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Interazioni nucleone-nucleone

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Academic year: 2021

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(1)

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Prof. A. Andreazza

Interazioni nucleone-nucleone

Lezione 6

(2)

Interazioni nucleone-nucleone

•  Finora abbiamo visto delle proprietà generiche dei nuclei:

–  massa, dimensione, carica

•  ...ed abbiamo considerato alcuni casi di decadimento ed interazioni.

–  da cui abbiamo potuto trarre delle informazioni generali sulle forze nucleari

•  Per fare dei progressi possiamo studiare il sistema più semplice:

–  interazioni tra due nucleoni

•  Per poterle interpretare, bisogna introdurre dei concetti nuovi:

–  spin: momento angolare intrinseco di una particella –  fermioni: principio di esclusione di Pauli

–  teoria dello scattering quantistico

•  Dallo studio del sistema legato p-n (deutone):

–  proprietà del potenziale di interazione: energia potenziale, dipendenza dallo spin, struttura non centrale

•  Dallo scattering nucleone-nucleone:

–  indipendenza delle interazioni forti dalla carica

(3)

Spin

•  Una particella può presentarsi con un momento angolare intrinseco

–  Intuitivamente può venire visto come se la particella ruotasse su sé stessa.

–  È un grado di libertà interno della particelle.

–  Corrisponde a come la funzione d’onda di questo grado di libertà interno cambia in seguito ad una rotazione.

•  Oltre all’operatore di momento angolare orbitale L:

–  L2 può avere autovalori l(l+1)ħ2, l=0, 1, 2, 3, ...

–  Dato un asse di riferimento (es. z), Lz ha autovalori mħ, m=l, l-1, ..., -l+1, -l –  Esistono gli operatori di innalzamento e abbassamento

•  Compare un operatore di spin, corrispondente al momento angolare intrinseco.

•  Il momento angolare totale è dato da:

L = r × p = −i!r × ∇ [ L

i

, L

j

] = i! ε

ijk

L

k

S [ S

i

, S

j

] = i! ε

ijk

S

k

[ L

i

, S

j

] = 0

J = L + S

L

±

= L

x

± iL

y

(4)

Spin

•  L’autovalore di S

2

=s(s+1)ħ

2

è una proprietà intrinseca della particella, al pari di carica e massa

•  Se consideriamo una particella in un potenziale centrale, la sua funzione d’onda sarà etichettata in base ai numeri quantici radiale, di momento angolare orbitale e dall’autovalore m

s

di S

z

.

•  Siccome lo spin non dipende dalla posizione, si può utilizzare una notazione vettoriale per fattorizzare questo grado di libertà interno.

–  Ad esempio se s=1:

N.B.: da qui in poi, parlando di momenti angolari, diremo in maniera impropria:

•  che una particella ha spin s se il suo autovalore di S2 è s(s+1)ħ2 e, di conseguenza, Sz può assumere valori da –sħ a sħ

•  inoltre, in generale, ometteremo di scrivere esplicitamente ħ

ψ

n, l,m,ms

(r)

ψ

n, l,m, 1

(r) = ψ

n, l,m

(r) 1 0 0

⎜ ⎜

⎟ ⎟ , ψ

n, l,m, 0

(r) = ψ

n, l,m

(r) 0 1 0

⎜ ⎜

⎟ ⎟ , ψ

n, l,m, −1

(r) = ψ

n, l,m

(r) 0 0 1

⎜ ⎜

⎟ ⎟

(5)

Spin 1/2

•  Consideriamo, su uno spazio bi-dimensionale, gli operatori:

•  Dove le σ

i

sono le “matrici di Pauli”:

•  È immediato verificare che questi operatori soddisfano le regole di commutazione del momento angolare:

•  S

2

ha autovalore 3/4:

•  S

3

ha autovalori ±1/2

•  Hanno le proprietà degli operatori di un momento angolare con s=1/2!

•  Mentre il momento angolare orbitale può assumere solo valori interi, lo spin di una particella può assumere valori interi e semi-interi.

