1. Esercizio. Da http://www.math.unipd.it/~monti/A1_ING_2015/Appunti10.pdf studiare il § 6 del capitolo 9 Integrale di Riemann.

Analisi Matematica 1 – Ingegneria Informatica Gruppo 4, canale 6

Argomenti 30 novembre 2017

1. Esercizio. Da http://www.math.unipd.it/~monti/A1_ING_2015/Appunti10.pdf studiare il § 6 del capitolo 9 Integrale di Riemann.

2. Esercizio. Da http://www.math.unipd.it/~monti/A1_ING_2015/A11.pdf e da http://www.math.unipd.it/~monti/A1_ING_2015/A12.pdf

svolgere tutti gli esercizi.

Confronto

Siano f (x) e g(x) funzioni R.integrabili sugli intervalli compatti della semiretta [a, + ∞[. Se 0 ≤ f(x) ≤ g(x) ∀ x ≥ a

integrando da a a b si ottiene:

0 ≤ Z

f (x) dx ≤ Z

g(x) dx ∀ b > a

Passando al limite

per b → +∞ si ottiene:

0 ≤ Z

a

f (x) dx ≤ Z

a

g(x) dx

da cui si ottiene:

• se l’integrale della funzione maggiore `e convergente, anche l’integrale della funzione minore `e con- vergente.

• se l’integrale della funzione minore `e divergente, anche l’integrale della funzione maggiore `e diver- gente.

Integrabilit` a assoluta

Dimostriamo che se l’integrale generalizzato di |f| esiste finito, allora anche l’integrale generalizzato di f esiste finito.

Siano f

e f

cos`ı definite:

f

(x) = max {f(x), 0}, f

(x) = max {−f(x), 0}

Si osservi che:

f = f

− f

|f| = f

+ f

Poich´ e

0 ≤ f

≤ |f|, 0 ≤ f

≤ |f|

e poich´ e l’integrale di |f| `e convergente, dal confronto si ottiene che gli integrali di f

e f

sono convergenti e quindi l’integrale di f = f

− f

` e convergente.

1Il limite esiste perch´e, essendo le funzioni positive, la funzione

R

a `e crescente al crescere di b.

1

3. Esercizio. Studiare le relazioni di confronto:

http://www.math.unipd.it/~umarconi/did/confronto.pdf.

Studiare le Aree con rettangoli :

http://www.math.unipd.it/~umarconi/dei/areedirettangoli.pdf 4. Esercizio. Sapendo che R

−∞

e

dx = √

π, studiare la funzione degli errori

erf(x) = 2

√ π Z

0

e

dt

Per approfondimenti, da

studiare la distribuzione normale f (x) definita dalla formula 3 alla fine di pag. 496.

5. Esercizio. Dopo aver studiato rapidamente e disegnato il grafico della curva

y

(1 − x) = 1 + x

trovare l’area della regione piana compresa tra la curva e il suo asintoto.

6. Esercizio. Una vasca contiene 250 m

di acqua. A partire dall’istante t = 0 viene immessa nuova acqua con portata a(t) = 900t dm

al minuto. Contemporaneamente l’acqua viene prelevata con portata b(t) = 30t

dm

al minuto. Studiare crescenza e convessit` a della funzione V (t) che rappresenta la quantit` a di acqua nella vasca all’istante t. Determinare i punti stazionari di V (t), l’istante e il valore di massimo assoluto. Determinare esplicitamente V (t) e disegnarne il grafico. Stimare dopo quanto tempo la vasca si svuota.

7. Esercizio. Data la retta y = −2t + 6:

• usare la geometria elementare per determinare l’area della regione compresa fra tale retta, l’asse delle x, la retta x = 1 e la retta x =

;

• usando la geometria elementare, determinare esplicitamente la funzione:

g(x) = Z

1

y dt = Z

1

( −2t + 6) dt

8. Esercizio. Calcolare:

Z

0

r 1 + x

1 − x dx mediante la sostituzione x = cos ϑ 9. Esercizio. Calcolare:

Z

−∞

1

(1 + x

)

dx mediante la sostituzione x = tan ϑ

10. Esercizio. Supponendo di non conoscere il logaritmo, si consideri la seguente funzione definita per x > 0:

l(x) = Z

1

1 t dt Dimostrare che l(a · b) = l(a) + l(b).

(Sugg: R

= R

1

+ R

a

. . . e operare un cambio di variabile in R

. . .).

Studiare poi il grafico di l(x) dopo aver calcolato l

e l

.

11. Esercizio. Esplicitando la y nel primo quadrante e con la sostituzione x = a cos

t calcolare l’area racchiusa dall’asteroide di equazione:

|x|

+ |y|

= a

2

12. Esercizio. Tramite un’opportuna sostituzione dimostrare che:

Z

0

sin

x dx = Z

0

cos

x dx

Detto I

tale integrale, trovare una formula ricorrente per I

. 13. Esercizio. Calcolare l’area racchiusa dall’ellisse di equazione:

x

a

+ y

b

= 1

14. Esercizio. Dopo aver disegnato il grafico della funzione x

− |x|, determinare esplicitamente la funzione integrale

g(x) = Z

1

(t

− |t|) dt e disegnarne il grafico.

15. Esercizio. Dopo aver disegnato il grafico della funzione | sin x|, con −π ≤ x ≤ 4π, determinare nello stesso intervallo la funzione integrale

g(x) = Z

π 2

| sin t| dt

e disegnarne il grafico.

16. Esercizio. Usando la sostituzione t = tan

dimostrare che:

Z

0

dϑ

a + b cos ϑ = π

√ a

− b

ove |b| < a.

17. Esercizio. Dire se esistono finiti i seguenti integrali impropri:

R

0

log x dx R

0 dx x³+√x

R

−∞ dx 1+x⁴

R

dx x³log x

18. Esercizio. Calcolare i seguenti integrali impropri:

R

√dx 1−x²

R

√ dt t(1+t)

R

0

tan x dx R

−∞

xe

dx 19. Esercizio. Dimostrare che l’integrale improprio

Γ(α) = Z

0

t

e

dt

esiste finito per ogni α reale positivo (la funzione Γ(α) viene detta funzione gamma di Eulero).

Mostrare con un’integrazione per parti che si ha la relazione funzionale:

Γ(α + 1) = αΓ(α) per α > 0.

Dimostrare che Γ(1) = 1 e dedurre che per ogni naturale m si ha Γ(m + 1) = m!.

BIBLIOGRAFIA

[S] James Stewart, Calcolo - Funzioni di una variabile, Maggioli (2013).

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