
• S
2ha autovalore 3/4:
• S
3ha autovalori ±1/2
• Hanno le proprietà degli operatori di un momento angolare con s=1/2!
• Mentre il momento angolare orbitale può assumere solo valori interi, lo spin di una particella può assumere valori interi e semi-interi.
S
i= 1 2 σ
iσ
1= 0 1
( 1 0 ) , σ2 = ( 0 −i i 0 ) , σ
3 = ( 1 0 0 −1 )
S
i, S
j[ ] = i ε
ijkS
kS
2= S
12+ S
22+ S
32= 1 4 σ
12+ σ
22+ σ
32[ ] = 1 4 [ I + I + I ] = 3 4 I I = ( 1 0 0 1 )
Rotazioni: momento angolare orbitale
• Ricordiamo che gli operatori di momento angolare sono i generatori delle rotazioni.
• Esempio:
– consideriamo una rotazione di un angolo infinitesimo δω attorno all’asse z:
– ed una rotazione finita di un angolo ω è data da:
ψ (x, y, z) → ψ (x − y δω , y + x δω , z)
≈ ψ (x, y, z) − y δω ∂
∂x ψ (x, y, z) + x δω ∂
∂y ψ (x, y, z)
= ψ (x, y, z) − i
! y δω −i! ∂
∂x
⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟ ψ (x, y, z) + i
! x δω −i! ∂
∂y
⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟ ψ (x, y, z)
= ψ (x, y, z) + i
! δω ( xp
y− yp
x) ψ (x, y, z) = 1 + i
! δω L
z⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟ ψ (x, y, z)
ψ (x, y, z) → exp i
! ω L
z⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟ ψ (x, y, z)
Rotazioni: spin 1/2
• Vediamo come si comporta una funzione d’onda per spin 1/2.
• L’operatore di rotazione è dato da:
• Una funzione d’onda con S
z=+1/2:
• Una funzione d’onda con S
z=-1/2:
• Come le autofunzioni del momento angolare, che per rotazione cambiano di una fase mω
• Per una rotazione di 2π: ψ→-ψ exp i ( ω S
z) = 1
n! ( i ω S
z)
nn=0 +∞
∑ = n! 1 ⎛ ⎜ ⎝ i ω 2 ⎡ ⎣⎢ 0 −1 1 0 ⎤ ⎦⎥ ⎞ ⎠ ⎟
n
n=0 +∞
∑
=
1
n! ( i ω / 2 )
nn=0 +∞
∑ 0
0 1
n! ( −i ω / 2 )
nn=0 +∞
∑
⎡
⎣
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥
⎥ ⎥
= exp(i ω / 2) 0
0 exp(−i ω / 2)
⎡
⎣ ⎢ ⎤
⎦ ⎥
ψ
+1/2= 1
( ) 0 → eiω2ψ
+1/2
ψ
−1/2 = 0
( ) 1 → e−iω2ψ
−1/2
Fermioni e bosoni
• Il numero quantico di spin può assumere valori interi o semi-interi
– particelle con spin intero sono dette bosoni esempio: il fotone ha s=1
– particelle con spin semi-intero sono dette fermioni esempio: elettrone, protone, neutrone hanno s=1/2
• Per una rotazione di 2π i bosoni non cambiano, mentre i fermioni cambiano di segno.
• Una trattazione matematica consistente mette in evidenza un’altra differenza fondamentale:
– nel caso un sistema contenga particelle identiche:
– se sono bosoni, la funzione d’onda globale deve risultare simmetrica per lo scambio di particelle
– se sono fermioni, la funzione d’onda globale deve risultare anti-simmetrica per lo scambio di particelle
• Un corollario importante è il principio di esclusione di Pauli:
– due fermioni identici non possono avere gli stessi numeri quantici
Somma di momenti angolari
• Se abbiamo un’Hamiltoniana invariante per rotazione, il momento angolare totale J=L+S è una quantità conservata.
– Non lo sono invece L ed S separatamente.
– Mentre lo sono L
2ed S
2, essendo quantità scalari.
• Ci si pone il problema di determinare quali sono i valori possibili di j e come sono fatte le funzioni d’onda.