S

i

= 1 2 σ

i

σ

1

= 0 1

( 1 0 ) , σ

2

= ( 0 −i i 0 ) , σ

3

= ( 1 0 0 −1 )

S

i

, S

j

[ ] = i ε

ijk

S

k

S

2

= S

12

+ S

22

+ S

32

= 1 4 σ

12

+ σ

22

+ σ

32

[ ] = 1 4 [ I + I + I ] = 3 4 I I = ( 1 0 0 1 )

(6)

Rotazioni: momento angolare orbitale

•  Ricordiamo che gli operatori di momento angolare sono i generatori delle rotazioni.

•  Esempio:

–  consideriamo una rotazione di un angolo infinitesimo δω attorno all’asse z:

–  ed una rotazione finita di un angolo ω è data da:

ψ (x, y, z) → ψ (x − y δω , y + x δω , z)

≈ ψ (x, y, z) − y δω

∂x ψ (x, y, z) + x δω

∂y ψ (x, y, z)

= ψ (x, y, z) − i

! y δω −i!

∂x

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ ψ (x, y, z) + i

! x δω −i!

∂y

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ ψ (x, y, z)

= ψ (x, y, z) + i

! δω ( xp

y

− yp

x

) ψ (x, y, z) = 1 + i

! δω L

z

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ ψ (x, y, z)

ψ (x, y, z) → exp i

! ω L

z

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ ψ (x, y, z)

(7)

Rotazioni: spin 1/2

•  Vediamo come si comporta una funzione d’onda per spin 1/2.

•  L’operatore di rotazione è dato da:

•  Una funzione d’onda con S

z

=+1/2:

•  Una funzione d’onda con S

z

=-1/2:

•  Come le autofunzioni del momento angolare, che per rotazione cambiano di una fase mω

•  Per una rotazione di 2π: ψ→-ψ exp i ( ω S

z

) = 1

n! ( i ω S

z

)

n

n=0 +∞

= n! 1 i ω 2 ⎣⎢ 0 −1 1 0 ⎦⎥

n

n=0 +∞

=

1

n! ( i ω / 2 )

n

n=0 +∞

0

0 1

n! ( −i ω / 2 )

n

n=0 +∞

⎢ ⎢

⎢ ⎢

⎥ ⎥

⎥ ⎥

= exp(i ω / 2) 0

0 exp(−i ω / 2)

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥

ψ

+1/2

= 1

( ) 0 → e

iω2

ψ

+1/2

ψ

−1/2

= 0

( ) 1 → e

iω2

ψ

−1/2

(8)

Fermioni e bosoni

•  Il numero quantico di spin può assumere valori interi o semi-interi

–  particelle con spin intero sono dette bosoni esempio: il fotone ha s=1

–  particelle con spin semi-intero sono dette fermioni esempio: elettrone, protone, neutrone hanno s=1/2

•  Per una rotazione di 2π i bosoni non cambiano, mentre i fermioni cambiano di segno.

•  Una trattazione matematica consistente mette in evidenza un’altra differenza fondamentale:

–  nel caso un sistema contenga particelle identiche:

–  se sono bosoni, la funzione d’onda globale deve risultare simmetrica per lo scambio di particelle

–  se sono fermioni, la funzione d’onda globale deve risultare anti-simmetrica per lo scambio di particelle

•  Un corollario importante è il principio di esclusione di Pauli:

–  due fermioni identici non possono avere gli stessi numeri quantici

(9)

Somma di momenti angolari

•  Se abbiamo un’Hamiltoniana invariante per rotazione, il momento angolare totale J=L+S è una quantità conservata.

–  Non lo sono invece L ed S separatamente.

–  Mentre lo sono L

2

ed S

2

, essendo quantità scalari.

•  Ci si pone il problema di determinare quali sono i valori possibili di j e come sono fatte le funzioni d’onda.

•  La tecnica consiste:

–  nel classificare le autofunzioni di L ed S in base a jz=lz+mz

–  usare gli operatori J+=L++S+ e J-=L-+S- per determinare le diverse autofunzioni di mj per un certo j

–  si utilizza la relazione (derivata dalle regole di commutazione del momento angolare):

•  Il risultato è che j=l+s, l+s-1, l+s-2, ..., |l-s|

J

+

j, m

j

= j( j +1) − m

j

(m

j

+1) j, m

j

+1 J

j, m

j

= j( j +1) − m

j

(m

j

−1) j, m

j

−1

|j,mj⟩ = funzione d’onda con momento angolare j e componente z mj

(10)

Esempio: l=1, s=1/2

mj=lj+sj Autofunzioni |l,ml⟩|s,ms 3/2 |1,+1⟩|1/2,+1/2⟩

1/2 |1,0⟩|1/2,+1/2⟩, |1,+1⟩|1/2,-1/2⟩

-1/2 |1,-1⟩|1/2,+1/2⟩, |1,0⟩|1/2,-1/2⟩

-3/2 |1,-1⟩|1/2,-1/2⟩

Esiste una sola funzione con mj=3/2.

