1. Esercizio. Da http://www.math.unipd.it/~monti/A1_ING_2015/Appunti1.pdf

Analisi Matematica 1 – Ingegneria Informatica Gruppo 4, canale 6

Argomenti 12 ottobre 2017

1. Esercizio. Da http://www.math.unipd.it/~monti/A1_ING_2015/Appunti1.pdf

(Materiali didattici–Numeri naturali. Numeri reali. Numeri complessi.) studiare il capitolo 2 e svolgere gli esercizi risolti e gli esercizi proposti.

2. Esercizio. Studiare i seguenti file PDF delle lezioni, svolgendo anche gli esercizi:

http://www.math.unipd.it/~monti/A1_ING_2015/L1.pdf http://www.math.unipd.it/~monti/A1_ING_2015/L2.pdf http://www.math.unipd.it/~monti/A1_ING_2015/L3.pdf http://www.math.unipd.it/~monti/A1_ING_2015/L4.pdf

3. Esercizio. Da http://www.math.unipd.it/~monti/A1_ING_2015/A2.pdf (Esercizi settimanali, Foglio 2) svolgere tutti gli esercizi.

Proposizione 1 Sia n ≥ 2 un numero naturale e sia ε = e ⁱ

= exp(i ^2π _n ) la radice n-esima dell’unit` a di minimo argomento positivo. Allora le radici n-esime dell’unit` a sono tutte e sole le seguenti:

1, ε, ε ² , . . . , ε ⁿ⁻¹ (1)

e si dispongono ai vertici di un poligono regolare di n lati inscritto nel circolo trigonometrico.

Esse sono tutte distinte e inoltre:

1 + ε + ε ² + · · · + ε ⁿ⁻¹ = 0 (2)

Sia w = re ^iϑ un numero complesso 6= 0 scritto in forma trigonometrica-esponenziale. Indicando con λ una radice n-esima di w, per esempio λ = r

e ⁱ

, le radici n-esime di w sono tutte e sole le seguenti:

λ, λε, λε ² , . . . , λε ⁿ⁻¹ (3)

Dimostrazione. Se 0 ≤ k ≤ n − 1 allora (ε ^k ) ⁿ = (ε ⁿ ) ^k = 1 ^k = 1, per cui i numeri scritti in (1) sono tutti radici n-esime dell’unit`a.

Essi sono tutti distinti perch´e se ε ^h = ε ^k , con 0 ≤ h ≤ k < n, si ha ε ^k−h = 1, ovvero exp(i ^k−h _n · 2π) = 1.

Poich´e ^k−h _n < 1, si deve avere k − h = 0 (exp(it) = e ^it `e iniettiva per 0 ≤ t < 2π).

Da

(1 + ε + ε ² + · · · + ε ⁿ⁻¹ )(1 − ε) = 1 − ε ⁿ = 0 essendo (1 − ε) 6= 0, si ottiene (2).

Sia 0 ≤ k ≤ n − 1. Allora:

(λε ^k ) ⁿ = λ ⁿ (ε ⁿ ) ^k = w · 1 ^k = w da cui la tesi in (3).

4. Esercizio. Svolgere gli esercizi sui numeri complessi proposti nelle pagine seguenti.

BIBLIOGRAFIA

[M] Roberto Monti, http://www.math.unipd.it/~monti/A1ING-2015.html

Analisi Matematica 1- 2014-2015, Canali 2 e 3 F. Albertini, G. Colombo

Esercizi sui complessi

1. Determinare il numero complesso α tale che il polinomio

P (z) = z ³ − (6 + 2i)z ² + (7 + 5i)z + α

abbia z ₁ = 2 come radice. Per tale valore di α trovare le altre due radici di P (z) esprimendole in forma algebrica.

2. Esprimere in forma trigonometrica e algebrica le soluzioni dell’equazione z ⁴

z ⁴ + 1 = 1 − i

√ 3 , z ∈ C e disegnarle nel piano di Gauss.

3. Determinare e disegnare nel piano di Gauss l’insieme n z ∈ C : 

|z − i| ² + (z − i) ²   ≥ 

|z − i| ² − (z − i) ²   o . 4. Si esprima in forma trigonometrica ed algebrica il numero complesso

z = Im 1 2πi

1 i − 2

! e

^πi .

Si esprimano poi in forma algebrica le radici quarte di z ⁻¹ . 5. Esprimere in forma algebrica le soluzioni dell’equazione

z ⁴ − 2 √

3z ² + 4 = 0.

6. Determinare le quattro soluzioni dell’equazione

z ² = −2i|z| ² log |z|

(sugg.: calcolarne prima il modulo e poi l’argomento).

7. Risolvere la disequazione     z − 1 1 + i  

  ≥ Re(z + 1) e disegnarne le soluzioni nel piano complesso.

8. Si considerino la funzione f : C → C, f(z) = z ³ + i e l’insieme A = {z ∈ C : |z − i| ² = 1 }.

(i) Si disegni A;

(ii) Si determini l’insieme 

f ⁻¹ (3i + 2) 

∩ A e se ne scrivano gli elementi in forma algebrica.

9. Sia f (z) = 2iz ² , z ∈ C. Sia A = {α(1+i) : α ∈ R}. Si determinino l’insieme A 1 = {f(z) : z ∈ A}

e l’insieme A 2 = {z ∈ C : f(z) ∈ A} e li si rappresentino nel piano di Gauss.

1

10. Si consideri la funzione

f (z) = i¯ z ³ − 3 + i, z ∈ C.

Si determinino e si disegnino nel piano di Gauss gli insiemi A = 

f (z) : z ∈ C, Re (z) = 0 , B = 

z ∈ C : f(z) = i − 11 . 11. Rappresentare le soluzioni z ∈ C della disequazione

 |z − 1| ² −    

z − z 2

2

− 1    

 ≤ Imz + 4 nel piano complesso.

12. Calcolare tutte le soluzioni z ∈ C dell’equazione z ⁵ = −16z

esprimendole prima in forma trigonometrica/esponenziale e poi in forma algebrica; disegnarle infine sul piano di Gauss.

13. Risolvere l’equazione 

z ² z − (z − 2i)
 = zz − z(z − 2i) e disegnare le soluzioni nel piano complesso.

Svolgimento. Si ha, per il primo membro,

 z ² z − (z − 2i)
 = |z|z z − (z − 2i)
 = |z|z z − (z + 2i)
 = |z|z(2iImz − 2i) mentre per il secondo

 zz − z(z − 2i)   = |z| 

z − (z − 2i)   = |z| 

2i − 2i Imz  , per cui z = 0 `e una soluzione. Se z 6= 0 l’equazione diventa

|z| 

2 Imz − 2   = 

2 Imz − 2  ,

che ha per soluzioni {z ∈ C : |z| = 1} e {z ∈ C : Imz = 1}. Il disegno segue.

Figura 1: Le soluzioni dell’esercizio 12.

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