• La tecnica consiste:
– nel classificare le autofunzioni di L ed S in base a jz=lz+mz
– usare gli operatori J+=L++S+ e J-=L-+S- per determinare le diverse autofunzioni di mj per un certo j
– si utilizza la relazione (derivata dalle regole di commutazione del momento angolare):
• Il risultato è che j=l+s, l+s-1, l+s-2, ..., |l-s|
J
+j, m
j= j( j +1) − m
j(m
j+1) j, m
j+1 J
−j, m
j= j( j +1) − m
j(m
j−1) j, m
j−1
|j,mj⟩ = funzione d’onda con momento angolare j e componente z mj
Esempio: l=1, s=1/2
mj=lj+sj Autofunzioni |l,ml⟩|s,ms⟩ 3/2 |1,+1⟩|1/2,+1/2⟩
1/2 |1,0⟩|1/2,+1/2⟩, |1,+1⟩|1/2,-1/2⟩
-1/2 |1,-1⟩|1/2,+1/2⟩, |1,0⟩|1/2,-1/2⟩
-3/2 |1,-1⟩|1/2,-1/2⟩
Esiste una sola funzione con mj=3/2.
Deve corrispondere a j=3/2:
|3/2,+3/2⟩=|1,+1⟩|1/2,+1/2⟩
e analogamente:
|3/2,-3/2⟩=|1,-1⟩|1/2,-1/2⟩
J− 3 2,3
2 = 2 1, 0 1
2,1
2 + 1,1 1 2, −1
= L( − + S−)1,1 12,12 2
3 2,1
2 = 2
3 1, 0 1 2,1
2 + 1
3 1,1 1 2, −1
2
= 3 3 2,1
2
J+ 3 2, −3
2 = 2 1, 0 1
2, −1
2 + 1, −1 1 2,1
= L( + + S+)1, −1 1 2 2, −1
= 3 3 2 2, −1
2
3 2, −1
2 = 2
3 1, 0 1 2, −1
2 + 1
3 1, −1 1 2, +1
2
Esempio: l=1, s=1/2
mj=lj+sj Autofunzioni |l,ml⟩|s,ms⟩ 3/2 |1,+1⟩|1/2,+1/2⟩
1/2 |1,0⟩|1/2,+1/2⟩, |1,+1⟩|1/2,-1/2⟩
-1/2 |1,-1⟩|1/2,+1/2⟩, |1,0⟩|1/2,-1/2⟩
-3/2 |1,-1⟩|1/2,-1/2⟩
Esiste una sola funzione con mj=3/2.
Deve corrispondere a j=3/2:
|3/2,+3/2⟩=|1,+1⟩|1/2,+1/2⟩
e analogamente:
|3/2,-3/2⟩=|1,-1⟩|1/2,-1/2⟩
3 2,1
2 = 2
3 1, 0 1 2,1
2 + 1
3 1,1 1 2, −1
2
3 2, −1
2 = 2
3 1, 0 1 2, −1
2 + 1
3 1, −1 1 2, +1
2 Se consideriamo le combinazioni ortogonali con mj=±1/2:
− 1
3 1, 0 1 2,1
2 + 2
3 1,1 1 2, −1
2 − 1
3 1, 0 1 2, −1
2 + 2
3 1, −1 1 2,1
2
L− + S−
( ) − 1
3 1, 0 1 2,1
2 + 2
3 1,1 1 2, −1
2
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟ = − 1
3 2 1, −1 1 2,1
2 + 1, 0 1 2, −1
2
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟ + 2
3 2 1, 0 1 2, −1
2 + 0
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟
= − 2
3 1, −1 1 2,1
2 + 1
3 1, 0 1 2, −1
Che è esattamente quanto atteso per j=1/2: 2
Momento magnetico
• Una particella può essere dotata di momento angolare: spin S
• In una visione classica, in cui una distribuzione di massa ruota con velocità angolare ω attorno al proprio asse:
– I = momento d’inerzia
• Se abbiamo una corrispondente distribuzione di carica:
• la particella presenta anche un momento magnetico:
S = dV ∫ ρ (r) r sin ( θω ) ( r sin θ )
S = dV ∫ ρ (r)v × r
= ω ∫ dV ρ (r)r
2sin
2θ = I ω
ρ
e(r) = Q
M ρ (r)
µ = dV ρe(r) v
2πr
(
πr2sin2θ)
∫
µ = Q S
= Q
2M ω dV ρ(r)r
∫
2sin2θrsinθ
rsinθ
I=Qv/2πrsinθ
I S
Momento magnetico
• In meccanica quantistica solo alcuni valori di S sono permessi:
• Il momento magnetico si può esprimere come
– g fattore giromagnetico
• p, n, e hanno tutti s=1/2
– possono trovarsi in due stati di Sz=±ℏ/2
– una trattazione relativistica (equazione di Dirac) dà che g=2 per particelle elementari di spin ½
• Per l’elettrone:
• Per il protone:
• Per il neutrone:
S = s(s +1) s = 0,
12,1,
32… S
z= m m = −s, −s +1,…+ s µ ! = g Q !