Deve corrispondere a j=3/2:

|3/2,+3/2⟩=|1,+1⟩|1/2,+1/2⟩

e analogamente:

|3/2,-3/2⟩=|1,-1⟩|1/2,-1/2⟩

J 3 2,3

2 = 2 1, 0 1

2,1

2 + 1,1 1 2, −1

= L( + S)1,1 12,12 2

3 2,1

2 = 2

3 1, 0 1 2,1

2 + 1

3 1,1 1 2, −1

2

= 3 3 2,1

2

J+ 3 2, −3

2 = 2 1, 0 1

2, −1

2 + 1, −1 1 2,1

= L( + + S+)1, −1 1 2 2, −1

= 3 3 2 2, −1

2

3 2, −1

2 = 2

3 1, 0 1 2, −1

2 + 1

3 1, −1 1 2, +1

2

(11)

Esempio: l=1, s=1/2

mj=lj+sj Autofunzioni |l,ml⟩|s,ms 3/2 |1,+1⟩|1/2,+1/2⟩

1/2 |1,0⟩|1/2,+1/2⟩, |1,+1⟩|1/2,-1/2⟩

-1/2 |1,-1⟩|1/2,+1/2⟩, |1,0⟩|1/2,-1/2⟩

-3/2 |1,-1⟩|1/2,-1/2⟩

Esiste una sola funzione con mj=3/2.

Deve corrispondere a j=3/2:

|3/2,+3/2⟩=|1,+1⟩|1/2,+1/2⟩

e analogamente:

|3/2,-3/2⟩=|1,-1⟩|1/2,-1/2⟩

3 2,1

2 = 2

3 1, 0 1 2,1

2 + 1

3 1,1 1 2, −1

2

3 2, −1

2 = 2

3 1, 0 1 2, −1

2 + 1

3 1, −1 1 2, +1

2 Se consideriamo le combinazioni ortogonali con mj=±1/2:

− 1

3 1, 0 1 2,1

2 + 2

3 1,1 1 2, −1

2 − 1

3 1, 0 1 2, −1

2 + 2

3 1, −1 1 2,1

2

L + S

( ) 1

3 1, 0 1 2,1

2 + 2

3 1,1 1 2, −1

2

⎟ = − 1

3 2 1, −1 1 2,1

2 + 1, 0 1 2, −1

2

⎟ + 2

3 2 1, 0 1 2, −1

2 + 0

= − 2

3 1, −1 1 2,1

2 + 1

3 1, 0 1 2, −1

Che è esattamente quanto atteso per j=1/2: 2

(12)

Momento magnetico

•  Una particella può essere dotata di momento angolare: spin S

•  In una visione classica, in cui una distribuzione di massa ruota con velocità angolare ω attorno al proprio asse:

–  I = momento d’inerzia

•  Se abbiamo una corrispondente distribuzione di carica:

•  la particella presenta anche un momento magnetico:

S = dV ∫ ρ (r) r sin ( θω ) ( r sin θ )

S = dV ∫ ρ (r)v × r

= ω ∫ dV ρ (r)r

2

sin

2

θ = I ω

ρ

e

(r) = Q

M ρ (r)

µ = dV ρe(r) v

2πr

(

πr2sin2θ

)

µ = Q S

= Q

2M ω dV ρ(r)r

2sin2θ

rsinθ

rsinθ

I=Qv/2πrsinθ

I S

(13)

Momento magnetico

•  In meccanica quantistica solo alcuni valori di S sono permessi:

•  Il momento magnetico si può esprimere come

–  g fattore giromagnetico

•  p, n, e hanno tutti s=1/2

–  possono trovarsi in due stati di Sz=±ℏ/2

–  una trattazione relativistica (equazione di Dirac) dà che g=2 per particelle elementari di spin ½

•  Per l’elettrone:

•  Per il protone:

•  Per il neutrone:

S = s(s +1) s = 0,

12

,1,

32

S

z

= m m = −s, −s +1,…+ s µ ! = g Q !

