1. Esercizio. Da http://www.math.unipd.it/~monti/A1_ING_2015/Appunti8.pdf studiare il cap. 8 Calcolo differenziale, con le seguenti avvertenze.

Analisi Matematica 1 – Ingegneria Informatica Gruppo 4, canale 6

Argomenti 9 novembre 2017

1. Esercizio. Da http://www.math.unipd.it/~monti/A1_ING_2015/Appunti8.pdf studiare il cap. 8 Calcolo differenziale, con le seguenti avvertenze.

• Saltare la dimostrazione della derivata di funzione composta e studiare la dimostrazione della prima pagina in: http://www.math.unipd.it/~umarconi/did/differenziali.pdf

• Nel §6 studiare solo l’enunciato del terorema di Weierstrass 6.1.

• Fermarsi al §8 compreso saltando gli esercizi sulle serie e il teorema di Cauchy.

2. Esercizio. Da http://www.math.unipd.it/~monti/A1_ING_2015/A9.pdf (Esercizi settimanali, Foglio 9) svolgere tutti gli esercizi.

3. Esercizio. Sia f una biiezione fra intervalli derivabile con derivata mai nulla. Poich´ e

y = f ⁻¹ (x) (1)

significa: 

 

 

x ∈ immagine di f y ∈ dominio di f f (y) = x

se deriviamo l’ultima uguaglianza con x variabile indipendente otteniamo:

d

dx f (y) = d

dx x cio` e f ^′ (y) · dy dx = 1 quindi

dy dx = 1

f ^′ (y) e, tenendo conto di (1), si ottiene:

df ⁻¹

dx (x) = 1

f ^′ (f ⁻¹ (x))

`

e la formula della derivazione di funzione inversa.

4. Esercizio. Determinare i valori di m e b, dipendenti da a, per cui la funzione

f (x) = {

x ² se x ≤ a mx + b se x > a risulta derivabile ovunque.

5. Esercizio.

• Dare la definizione di punto di minimo locale per una funzione reale di variabile reale.

• Una scatola rettangolare aperta in alto ha un volume di 10 m ³ . La lunghezza della sua base ` e due volte la larghezza. Il materiale usato per costruire il fondo della scatola costa 10 Euro al m ² , il materiale per costruire le superfici laterali costa 6 Euro al m ² . Determinare la larghezza della base per cui la scatola ha costo minimo.

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6. Esercizio.

• Per le funzioni reali di variabile reale, enunciare la regola di derivazione della funzione composta, detta anche regola della catena.

• Sia:

f = ku ^α · v ^β · w ^γ · . . .

ove k, α, β, γ,. . . sono costanti reali e u, v, w,. . . sono funzioni derivabili della variabile indipen- dente x, definite e strettamente positive su un intervallo aperto J della retta reale.

Dimostrare che vale la formula:

f ^′ = f · [

α u ^′ u + β v ^′

v + γ w ^′ w + . . .

]

7. Esercizio. Derivare alla svelta la seguente espressione:

6(1 + 2t ³ )(t ³ − t) ² tan ³ t

√ 1 + 5t ² (4t)

cos ² (t ³ )

8. Esercizio.

• Sia Γ una curva cartesiana di equazione esplicita y = f(x), ove f `e una funzione reale definita su un intervallo della retta reale. Dire cosa significa che la retta y − x = 0 `e tangente alla curva Γ.

• Determinare il valore del parametro a > 0 per cui la retta y − x = 0 `e tangente alla curva esponenziale y = a ^x .

9. Esercizio.

• Dopo un breve studio, disegnare la curva Γ di equazione:

|x|

+ |y|

= a

, a > 0 fissato.

• Dimostrare che il segmento intercettato dagli assi cartesiani su qualsiasi retta tangente alla curva in un punto non cuspidale ha lunghezza costante che non dipende dalla scelta di tale punto.

10. Esercizio. Studiare la regola della catena come esposto nella prima pagina di:

http://www.math.unipd.it/~umarconi/did/differenziali.pdf 11. Esercizio. Calcolare le derivate delle seguenti funzioni:

( x+2 x −1

) 8 √

x + √

1 + x (x √

x ²

sin √ x

x

sin ³ (1 − 5x) ⁴ tan(3x − 1) ⁻

log(1 + e ^x ) e ^{√ 1+sin x} (sin x) ^{sin x} log(x + √

x ² − 1) arctan x + arctan _x ¹ arcsin _x ^x

^√ +4 ²

12. Esercizio. Sia f : [0, 1] → [0, 1] una funzione continua. Dimostrare che l’equazione f(x) = x ammette soluzione.

13. Esercizio. Dimostrare che per x > 0 e α > 1 vale la disuguaglianza:

(1 + x) ^α > 1 + x ^α

Sugg.: la funzione differenza vale 0 in 0 ed ` e derivabile; dimostrare che essa ` e crescente.

Disegnare i due grafici a confronto.

14. Esercizio. Le seguenti funzioni dipendono da alcuni parametri. Determinare condizioni sui parametri affinch´ e esse siano di classe C ¹ , cio` e derivabili con derivata prima continua.

f (x) = {

ax ² per x < 1,

mx + q per 1 ≤ x. f (x) =

 



 

x per x < 0,

ax ² + bx + c per 0 ≤ x < 1, x + 1 per x ≥ 1.