2M
"
S
µe =µB = e!
2me = 5.788381×10−11MeV / T ge ≈ 2 µp = 2.79µN = 2.79 e!
2mp gp = 5.58 µn = −1.91µN gn = −3.82
µN = 3.152451×10−14MeV / T
Magnetone di Bohr
Magnetone nucleare
Interazioni nucleone-nucleone
(cap. 4 del Krane)• Finora abbiamo descritto delle proprietà dei nuclei, a partire da osservazioni empiriche, che ci hanno portato alla formula di Bethe-Weizsäcker:
• Descrive parte della fenomenologia osservata
– interazione a breve range – densità uniforme
– bilanciamento tra neutroni e protoni – energia di “pairing” dei nucleoni
• Non descrive
– spin ed altri numeri quantici
– l’esistenza di strutture nelle energie di legame
• Ora vogliamo studiare direttamente l’interazione nucleare.
• Il sistema da cui partire è l’interazione tra due nucleoni.
B.E. A, Z ( ) = −a
1A + a
2A
23+ a
3Z
2A
13+ a
4( N − Z )
2A ± a
5A
−34 a1 = 15.753 MeV a2 = 17.804 MeV a3 = 0.7103 MeV a4 = 23.69 MeV a5 = 33.6 MeVIl deutone
• Il più semplice stato legato: N=1, Z=1
• Indicato sia come
2H o d
• m(
2H) =2.014 101 778 120 ± 0.000 000 000 122 u
• Energia di legame:
• Stato molto debolmente legato:
– Non esistono stati eccitati.
B.E. (
2H ) = m (
2H ) − m ( )
1H − m n ( )
2 u +13.1357217MeV • Dimensione
– raggio della densità di carica – Si noti che
• Spin-Parità:
– 1+
• Momento magnetico
−1u − 7.2889706 MeV
−1u − 8.0713171MeV
= −2.224566 MeV
B
A = 1.112283MeV
R
d= 2.1424 ± 0.0021fm R
p= 0.8775 ± 0.0051fm
µ
d= 0.857438229 ± 0.000000007 µ
NIl deutone: funzione d’onda
• Assumiamo il classico potenziale della buca sferica:
• e la separazione di variabili
• Lo stato di energia minima ha l=0,
• Per E<0 le soluzioni hanno la forma:
• con le condizioni:
– continuità a r=0:
– limitatezza per r→∞:
V r( ) = −V0 r < R
0 r > R
⎧
⎨⎪
⎩⎪
ψ( )r = u(r)
r Yl,m(θ,ϕ)
− !2 2m
d2u
dr2 + V (r) + h2l(l +1) 2mr2 − E
⎡
⎣⎢ ⎤
⎦⎥u = 0
u r( ) = Asin k1r + B cosk1r k1 = 2m(E + V0) /! r < R
Ce−k2r + Dek2r k2 = −2mE /! r > R
⎧
⎨⎪
⎩⎪
u 0( )= 0 ⇒ B = 0
Y0,0(θ,ϕ) = 1 4π
lim u r( )
Massa ridotta
Il deutone: funzione d’onda
• Le condizioni di continuità al bordo della buca:
• Si traducono nell’equazione per gli autovalori:
• Per R=2.1 fm, E=-2.22 MeV si può determinare la profondità V0 della barriera di potenziale:
V0≈35 MeV
• La probabilità di trovare un nucleone “fuori” dalla barriera decresce esponenzialmente con una scala di lunghezze:
Asin k1R = Ce−k2R Ak1cosk1R = −Ck2e−k2R
k1cot k1R = −k2
1
2k2 = !