2M

"

S

µeB = e!

2me = 5.788381×10−11MeV / T ge ≈ 2 µp = 2.79µN = 2.79 e!

2mp gp = 5.58 µn = −1.91µN gn = −3.82

µN = 3.152451×10−14MeV / T

Magnetone di Bohr

Magnetone nucleare

(14)

Interazioni nucleone-nucleone

(cap. 4 del Krane)

•  Finora abbiamo descritto delle proprietà dei nuclei, a partire da osservazioni empiriche, che ci hanno portato alla formula di Bethe-Weizsäcker:

•  Descrive parte della fenomenologia osservata

–  interazione a breve range –  densità uniforme

–  bilanciamento tra neutroni e protoni –  energia di “pairing” dei nucleoni

•  Non descrive

–  spin ed altri numeri quantici

–  l’esistenza di strutture nelle energie di legame

•  Ora vogliamo studiare direttamente l’interazione nucleare.

•  Il sistema da cui partire è l’interazione tra due nucleoni.

B.E. A, Z ( ) = −a

1

A + a

2

A

23

+ a

3

Z

2

A

13

+ a

4

( N − Z )

2

A ± a

5

A

34 a1 = 15.753 MeV a2 = 17.804 MeV a3 = 0.7103 MeV a4 = 23.69 MeV a5 = 33.6 MeV

(15)

Il deutone

•  Il più semplice stato legato: N=1, Z=1

•  Indicato sia come

2

H o d

•  m(

2

H) =2.014 101 778 120 ± 0.000 000 000 122 u

•  Energia di legame:

•  Stato molto debolmente legato:

–  Non esistono stati eccitati.

B.E. (

2

H ) = m (

2

H ) − m ( )

1

H − m n ( )

2 u +13.1357217MeV •  Dimensione

–  raggio della densità di carica –  Si noti che

•  Spin-Parità:

–  1+

•  Momento magnetico

−1u − 7.2889706 MeV

−1u − 8.0713171MeV

= −2.224566 MeV

B

A = 1.112283MeV

R

d

= 2.1424 ± 0.0021fm R

p

= 0.8775 ± 0.0051fm

µ

d

= 0.857438229 ± 0.000000007 µ

N

(16)

Il deutone: funzione d’onda

•  Assumiamo il classico potenziale della buca sferica:

•  e la separazione di variabili

•  Lo stato di energia minima ha l=0,

•  Per E<0 le soluzioni hanno la forma:

•  con le condizioni:

–  continuità a r=0:

–  limitatezza per r→∞:

V r( ) = −V0 r < R

0 r > R

⎩⎪

ψ( )r = u(r)

r Yl,m(θ,ϕ)

!2 2m

d2u

dr2 + V (r) + h2l(l +1) 2mr2 − E

⎥u = 0

u r( ) = Asin k1r + B cosk1r k1 = 2m(E + V0) /! r < R

Ce−k2r + Dek2r k2 = −2mE /! r > R

⎩⎪

u 0( )= 0 ⇒ B = 0

Y0,0(θ,ϕ) = 1 4π

lim u r( )

Massa ridotta

(17)

Il deutone: funzione d’onda

•  Le condizioni di continuità al bordo della buca:

•  Si traducono nell’equazione per gli autovalori:

•  Per R=2.1 fm, E=-2.22 MeV si può determinare la profondità V0 della barriera di potenziale:

V0≈35 MeV

•  La probabilità di trovare un nucleone “fuori” dalla barriera decresce esponenzialmente con una scala di lunghezze:

Asin k1R = Ce−k2R Ak1cosk1R = −Ck2e−k2R

k1cot k1R = −k2

1

2k2 = !

2 −2mE = 200 MeV ⋅ fm

2 938 MeV ⋅ 2.2 MeV = 2.2 fm

(18)

Il deutone: spin e parità

•  J

P

=1

+

•  Gli spin dei due nucleoni possono accoppiarsi per dare uno spin

totale S=0 o S=1.

