Analisi Matematica 1 – Ingegneria Informatica Gruppo 4, canale 6
Argomenti 7 dicembre 2017
1. Esercizio. Da http://www.math.unipd.it/~monti/A1_ING_2015/Appunti3.pdf studiare il capitolo 4 Serie numeriche con le seguenti avvertenze.
• Del § 5 studiare solo l’enunciato e il teorema 5.1.
• Studiare la convergenza della serie armonica generalizzata usando il criterio dell’integrale, come in:
http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcII/IntegralTest.aspx
• Tenere presente che la somma di una serie numerica `e l’integrale generalizzato di una funzione a scalino.
2. Esercizio. Studiare il criterio dell’integrale in: http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcII/
IntegralTest.aspx
Studiare il criterio delle serie di segno alterno in:
http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcII/AlternatingSeries.aspx 3. Esercizio. Da http://www.math.unipd.it/~monti/A1_ING_2015/A4.pdf e da http://www.math.unipd.it/~monti/A1_ING_2015/A5.pdf
svolgere tutti gli esercizi.
4. Esercizio. Sia f (x) una funzione positiva e decrescente definita per x ≥ 1; sia l = lim x →+∞ f (x).
• Disegnare il grafico di f e il grafico della funzione a scalino g(x) = f(Int x), dove Int x indica la parte intera di x, v. ad esempio la figura a pag. 528 di [S] . Evidenziare l’area della regione piana E compresa fra il grafico di f e il grafico di g, per x ≥ 1.
• La somma finita γ n =
X n k=1
f (k) −
Z k+1
k
f (x) dx
= f (1) + f (2) + · · · + f(n) − Z n+1
1
f (x) dx
`
e una somma di areole: quali?
• La successione γ n ` e crescente; sia:
γ = lim
n →∞ γ n = X ∞ k=1
f (k) − Z k+1 k
f (x) dx
(1)
Il valore di γ, ovvero la somma della serie in (1) rappresenta l’area della regione E precedentemente descritta. Mostrare che tale area ` e finita, cio` e che la serie ` e convergente, applicando il criterio del confronto con una serie telescopica costituita da aree di rettangolini (quest’ultima con somma f (1) − l).
• Applicando le considerazioni precedenti alla funzione f(x) = 1 x , dimostrare che:
γ = lim
n →∞ 1 + 1 2 + 1
3 + · · · + 1
n − log n = lim
n →∞ 1 + 1 2 + 1
3 + · · · + 1
n − log(n + 1) esiste finito positivo (questo numero si chiama costante di Eulero-Mascheroni ).
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• Utilizzando il risultato del punto precedente, dimostrare che si ha:
1 − 1 2 + 1
3 − 1
4 + · · · + 1
2n − 1 − 1
2n + · · · = log 2 mentre si ha:
1 + 1 3 − 1
2 + 1 5 + 1
7 − 1
4 + · · · + 1
4n − 3 + 1
4n − 1 − 1
2n + · · · = 3 2 log 2
Dedurre che se i termini di una serie hanno segno variabile, allora la somma dipende dall’ordine in cui i termini sono scritti.
Integrale di Dirichlet
Si consideri l’integrale di Dirichlet: Z + ∞
−∞
sin x x dx = π Non siamo in grado di dimostrare che esso vale π.
Dimostriamo che ` e convergente.
Poich´ e la funzione integranda ` e pari, esso ` e il doppio di:
Z + ∞ 0
sin x x dx
Abbiamo: Z + ∞
0
sin x x dx =
Z 1
0
sin x x dx +
Z + ∞
1
sin x x dx
Il primo addendo ` e un integrale di Rieman, poich´ e la funzione integranda si estende per continuit` a in 0 con valore 1.
Integrando per parti il secondo addendo otteniamo:
Z + ∞ 1
sin x x dx =
− cos x x
x →+∞
x=1
− Z + ∞ 1
cos x
x 2 dx = cos 1 − Z + ∞ 1
cos x x 2 dx Poich´ e
| cos x x 2 | ≤ 1
x 2 e
Z + ∞
1
1
x 2 dx = 1
per il teorema del confronto l’ultimo integrale converge assolutamente e la dimostrazione ` e conclusa.
Vediamo ora che l’integrale di Dirichlet non ` e assolutamente convergente, cio` e:
Z + ∞
0
| sin x|
x dx = + ∞ Si ha: Z + ∞
0
| sin x|
x dx = Z π
0
| sin x|
x dx + Z 2π
π
| sin x|
x dx + · · · +
Z (n+1)π
nπ
| sin x|
x dx + · · ·
Osserviamo che se x ≤ (n + 1)π allora 1 x ≥ (n+1)π 1 . Se indichiamo con ⋆ la somma dell’ultima serie scritta, abbiamo:
⋆ ≥
Z π 0
| sin x|
π dx + Z 2π
π
| sin x|
2π dx + · · · +
Z (n+1)π nπ
| sin x|
(n + 1)π dx + · · · = 1
= 2
π + 2 π
1 2 + 2
π 1
3 + · · · + 2 π
1
n + 1 + · · · = 2 π
X ∞ k=1
1 k = + ∞ per cui l’integrale di | sin x| x ` e divergente.
5. Esercizio. Svolgere gli esercizi su successioni e serie in
http://www.math.unipd.it/~umarconi/dei/es-succ-serie.pdf
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