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15. Esercizio. Una sfera metallica si sta dilatando per effetto del calore cui viene sottoposta. Si determini la velocit` a con cui varia la superficie allorch´ e essa ` e di 36 dm ² se in quell’istante il volume sta aumentando con velocit` a pari a 720 cm ³ all’ora.

Sugg. Ricordare: ^dV _dt = ^dV _dr · ^dr _dt e ^dS _dt = . . ..

16. Esercizio. Un liquido viene versato in un recipiente a forma di cono circolare retto in ragione di 6 cm ³ al secondo. Il cono ` e alto 30 cm e il raggio dell’imboccatura ` e di 20 cm. Con quale velocit` a cresce il livello nell’istante in cui l’imbuto contiene 32π cm ³ di liquido?

17. Esercizio. Una scala a pioli lunga 5 m ` e appoggiata a una parete verticale e il suo piede ne viene allontanato con velocit` a di un metro al secondo. Ai piedi della scala c’` e un uomo eretto alto 2 m che si sposta con la scala. All’estremo superiore della scala ` e attaccata una lampadina che si muove con la scala strisciando lungo la parete. Con quale velocit` a cresce la lunghezza dell’ombra dell’uomo quando il piede della scala si trova a 3 m dalla parete?

18. Esercizio. Un lungo contenitore rettangolare ` e dotato di una parete mobile che lo suddivide in due contenitori variabili larghi 4 dm. Una quantit` a d’acqua ` e pompata nello scomparto di sinistra con portata 12 dm <sup>3</sup> /min. Contemporaneamente il pannello si muove con velocit` a costante pari a 1dm/min verso destra. Determinare nei seguenti casi se il livello d’acqua sale o scende e a quale velocit` a:

1. Lo scomparto di sinistra ` e lungo 9 dm e contiene 144 dm ³ di acqua.

2. Lo scomparto di sinistra ` e lungo 18 dm e contiene 144 dm ³ di acqua.

19. Esercizio. Sia f (x) = x + arctan x. Dimostrare che f ` e un diffeomorfismo di R su tutto R e calcolare (f ⁻¹ ) ^′ (0). Diffeomorfismo significa funzione biiettiva, derivabile con inversa derivabile.

20. Esercizio. Dimostrare che la funzione f (x) = x + log x + e ^x definita per x > 0 ` e strettamente crescente e determinare l’immagine di f .

21. Esercizio. Studiare la famiglia di funzioni f _a , a > 0, cos`ı definite per x > 0:

f a (x) = ( a

x ) x

Dimostrare in particolare che ogni funzione ha almeno un flesso.

22. Esercizio. Una mattina inizia a nevicare e la neve continua a cadere costantemente per tutto il giorno. A mezzogiorno uno spazzaneve incomincia a pulire una strada con velocit` a costante in termini di volume di neve rimossa per unit` a di tempo. Alle ore 14 lo spazzaneve ` e riuscito a pulire 2 Km di strada e alle ore 16 un ulteriore Km. Quando ` e iniziato a nevicare?

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Il polinomio di Taylor di grado 1.

23. Esercizio. Sia f (x) una funzione derivabile in a. Se poniamo ε = ε(x) = f (x) − f(a)

x − a − f ^′ (a) otteniamo con facili passaggi:

f (x) = f (a) + f ^′ (a) · (x − a) + ε · (x − a) (2) ove ε ` e una funzione di x tale che lim

x →a ε = 0.

La formula (2) si chiama formula (sviluppo) di Taylor di punto iniziale a con il resto del primo ordine nella forma di Peano.

Il polinomio p 1 (x) = f (a) + f ^′ (a) · (x − a) `e il polinomio di primo grado che meglio approssima f, nel senso che il suo valore e quello della sua derivata prima coincidono in a con quelli di f . Tale polinomio si chiama polinomio di Taylor di grado 1 della funzione f , con punto iniziale a. In [s] esso viene chiamato linearizzazione di f in a.

Il termine ε · (x − a), che `e infinitesimo di ordine superiore al primo per x → a, non ci dice nulla sull’errore che commettiamo valutando i valori del polinomio al posto dei valori della funzione.

24. Esercizio. Nel caso a = 0 la formula di Taylor si chiama formula di Maclaurin.

Riconoscere la correttezza delle seguenti formule, ove ε ` e una funzione infinitesima per t → 0:

e ^t = 1 + t + ε · t cos t = 1 + ε · t

sin t = t + ε · t (1 + t) ^α = 1 + αt + ε · t log(1 + t) = . . . arctan t = . . .

25. Esercizio. Studiare le seguenti curve:

y ² = x ³ + 3x ² (cubica di Tschirnhausen) (x ² + y ² )(x − 2a) + a ² x = 0 (strofoide)

x ² y ² = (x + 1) ² (4 − x ² ) (concoide di Nicomede) (y − x) ² = |x ² − 4| (due coniche)

y ^x = x y ^{log x} = e

y(x ² − 1) = x log |x| y = log(1 + e ^x ) + _{1 −e} ^x

26. Esercizio. Usando gli sviluppi di Taylor, determinare gli asintoti obliqui a + ∞ delle seguenti funzioni:

√

3x ⁷ − 4x ⁶ log(2 + 4 ^x )

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