•  Il momento angolare totale J=1 si può ottenere dalle seguenti

combinazioni:

–  stati s: S=1, L=0

–  stati p: S=0, L=1 o S=1, L=1 –  stati d: S=1, L=2

•  La parità è P(d)=η

n

η

p

(-1)

L

–  Con la convenzione usuale degli autovalori di parità ηnp=+1 –  Solo gli stati L=0 o 2 sono

permessi

–  S=1

•  Non esiste uno stato legato 0

+

–  possiamo dedurre che il

potenziale deve dipendere fortemente dallo spin.

•  Possiamo introdurre termini proporzionali a S

2

o s

1

s

2

S2 = (s1+ s2)2 = s12 + s22 + 2s1⋅ s2

s1⋅ s2 = 1

2

(

S2 − s12 − s22

)

= 1

2

(

S(S +1) − s1(s1 + 1) − s2(s2 + 1)

)

!2

(19)

Il deutone: potenziali di tripletto e singoletto

•  Dalla relazione:

–  Per S=1 –  Per S=0

•  Possiamo definire il potenziale separatamente per gli stati di tripletto e singoletto:

•  Si noti che nello stato con L=0 le coppie nn e pp non possono essere nello stato S=1:

–  per fermioni identici la funzione d’onda totale deve essere anti-simmetrica –  simmetria spaziale: (-1)l simmetria della componente di spin: (-1)S+1

Non esiste uno stato legato nn o pp

s1⋅ s2 = 1

2

(

S(S +1) − s1(s1 + 1) − s2(s2 + 1)

)

s1⋅ s2 = 1

2

(

1(1 +1) − 12(12 + 1) − 21(12 + 1)

)

= 14

s1⋅ s2 = 1

2

(

0(0 +1) − 12(12 + 1) − 21(12 + 1)

)

= −34

V (r) = s1⋅ s2 1 4

⎟V1(r) + s1⋅ s2 + 3 4

⎟V3(r) = 3

4V3(r) − 1

4V1(r)

⎟ + s( 1⋅ s2)(V1(r) + V3(r))

(20)

Il deutone: momento magnetico

•  Il momento magnetico del sistema di spin S=1 è dato dalla relazione:

•  Per calcolare il coefficiente giromagnetico, possiamo proiettare sp ed sn sul vettore dello spin totale:

•  Sostituendo i valori:

•  Il momento magnetico risultante:

•  è vicino, ma non uguale a:

•  Per giustificare il valore osservato bisogna assumere ci sia una componente di momento magnetico dovuto al momento angolare orbitale:

–  Il deutone deve essere in uno stato misto L=0 + L=2

–  Il potenziale di interazione non può essere un potenziale puramente centrale

µs = gsµNS = gpµNsp + gnµNsn

gsS2 = gp

(

sp ⋅ S

)

+ gn(sn ⋅ S) = gp

(

s2p + sp ⋅ sn

)

+ gn

(

s2n + sp ⋅ sn

)

gs ⋅ 2 = gp 3 4 + 1

4

⎟ + gn

3 4 + 1

4

gs = gp + gn 2

gp = +5.5857 gn = −3.8261

gs = +0.8798

µs = gsµN = 0.8798µN µd = gdµN = 0.8574µN

(21)

Il deutone: momento magnetico

•  Una distribuzione di cariche in moto, produce un momento magnetico:

–  Nel caso del deutone, q=e, m=2mN e

•  Ripetendo lo stesso ragionamento, ma stavolta per la combinazione di L ed S:

•  La proiezione lungo J dà quindi la relazione:

•  Per uno stato con J=1, S=1, L=2 si ottiene:

µl = q!

2mL µl = e!

4mN L = 1

2µNL

µd = gdµNJ = 1

2µNL + gsµNS

J = L + S L ⋅ S = 1

2

(

J2 − L2 − S2

)

= 1

2( j( j +1) − l(l +1) − s(s +1))!2

gdJ2 = 1

2L ⋅ (L + S) + gsS ⋅ (L + S) gd = 1 2

L ⋅ S + L2

J2 + gs L ⋅ S + S2 J2

gd = 3

4 − gs 1

2 = 0.3101

(22)

Il deutone: momento magnetico

•  Se lo stato fondamentale è una sovrapposizione degli stati con s con L=0 e d con L=2:

•  Il valore di aspettazione del momento magnetico diventa:

ψd = as s + add as 2 + ad 2 = 1

gdµN = as 2gsµN + ad 2 3 4 gs

2

µN 0.8574 = as 20.8798 + ad 20.3101

a

s 2

= 0.96, a

d 2

= 0.04

(23)

Potenziale tensoriale

•  La presenza di una mistura di stati s e d indica che il potenziale non può essere puramente centrale.

