TECNICA DELLE COSTRUZIONI

(1)

Prof. Angelo MASI Corso di Tecnica delle Costruzioni 1

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DELLA BASILICATA Corso di

TECNICA DELLE COSTRUZIONI

LO STATO LIMITE ULTIMO DI TORSIONE NELLE STRUTTURE IN C.A.

Docente: Prof. Ing. Angelo MASI Collaboratori: Ing. Vincenzo MANFREDI

Ing. Giuseppe VENTURA

Ing. Giuseppe SANTARSIERO

(2)

La sollecitazione di TORSIONE

La sollecitazione di TORSIONE si presenta quando l’azione applicata NON passa per il centro di taglio C della sezione.

La TORSIONE è sempre accompagnata da flessione e taglio.

La TORSIONE viene usualmente trascurata, salvo poi tenerne conto per una verifica puntuale di alcuni elementi caratteristici per i quali tale sollecitazione non è trascurabile, come accade ad esempio per le travi a ginocchio, elementi strutturali necessari per sostenere le rampe del corpo scala.

C

V

d

Momento torcente

T = V d

(3)

TORSIONE: primaria e secondaria

Qualora l’equilibrio statico di una struttura dipenda dalla resistenza torsionale degli elementi che la compongono sarà necessario un calcolo completo della torsione nei riguardi sia degli stati limite ultimi che di esercizio (Torsione primaria).

Qualora, in strutture iperstatiche, la torsione insorga solo per esigenze di compatibilità e la stabilità della struttura non dipenda dalla resistenza torsionale, non sarà generalmente necessario considerare la torsione allo stato limite ultimo (Torsione secondaria).

Nei casi in cui la torsione non è essenziale per la stabilità, possono comunque essere richiesti adeguati accorgimenti per limitare un’eccessiva fessurazione allo stato limite d’esercizio (valori minimi di staffe e ferri longitudinali)

(4)

TORSIONE: primaria e secondaria

(a) (b)

Torsione secondaria (a) Torsione primaria (b)

o di congruenza o di equilibrio

(5)

TORSIONE: diagramma tensioni tangenziali

La legge di distribuzione delle tensioni tangenziali dovute alla torsione varia con la forma della sezione, per cui non si è in grado di stabilire, anche in via approssimata, una relazione che possa essere valida per qualsiasi forma.

Pertanto, si forniscono di seguito, per le sezioni di più comune impiego, le espressioni delle τ_max.

L’ipotesi di base è di materiale elastico, omogeneo ed isotropo

A partire dalla teoria di De Saint-Venant, per azione di un momento torcente T, in una

sezione circolare in fase elastica si originano tensioni tangenziali di intensità crescente verso l’esterno della sezione.

sezione circolare

(6)

TORSIONE: sezione circolare

La massima tensione prodotta all’estremo vale:

max 3

2 r T W

T

t

= ⋅

= π

τ

Nel caso di una sezione anulare di raggi r_e e r_i, rispettivamente esterno ed interno, si ha:

) (

2

4 max 4

i e

e

r r

r T

−

= ⋅ τ π

2 r

3

W

_t

⋅

= π

Definito il modulo di

resistenza della sezione W_t

(7)

TORSIONE: sezione circolare

La rotazione dφ delle parti terminali di un concio elementare dx rispetto all’asse baricentrico per effetto di T vale:

GJ dx d =φ T

in cui:

- G è il modulo elastico tangenziale⁽¹⁾

- J è il momento di inerzia torsionale (momento di inerzia polare) Per la sezione circolare vale:

2 r4

J ⋅

=

π

(1) G = E /(1+ν), con ν modulo di Poisson

(8)

TORSIONE: sezione rettangolare

Nel caso di sezioni rettangolari, di base b ed altezza a (b ≤ a,

β

^=b/a

≤ 1), vale sempre:

Wt

= T τmax

dove il modulo di

resistenza della sezione vale: con ²

1

a b

k

W

_t

= ⋅ ⋅

Il momento di inerzia torsionale è pari a:

3

2

a b

k

J = ⋅ ⋅

β

⋅

≅ +

8 . 1 3

1 k1

2 3

1 . 4 3

1 β

⋅

≅ + k

In presenza di sezioni costituite da n parti a spessore costante, il momento di inerzia torsionale si ottiene sommando i contributi calcolati per le singole parti.

(9)

TORSIONE: sezione anulare

Per le sezioni ad anello chiuso di piccolo spessore vale la formula di Bredt, per la quale, ipotizzando che la tensione si mantenga costante sullo spessore (come il flusso q lungo l’intero perimetro), si ha:

∫ ^⋅ ^⋅

= t r ds

T ( τ )

t q = τ ⋅

qA dA

q rds

t T

A

2

2 =

=

⋅

=

^τ ∫ ∫

A q T

= 2

con A area racchiusa dalla linea media della sezione anulare.