2 −2mE = 200 MeV ⋅ fm
2 938 MeV ⋅ 2.2 MeV = 2.2 fm
Il deutone: spin e parità
• J
P=1
+• Gli spin dei due nucleoni possono accoppiarsi per dare uno spin
totale S=0 o S=1.
• Il momento angolare totale J=1 si può ottenere dalle seguenti
combinazioni:
– stati s: S=1, L=0
– stati p: S=0, L=1 o S=1, L=1 – stati d: S=1, L=2
• La parità è P(d)=η
nη
p(-1)
L– Con la convenzione usuale degli autovalori di parità ηn=ηp=+1 – Solo gli stati L=0 o 2 sono
permessi
– S=1
• Non esiste uno stato legato 0
+– possiamo dedurre che il
potenziale deve dipendere fortemente dallo spin.
• Possiamo introdurre termini proporzionali a S
2o s
1⋅ s
2S2 = (s1+ s2)2 = s12 + s22 + 2s1⋅ s2
s1⋅ s2 = 1
2
(
S2 − s12 − s22)
= 1
2
(
S(S +1) − s1(s1 + 1) − s2(s2 + 1))
!2Il deutone: potenziali di tripletto e singoletto
• Dalla relazione:
– Per S=1 – Per S=0
• Possiamo definire il potenziale separatamente per gli stati di tripletto e singoletto:
• Si noti che nello stato con L=0 le coppie nn e pp non possono essere nello stato S=1:
– per fermioni identici la funzione d’onda totale deve essere anti-simmetrica – simmetria spaziale: (-1)l simmetria della componente di spin: (-1)S+1
Non esiste uno stato legato nn o pp
s1⋅ s2 = 1
2
(
S(S +1) − s1(s1 + 1) − s2(s2 + 1))
s1⋅ s2 = 1
2
(
1(1 +1) − 12(12 + 1) − 21(12 + 1))
= 14s1⋅ s2 = 1
2
(
0(0 +1) − 12(12 + 1) − 21(12 + 1))
= −34V (r) = s1⋅ s2 − 1 4
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟V1(r) + s1⋅ s2 + 3 4
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟V3(r) = 3
4V3(r) − 1
4V1(r)
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟ + s( 1⋅ s2)(V1(r) + V3(r))
Il deutone: momento magnetico
• Il momento magnetico del sistema di spin S=1 è dato dalla relazione:
• Per calcolare il coefficiente giromagnetico, possiamo proiettare sp ed sn sul vettore dello spin totale:
• Sostituendo i valori:
• Il momento magnetico risultante:
• è vicino, ma non uguale a:
• Per giustificare il valore osservato bisogna assumere ci sia una componente di momento magnetico dovuto al momento angolare orbitale:
– Il deutone deve essere in uno stato misto L=0 + L=2
– Il potenziale di interazione non può essere un potenziale puramente centrale
µs = gsµNS = gpµNsp + gnµNsn
gsS2 = gp
(
sp ⋅ S)
+ gn(sn ⋅ S) = gp(
s2p + sp ⋅ sn)
+ gn(
s2n + sp ⋅ sn)
gs ⋅ 2 = gp 3 4 + 1
4
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟ + gn
3 4 + 1
4
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟ gs = gp + gn 2
gp = +5.5857 gn = −3.8261
gs = +0.8798
µs = gsµN = 0.8798µN µd = gdµN = 0.8574µN
Il deutone: momento magnetico
• Una distribuzione di cariche in moto, produce un momento magnetico:
– Nel caso del deutone, q=e, m=2mN e
• Ripetendo lo stesso ragionamento, ma stavolta per la combinazione di L ed S:
• La proiezione lungo J dà quindi la relazione:
• Per uno stato con J=1, S=1, L=2 si ottiene:
µl = q!
2mL µl = e!
4mN L = 1
2µNL
µd = gdµNJ = 1
2µNL + gsµNS
J = L + S L ⋅ S = 1
2
(
J2 − L2 − S2)
= 1
2( j( j +1) − l(l +1) − s(s +1))!2
gdJ2 = 1
2L ⋅ (L + S) + gsS ⋅ (L + S) gd = 1 2
L ⋅ S + L2
J2 + gs L ⋅ S + S2 J2
gd = 3
4 − gs 1
2 = 0.3101
Il deutone: momento magnetico
• Se lo stato fondamentale è una sovrapposizione degli stati con s con L=0 e d con L=2:
• Il valore di aspettazione del momento magnetico diventa:
ψd = as s + add as 2 + ad 2 = 1
gdµN = as 2gsµN + ad 2 3 4 − gs
2
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟µN 0.8574 = as 20.8798 + ad 20.3101
a
s 2= 0.96, a
d 2= 0.04
Potenziale tensoriale
• La presenza di una mistura di stati s e d indica che il potenziale non può essere puramente centrale.