–  deve comunque essere invariante per rotazioni, dato che il momento angolare totale viene conservato

–  spezza il disaccoppiamento tra funzione d’onda di spin e ed il momento angolare orbitale che si ha con un potenziale centrale.

–  La forma di S1,2 può avere una spiegazione intuitiva come interazione dei momenti magnetici di protone e neutrone:

–  scrivendo i momenti magnetici di neutrone e protone:

–  si ottiene

V (r) = s1⋅ s2 1 4

⎟V1(r) + s1⋅ s2 + 3 4

⎟V3(r)

⎣⎢

⎦⎥+ VT(r)S1,2 S1,2 = 3(s1⋅ r)(s2 ⋅ r)

r2 − s( 1⋅ s2 )

VT(r) = µ0 4π

gpgnµN2 r3

mp,n = gp,nµNsp,n B(r) = µ0

4π

3r m ⋅ r( )

r5 m r3

⎣⎢

⎦⎥

Campo magnetico

generato da un dipolo Energia potenziale di un V (r) = −m ⋅ B(r) dipolo in campo magnetico

(24)

Teoria dello scattering

•  Qui trattiamo un approccio formalmente esatto al calcolo delle sezioni d’urto che permette di mettere in evidenza alcune

proprietà generali dei processi di scattering:

–  quali stati di momento angolare contribuiscono alla diffusione –  limiti alle sezioni d’urto

–  in futuro vedremo un trattamento approssimato che è di utilizzo pratico in casi più generali

•  Il processo logico che seguiremo sarà il seguente:

–  Per stati non legati esistono infinite autofunzioni con energia E –  Una qualunque combinazione lineare di queste è autofunzione di E –  Possiamo sceglierne una combinazione che abbia la forma di un’onda

piana incidente ed un’onda diffusa

–  L’ampiezza dell’onda diffusa sarà la sezione d’urto

(25)

Autostati di particella libera

•  Coordinate cartesiane

–  Autofunzioni di H e di p

•  Coordinate sferiche

–  Autofunzioni di H e L, Lz

− !2 2m

2

∂x2 + ∂2

∂y2 + ∂2

∂z2

⎝⎜ ⎞

⎟ψ(r) = Eψ(r) − !2 2m

2

∂r2 u(r) + !2l(l +1)

2mr2 u(r) = Eu(r) ψ r

( )

= un,l(r)

r Yl,m(θ,ϕ) ψ r

( )

= Aeik⋅r k = p /!

k = 2mE /!

ψ r

( )

= jl(kr)Yl,m(θ,ϕ)

Funzioni di Bessel sferiche

j0(kr) = sin kr kr j1(kr) = sin kr

(kr)2 coskr kr j2(kr) = 3sin kr

(kr)3 3coskr

(kr)2 sin kr kr

jl(kr) ≈ sin(kr − lπ / 2)

kr per kr → ∞

DIM

(26)

Autostati di particella libera

•  Possiamo esprimere la funzione d’onda di una base, in termini di dell’altra:

•  Questa costruzione prende il nome di sviluppo in onde parziali

•  Si noti che, avendo scelto k diretto lungo l’asse z, in questo sviluppo ci sono solo componenti con Lz=0

•  mancano i termini exp(imφ)

•  A grande distanza (kr→∞) dalla regione di interazione:

Aeikz = A il(2l +1) jl(kr)Pl(cosθ )

l=0

ψinc

( )

r =

Onda piana incidente

ψinc

( )

r ≈ A il(2l +1)e

i(kr−lπ/2)

− e−i(kr−lπ/2)

2ikr Pl(cosθ )

l=0

sin(kr + lπ / 2) kr

= A

2kr il+1(2l +1) e⎡⎣ −i(kr−lπ/2) − ei(kr−lπ/2)⎤⎦Pl(cosθ )

l=0

Onda sferica

entrante Onda sferica uscente

DIM

(27)

