1. Esercizio. Da http://www.math.unipd.it/~monti/A1_ING_2015/Appunti10.pdf

Analisi Matematica 1 – Ingegneria Informatica Gruppo 4, canale 6

Argomenti 23 novembre 2017

1. Esercizio. Da http://www.math.unipd.it/~monti/A1_ING_2015/Appunti10.pdf

studiare il capitolo 9 Integrale di Riemann fino al § 5 compreso, con la seguente avvertenza: del § 2 studiare soltanto gli enunciati dei teoremi 9.2.1 e 9.2.3, tenendo presente che si tratta di corollari del seguente teorema pi` u generale.

Teorema 1 Sia f (x) una funzione limitata sull’intervallo compatto [a, b]. Se f (x) ammette limite sinistro e limite destro finiti in ogni punto x ∈]a, b[, allora f(x) `e R-integrabile su [a, b].

2. Esercizio. Dopo aver meditato sulle tavole degli integrali in http://www.math.unipd.it/~umarconi/

dei/TavoleIntegrali.pdf:

dedurre la 21 dalla 25, la 30 dalla 16, la 39 dalla 43;

dimostrare le 47, 48, 49, 55, 63, 64, 65, 67, 68, 73, 74, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 87, 88, 89 e da 96 a 102.

3. Esercizio. Calcolare i seguenti integrali indefiniti:

R arcsin x dx R ₁

cos x dx R e ^αx cos(βx) dx R

e ^αx sin(βx) dx

R x ⁵ log x dx R log x

x dx R ₁

x

e ⁻

dx R ₁

1+e

dx

R √ a ² − x ² dx R √

a ² + x ² dx

R √ x ² − a ² dx R

sin log x dx R _dx

e

+e

R _dϑ

1 −cos ϑ

R È _1+x

1 −x dx R _dϑ

a

+cos

ϑ

4. Esercizio. Per ogni numero naturale n ≥ 1 si ponga:

I n =

Z 1

(1 + x ² ) ⁿ dx Dimostrare che:

I n+1 = x 2n

1

(1 + x ² ) ⁿ + 2n − 1 2n I n

5. Esercizio. Calcolare:

Z

0

r 1 + x

1 − x dx mediante la sostituzione x = cos ϑ 6. Esercizio. Calcolare:

Z 1

0

1

(1 + x ² ) ² dx mediante la sostituzione x = tan ϑ

1

7. Esercizio. Sia c > 0. Calcolare: Z c 0

É y

c − y dy mediante la sostituzione

É y

c − y = x e anche mediante la sostituzione

É y

c − y = tan ϑ.

8. Esercizio. Un punto si muove di moto rettilineo con accelerazione (in m/sec ² ):

a(t) =

¨ 6 − ¹ ₂ t per 0 ≤ t ≤ 12

0 t ≥ 12.

Sapendo che la velocit` a iniziale ` e v ₀ = v(0) = 4 m/sec e la posizione iniziale ` e s <sub>0</sub> = s(0) = 0, determinare le funzioni velocit` a e posizione; disegnare poi i grafici di a(t), v(t), s(t). Dopo quanto tempo il punto ha percorso 536 m?

9. Esercizio. Dopo aver osservato che

Z dx

√ a ² − x ² = − arccos x a + c

determinare per parti: Z p

a ² − x ² dx

Sia ora P (x ₀ , y ₀ ) un punto del primo quadrante appartenente al circolo di equazione x ² + y ² = a ² e sia Q il simmetrico di P rispetto all’asse delle x. Dimostrare che l’area s del settore circolare compreso fra i segmenti OP e OQ e l’arco di cerchio ÷ P Q ` e data da:

s = a ² arccos x 0

a = a ² arcsin y 0

a 10. Esercizio. Dopo aver osservato che, per x > a > 0,

Z dx

√ x ² − a ² = log(x + p

x ² − a ² ) + c

determinare per parti: Z p

x ² − a ² dx

Sia ora P (x 0 , y 0 ) un punto del primo quadrante appartenente all’iperbole di equazione x ² − y ² = a ² e sia Q il simmetrico di P rispetto all’asse delle x. Dimostrare che l’area s del settore iperbolico compreso fra i segmenti OP e OQ e l’arco di iperbole ÷ P Q ` e data da:

s = a ² log

‚ x 0

a + r x 0

a

 2

− 1

Œ

= a ² log x 0 + y 0

a

11. Esercizio. Il teorema fondamentale del calcolo dice che la variazione di una grandezza che dipende da un’altra coincide con l’integrale della sua derivata prima nell’intervallo di variazione dell’altra. Nel nostro caso il volume totale di un solido ` e:

V tot = V (b) − V (a) = Z b

a

dV dh dh =

Z b

a

S(h) dh

In parole:

integrando la sezione si ottiene il volume.

Come esercizio calcolare il volume della sfera e il volume del cono circolare retto.

2

Importante. Una combinazione lineare di cos ωt e sin ωt ` e una funzione del tipo:

c 1 cos ωt + c 2 sin ωt, c 1 , c 2 ∈ R (1)

Ogni moto del tipo (1) ` e detto moto armonico.

Osservazione. Ogni funzione del tipo (1) si pu` o riscrivere nella forma:

a cos(ωt + Φ), a ≥ 0, Φ ∈ R (2)

(a ampiezza, Φ fase iniziale, τ = ^2π _ω periodo, ν = ¹ _τ = _2π ^ω frequenza, ω frequenza angolare.) Infatti, posto a = È

c ² ₁ + c ² ₂ , risulta € _c

1

a

Š 2

+ € _c

2

a

Š 2

= 1, quindi i due termini fra parentesi sono rispettiva- mente coseno e seno di un opportuno angolo −Φ. Allora la (1) diventa:

a

 c 1

a cos ωt + c 2

a sin ωt



= a (cos Φ cos ωt − sin Φ sin ωt) =

= a cos(ωt + Φ)

Il moto armonico (2) si pu` o pensare come proiezione su un diametro del moto di un punto P (t) = (x(t), y(t)) che si muove di moto circolare uniforme lungo una circonferenza di raggio a (poniamo l’origine nel centro della circonferenza; fare un disegno). Chiamiamo ω la velocit` a angolare del punto P (detta anche fre- quenza angolare); ω ` e costante. Detto ϑ = ϑ(t) l’angolo spazzato dal raggio che congiunge il centro con il punto P (t), comunque scelti due istanti distinti t ₁ e t ₂ , si ha che:

ϑ(t 2 ) − ϑ(t 1 ) t 2 − t 1

= ω (costante) indipendentemente dalla scelta di t 1 e t 2 .

Detto Φ = ϑ(0), si ha in particolare:

ϑ(t) − ϑ(0)

t − 0 = ϑ(t) − Φ

t = ω

e perci` o:

ϑ(t) = ωt + Φ (3)

Per definizione di seno e coseno, si ha:

P (t) = (x(t), y(t)) = (a cos ϑ(t), a sin ϑ(t))

Uguagliando la prima componente e tenendo conto di (3), si ottiene:

x(t) = a cos ϑ(t) = a cos(ωt + Φ)

che ` e l’equazione di un moto armonico dipendente dalle costanti a, ω, Φ.

12. Esercizio. Scrivere cos 2t − √

3 sin 2t nella forma (2). Quali sono le costanti caratteristiche di questo moto? Disegnarne il grafico.

13. Esercizio. Svolgere gli esercizi in:

http://www.math.unipd.it/~umarconi/dei/es-integrali.pdf

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