– deve comunque essere invariante per rotazioni, dato che il momento angolare totale viene conservato
– spezza il disaccoppiamento tra funzione d’onda di spin e ed il momento angolare orbitale che si ha con un potenziale centrale.
– La forma di S1,2 può avere una spiegazione intuitiva come interazione dei momenti magnetici di protone e neutrone:
– scrivendo i momenti magnetici di neutrone e protone:
– si ottiene
V (r) = s1⋅ s2 − 1 4
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟V1(r) + s1⋅ s2 + 3 4
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟V3(r)
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥+ VT(r)S1,2 S1,2 = 3(s1⋅ r)(s2 ⋅ r)
r2 − s( 1⋅ s2 )
VT(r) = µ0 4π
gpgnµN2 r3
mp,n = gp,nµNsp,n B(r) = µ0
4π
3r m ⋅ r( )
r5 − m r3
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
Campo magnetico
generato da un dipolo Energia potenziale di un V (r) = −m ⋅ B(r) dipolo in campo magnetico
Teoria dello scattering
• Qui trattiamo un approccio formalmente esatto al calcolo delle sezioni d’urto che permette di mettere in evidenza alcune
proprietà generali dei processi di scattering:
– quali stati di momento angolare contribuiscono alla diffusione – limiti alle sezioni d’urto
– in futuro vedremo un trattamento approssimato che è di utilizzo pratico in casi più generali
• Il processo logico che seguiremo sarà il seguente:
– Per stati non legati esistono infinite autofunzioni con energia E – Una qualunque combinazione lineare di queste è autofunzione di E – Possiamo sceglierne una combinazione che abbia la forma di un’onda
piana incidente ed un’onda diffusa
– L’ampiezza dell’onda diffusa sarà la sezione d’urto
Autostati di particella libera
• Coordinate cartesiane
– Autofunzioni di H e di p
• Coordinate sferiche
– Autofunzioni di H e L, Lz
− !2 2m
∂2
∂x2 + ∂2
∂y2 + ∂2
∂z2
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟ψ(r) = Eψ(r) − !2 2m
∂2
∂r2 u(r) + !2l(l +1)
2mr2 u(r) = Eu(r) ψ r
( )
= un,l(r)r Yl,m(θ,ϕ) ψ r
( )
= Aeik⋅r k = p /!k = 2mE /!
ψ r
( )
= jl(kr)Yl,m(θ,ϕ)Funzioni di Bessel sferiche
j0(kr) = sin kr kr j1(kr) = sin kr
(kr)2 −coskr kr j2(kr) = 3sin kr
(kr)3 −3coskr
(kr)2 −sin kr kr
jl(kr) ≈ sin(kr − lπ / 2)
kr per kr → ∞
DIM
Autostati di particella libera
• Possiamo esprimere la funzione d’onda di una base, in termini di dell’altra:
• Questa costruzione prende il nome di sviluppo in onde parziali
• Si noti che, avendo scelto k diretto lungo l’asse z, in questo sviluppo ci sono solo componenti con Lz=0
• mancano i termini exp(imφ)
• A grande distanza (kr→∞) dalla regione di interazione:
Aeikz = A il(2l +1) jl(kr)Pl(cosθ )
l=0
∞
∑
ψinc
( )
r =Onda piana incidente
ψinc
( )
r ≈ A il(2l +1)ei(kr−lπ/2)
− e−i(kr−lπ/2)
2ikr Pl(cosθ )
l=0
∞
∑
sin(kr + lπ / 2) kr
= A
2kr il+1(2l +1) e⎡⎣ −i(kr−lπ/2) − ei(kr−lπ/2)⎤⎦Pl(cosθ )
l=0
∞
∑
Onda sferica
entrante Onda sferica uscente
DIM
Autostati in presenza di potenziale
• L’equazione radiale
• Indipendentemente dai dettagli del potenziale,
per r → ∞, si riduce alla forma:
• che ha soluzioni del tipo:
• che possiamo scrivere in forma generica
– valori di B e φl determinati dalla continuità con la soluzione esatta dipendente dal potenziale
– l’effetto del potenziale è introdurre uno sfasamento
• es.: il puro potenziale centrifugo genera φl =lπ/2,
• per cui in generale scriviamo: φl =lπ/2-δl
– un’autofunzione (per r→∞):
− !