Autostati in presenza di potenziale

•  L’equazione radiale

•  Indipendentemente dai dettagli del potenziale,

per r → ∞, si riduce alla forma:

•  che ha soluzioni del tipo:

•  che possiamo scrivere in forma generica

–  valori di B e φl determinati dalla continuità con la soluzione esatta dipendente dal potenziale

–  l’effetto del potenziale è introdurre uno sfasamento

•  es.: il puro potenziale centrifugo genera φl =lπ/2,

•  per cui in generale scriviamo: φl =lπ/2-δl

–  un’autofunzione (per r→∞):

− !

2

2m

2

∂r

2

u(r) +V (r)u(r) + !

2

l(l +1)

2mr

2

u(r) = Eu(r)

⇒ − !

2

2m

2

∂r

2

u(r) = Eu(r) u(r) = C sin kr + D coskr

u(r) = Bsin(kr − ϕ

l

)

C = B cosϕl, D = Bsinϕl

ψ = A

2kr il+1(2l +1) e⎡⎣ −i(kr−lπ/2+δl) − ei(kr−lπ/2+δl)⎦Pl(cosθ )

DIM

(28)

Onda incidente e onda diffusa

•  Scegliamo una combinazione lineare leggermente diversa, moltiplicando ogni funzione per exp(iδ

l

):

•  Possiamo in tal modo riscrivere la soluzione esatta a grandi distanze dalla regione di interazione:

ψ = A

2kr i

l+1

(2l +1) e ⎡ ⎣

−i(kr−lπ/2)

− e

i(kr−lπ/2+2δl)

⎦P

l

(cos θ )

l=0

ψ = A

2kr il+1(2l +1) e⎡⎣ −i(kr−lπ/2) − ei(kr−lπ/2) + ei(kr−lπ/2) − ei(kr−lπ/2+2δl)⎦Pl(cosθ )

l=0

= A

2kr il+1(2l +1) e⎡⎣ −i(kr−lπ/2) − ei(kr−lπ/2)⎤⎦Pl(cosθ )

l=0

+ A

2kr il+1(2l +1)ei(kr−lπ/2)⎡⎣1− e2iδl⎦Pl(cosθ )

l=0

ψ = ψ

inc

+ Ae

ikr

2kr i(2l +1) 1− e ⎡⎣

2iδl

⎤⎦P

l

(cos θ )

l=0

-il

DIM

(29)

Sezione d’urto differenziale

•  Funzione d’onda sovrapposizione:

–  dell’onda piana incidente, ψinc

–  di un onda sferica uscente dal centro di diffusione ψsc

•  Descrive un processo di scattering:

–  la sezione d’urto dipende dalla probabilità di trovare asintoticamente la particella nel cono dΩ:

ψ = ψinc + Aeikr

2kr i(2l +1) 1− e⎡⎣ 2iδl⎤⎦Pl(cosθ )

l=0

dσ = φ(ψsc)(r2dΩ) φ(ψinc) =

ψsc 2(!k / m)(r2dΩ) ψinc 2(!k / m)

= 1

4k2 i(2l +1) 1− e 2iδl⎦Pl(cosθ)

l=0

2

d σ

= 1

4k

2

i(2l +1) 1− e ⎡⎣

2iδl

⎤⎦P

l

(cos θ )

l=0

2

DIM

(30)

Sezione d’urto totale

•  Per calcolare la sezione d’urto totale dobbiamo integrare su tutto l’angolo solido:

–  usando la normalizzazione per i polinomi di Legendre

–  La sezione d’urto risulta scomposta in sezioni d’urto parziali.

–  Ogni sezione d’urto parziale è limitata:

σ = 1

4k2

i(2l1+1) 1− e2iδl1

⎦Pl1(cosθ )

l1=0

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟

*

i(2l2 +1) 1− e2iδl2

⎣ ⎤

⎦Pl2(cosθ )

l2=0

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟

= 1

4k2 (2l1+1)(2l2 +1) 1− e−2iδl1

⎣ ⎤

⎦ 1− e

2iδl2

⎡⎣ ⎤

⎦ dΩP

l1(cosθ )Pl2(cosθ )

l2=0

l1=0

dΩPl1(cosθ )

Pl2(cosθ ) = 2l

1+1δl1,l2 σ = π

k2 (2l +1) 1− e2iδl 2

l=0

σ 4π(2l +1)

σ = 4π

k2 (2l +1)sin2δl

l=0

(31)

Parametro di impatto

•  Sembrerebbe che il calcolo delle sezioni d’urto richieda una sommatoria infinita.