22m
∂
2∂r
2u(r) +V (r)u(r) + !
2l(l +1)
2mr
2u(r) = Eu(r)
⇒ − !
22m
∂
2∂r
2u(r) = Eu(r) u(r) = C sin kr + D coskr
u(r) = Bsin(kr − ϕ
l)
C = B cosϕl, D = Bsinϕlψ = A
2kr il+1(2l +1) e⎡⎣ −i(kr−lπ/2+δl) − ei(kr−lπ/2+δl)⎤⎦Pl(cosθ )
∞
∑
DIM
Onda incidente e onda diffusa
• Scegliamo una combinazione lineare leggermente diversa, moltiplicando ogni funzione per exp(iδ
l):
• Possiamo in tal modo riscrivere la soluzione esatta a grandi distanze dalla regione di interazione:
ψ = A
2kr i
l+1(2l +1) e ⎡ ⎣
−i(kr−lπ/2)− e
i(kr−lπ/2+2δl)⎤ ⎦P
l(cos θ )
l=0
∞
∑
ψ = A
2kr il+1(2l +1) e⎡⎣ −i(kr−lπ/2) − ei(kr−lπ/2) + ei(kr−lπ/2) − ei(kr−lπ/2+2δl)⎤⎦Pl(cosθ )
l=0
∞
∑
= A
2kr il+1(2l +1) e⎡⎣ −i(kr−lπ/2) − ei(kr−lπ/2)⎤⎦Pl(cosθ )
l=0
∞
∑
+ A
2kr il+1(2l +1)ei(kr−lπ/2)⎡⎣1− e2iδl⎤⎦Pl(cosθ )
l=0
∞
∑
ψ = ψ
inc+ Ae
ikr2kr i(2l +1) 1− e ⎡⎣
2iδl⎤⎦P
l(cos θ )
l=0
∞
∑
-il
DIM
Sezione d’urto differenziale
• Funzione d’onda sovrapposizione:
– dell’onda piana incidente, ψinc
– di un onda sferica uscente dal centro di diffusione ψsc
• Descrive un processo di scattering:
– la sezione d’urto dipende dalla probabilità di trovare asintoticamente la particella nel cono dΩ:
ψ = ψinc + Aeikr
2kr i(2l +1) 1− e⎡⎣ 2iδl⎤⎦Pl(cosθ )
l=0
∞
∑
dσ = φ(ψsc)(r2dΩ) φ(ψinc) =
ψsc 2(!k / m)(r2dΩ) ψinc 2(!k / m)
= 1
4k2 i(2l +1) 1− e⎡⎣ 2iδl⎤⎦Pl(cosθ)
l=0
∞
∑
2
dΩ
d σ
dΩ = 1
4k
2i(2l +1) 1− e ⎡⎣
2iδl⎤⎦P
l(cos θ )
l=0
∞
∑
2
DIM
Sezione d’urto totale
• Per calcolare la sezione d’urto totale dobbiamo integrare su tutto l’angolo solido:
– usando la normalizzazione per i polinomi di Legendre
– La sezione d’urto risulta scomposta in sezioni d’urto parziali.
– Ogni sezione d’urto parziale è limitata:
σ = 1
4k2
∫
dΩ i(2l1+1) 1− e⎡⎣ 2iδl1⎤⎦Pl1(cosθ )
l1=0
∞
⎛
∑
⎝⎜⎜ ⎞
⎠⎟⎟
*
i(2l2 +1) 1− e⎡ 2iδl2
⎣ ⎤
⎦Pl2(cosθ )
l2=0
∞
⎛
∑
⎝⎜⎜ ⎞
⎠⎟⎟
= 1
4k2 (2l1+1)(2l2 +1) 1− e⎡ −2iδl1
⎣ ⎤
⎦ 1− e
2iδl2
⎡⎣ ⎤
⎦ dΩP
∫
l1(cosθ )Pl2(cosθ )l2=0
∞
∑
l1=0
∞
∑
dΩPl1(cosθ )
∫
Pl2(cosθ ) = 2l4π1+1δl1,l2 σ = π
k2 (2l +1) 1− e2iδl 2
l=0
∞
∑
σ ≤ 4π(2l +1)
σ = 4π
k2 (2l +1)sin2δl
l=0
∞
∑
Parametro di impatto
• Sembrerebbe che il calcolo delle sezioni d’urto richieda una sommatoria infinita.
• In realtà alla sezione d’urto reale contribuiscono solo un numero limitato di onde parziali.
• Una particella con momento p=ħk e momento angolare L
2=l(l+1)ħ
2, passera tipicamente ad una distanza b.
– Se il potenziale si estende fino ad un raggio R, influenza gli stati di momento angolare fino a:
– lħ=pR → l=kR
– Il numero di onde parziali da considerare aumenta con l’energia – La sezione d’urto massima è:
p b
σ ≤ 4π
k2 (2l +1)
l=0 kR
∑
= 4πk2 (kR +1)2 = 4π R +1 k
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟
2
= 4π R + λ
( )
2(2l +1) = (n +1)2
l=0 n
∑
Lunghezza d’ondaCompton
Buca di potenziale
• Per fissare le idee torniamo alla buca di potenziale:
– in onda s, le soluzioni ad energia positiva sono
– e le condizioni di continuità danno:
– e dal rapporto, otteniamo l’equazione per lo sfasamento δ0:
E
-V0
r R
u r( ) = Asin k1r k1 = 2m(E + V0) /! r < R
Bsin(k2r +δ0) k2 = 2mE / ! r > R
⎧
⎨⎪
⎩⎪
V r( )= −V0 r < R
0 r > R
⎧
⎨⎪
⎩⎪
Asin k1R = Bsin(k2R +δ0) Ak1cosk1R = Bk2cos(k2R +δ0)
k1cot k1R = k2cot(k2R +δ0)
Buca di potenziale
• Indicando per comodità:
• con un po’di trigonometria si ottiene:
• Da cui la sezione d’urto:
• La lunghezza di scattering:
• corrisponde al limite k→0, σ=4πa2
• ovvero anche al limite k→0, -δ0/k:
E
-V0
r cotδ0 = k sin kR +αcoskR R
k coskR −αsin kR k1cot k1R =α k2 = k
sin2δ0 = 1
1 + cot2δ0 =
coskR − (α / k)sin kR
[ ]2
1 +α2 / k2
σ = 4πsin2δ0
k2 = 4π [coskR − (α / k)sin kR]2
k2 +α2
a = coskR − (α / k)sin kR α
Bsin(kr +δ0) = Bsin k(r − a)
scelta convenzionale zero della funzione d’onda
Interazioni nucleone-nucleone: bassa energia
• Ulteriori informazioni sulle interazioni forti vengono dalla misura dello scattering nucleone-nucleone.
• A basse energie contribuiscono solo collisioni con momento angolare orbitale L=0.
– la sezione d’urto è appros- simativamente indipendente dall’angolo solido.
– la lunghezza di scattering a dipende dallo stato di tripletto o singoletto dello spin.
– Una volta corretta per le interazioni coulombiane:
• app = -17.1±0.2 fm
• ann = -16.6±0.5 fm
Le interazioni forti sono indipendenti dalla carica
dσ
dΩ = a2 1 + (k /α)2 k = 2µNE /!
Core repulsivo in interazioni tra nucleoni
Interazione Spin-Orbita
• Supponiamo che:
– VSO(r) sia attrattivo
– nucleoni 1 e 2 abbiano spin uscente dalla pagina:
• per nucleone 1, S⋅L<0: la forza diventa repulsiva
• per nucleone 2, S⋅L>0: la forza rimane attrattiva
• Entrambi i nucleoni saranno deviati verso l’alto
• Al contrario nucleoni con spin entrante nella
• Come risultato dello scattering si osserva una polarizzazione dei nucleoni uscenti:
• Si può descrivere tramite un potenziale del tipo:
P(θ) = N↑(θ) − N↓(θ) N↑(θ) + N↓(θ)
VSO(r)S ⋅ (r × p) = VSO(r)S ⋅ L Interazione spin-orbita