•  In realtà alla sezione d’urto reale contribuiscono solo un numero limitato di onde parziali.

•  Una particella con momento p=ħk e momento angolare L

2

=l(l+1)ħ

2

, passera tipicamente ad una distanza b.

–  Se il potenziale si estende fino ad un raggio R, influenza gli stati di momento angolare fino a:

–  lħ=pR → l=kR

–  Il numero di onde parziali da considerare aumenta con l’energia –  La sezione d’urto massima è:

p b

σ ≤ 4π

k2 (2l +1)

l=0 kR

=

k2 (kR +1)2 = 4π R +1 k

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

2

= 4π R + λ

( )

2

(2l +1) = (n +1)2

l=0 n

Lunghezza d’onda

Compton

(32)

Buca di potenziale

•  Per fissare le idee torniamo alla buca di potenziale:

–  in onda s, le soluzioni ad energia positiva sono

–  e le condizioni di continuità danno:

–  e dal rapporto, otteniamo l’equazione per lo sfasamento δ0:

E

-V0

r R

u r( ) = Asin k1r k1 = 2m(E + V0) /! r < R

Bsin(k2r +δ0) k2 = 2mE / ! r > R

⎩⎪

V r( )= −V0 r < R

0 r > R

⎩⎪

Asin k1R = Bsin(k2R +δ0) Ak1cosk1R = Bk2cos(k2R +δ0)

k1cot k1R = k2cot(k2R +δ0)

(33)

Buca di potenziale

•  Indicando per comodità:

•  con un po’di trigonometria si ottiene:

•  Da cui la sezione d’urto:

•  La lunghezza di scattering:

•  corrisponde al limite k→0, σ=4πa2

•  ovvero anche al limite k→0, -δ0/k:

E

-V0

r cotδ0 = k sin kR +αcoskR R

k coskR −αsin kR k1cot k1R =α k2 = k

sin2δ0 = 1

1 + cot2δ0 =

coskR − (α / k)sin kR

[ ]2

1 +α2 / k2

σ = 4πsin2δ0

k2 = 4π [coskR − (α / k)sin kR]2

k2 +α2

a = coskR − (α / k)sin kR α

Bsin(kr +δ0) = Bsin k(r − a)

scelta convenzionale zero della funzione d’onda

(34)

Interazioni nucleone-nucleone: bassa energia

•  Ulteriori informazioni sulle interazioni forti vengono dalla misura dello scattering nucleone-nucleone.

•  A basse energie contribuiscono solo collisioni con momento angolare orbitale L=0.

–  la sezione d’urto è appros- simativamente indipendente dall’angolo solido.

–  la lunghezza di scattering a dipende dallo stato di tripletto o singoletto dello spin.

–  Una volta corretta per le interazioni coulombiane:

•  app = -17.1±0.2 fm

•  ann = -16.6±0.5 fm

Le interazioni forti sono indipendenti dalla carica

dσ

= a2 1 + (k /α)2 k = 2µNE /!

(35)

Core repulsivo in interazioni tra nucleoni

(36)

Interazione Spin-Orbita

•  Supponiamo che:

–  VSO(r) sia attrattivo

–  nucleoni 1 e 2 abbiano spin uscente dalla pagina:

•  per nucleone 1, S⋅L<0: la forza diventa repulsiva

•  per nucleone 2, SL>0: la forza rimane attrattiva

•  Entrambi i nucleoni saranno deviati verso l’alto

•  Al contrario nucleoni con spin entrante nella

•  Come risultato dello scattering si osserva una polarizzazione dei nucleoni uscenti:

•  Si può descrivere tramite un potenziale del tipo:

P(θ) = N(θ) − N(θ) N(θ) + N(θ)

VSO(r)S ⋅ (r × p) = VSO(r)S ⋅ L Interazione spin-orbita

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