Da cui si ricava:

(con t spessore della sezione anulare)

(10)

TORSIONE: sezione anulare

Il valore della tensione tangenziale max secondo la formula di Bredt è valutato attraverso:

:

t A 2

T

max

= ⋅ ⋅

τ

(11)

Le travi soggette a torsione denotano un comportamento

nettamente differente nei due stadi non

fessurato e fessurato.

La caratteristica principale della diversità è la forte riduzione della

rigidezza torsionale che si verifica dopo la fessurazione, fino a diventare 1/4-1/5 del valore iniziale.

S.L.U. TORSIONE (Traliccio spaziale resistente)

θ T

O

T=GC Jθ Ty

T0

A

B

C Tr D

T=ES J’θ

T₀ = max resistenza a torsione in assenza di apposite armature

(12)

S.L.U. TORSIONE (Traliccio spaziale resistente)

Isostatiche di trazione e compressione in una trave sollecitata a torsione

(in presenza di sole tensioni

tangenziali τ, i valori delle tensioni principali di trazione σ_I e

compressione σ_II coincidono con il valore della τ)

Andamento delle

fessurazioni in una trave in c.a. (confrontare con l’andamento delle tensioni principali di trazione)

trazione

Fessure da torsione

(13)

S.L.U. TORSIONE (Traliccio spaziale resistente)

Traliccio spaziale costituito da:

- bielle di calcestruzzo compresso inclinate di un angolo θ

- bielle di acciaio teso rappresentate dalle armature longitudinali e dalle staffe chiuse disposte

ortogonalmente alla linea d’asse

(14)

Prof. Angelo MASI 14 Corso di Tecnica delle Costruzioni

S.L.U. TORSIONE (Traliccio spaziale resistente)

Per la progettazione (e verifica) delle sezioni sottoposte a momento

torcente si assume un modello di calcolo con sezione cava a parete sottile di spessore t .

Le tensioni tangenziali sono ipotizzate costanti all’interno dello spessore della parete.

L’angolo θ di inclinazione delle bielle di cls è considerato variabile, in

funzione delle quantità di armatura longitudinale e trasversale (modello a inclinazione variabile)

(15)

S.L.U. TORSIONE (Traliccio spaziale resistente)

Valutazione dello sforzo nell’armatura longitudinale S_l

Lo sforzo di scorrimento Q_v1 sulla faccia verticale di lunghezza a e spessore t vale:

a t Q

_v₁

= τ ⋅ ⋅

Le altre componenti del poligono di forze sono:

- S_l1 trazione nelle barre longitudinali nella singola parete - S_c compressione nel puntone di cls inclinato dell’angolo θ

Singola parete della sezione cava

(16)

S.L.U. TORSIONE (Traliccio spaziale resistente)

Lo sforzo di trazione nelle barre longitudinali in una singola parete vale:

θ

⋅

⋅ τ

= θ

⋅

= Q cot t a cot S

_l₁ _v₁

Lo sforzo di trazione totale si ottiene sommando i contributi di ogni parete:

∑

= =

⋅

⋅ τ

⋅ θ

=

⁴

1 i

i 4

1 i

li

l

S cot t a

S

θ θ

τ cot

cot = 2 ⋅ ⋅

⋅

= p

A p T

t S

_l

Definendo perimetro medio p il valore

e considerando la formula di Bredt si ha:

∑

=

⁴

1 i

a

i

p

(17)

S.L.U. TORSIONE (Traliccio spaziale resistente)

Uguagliando il massimo valore di trazione delle barre S_ld (capacità) con lo sforzo S_l indotto dall’azione torcente (domanda) si ottiene il valore del momento torcente

T

_Rld che produce la crisi dell’armatura

longitudinale:

θ 2 ⋅ ⋅ cot

= ⋅

⋅

= p

A A T

f

S

_ld _yd _sl ^Rld

⋅ θ

⋅ ⋅

⋅

= cot

1 p

A A 2

f

T

_Rld _yd _sl

Momento torcente resistente delle barre longitudinali

(18)

S.L.U. TORSIONE (Traliccio spaziale resistente)

Valutazione dello sforzo nell’armatura trasversale S_s

Lo sforzo di scorrimento trasversale Q_h sulla faccia orizzontale vale:

z t

Q

_h

= τ ⋅ ⋅ ∆

Le altre componenti del poligono di forze sono:

- S_s trazione nelle barre trasversali - S_c compressione nel puntone di cls

(19)

S.L.U. TORSIONE (Traliccio spaziale resistente)

Lo sforzo di trazione nelle armature trasversali è valutato attraverso:

θ

⋅

∆

⋅

= θ

⋅

∆

⋅

⋅ τ

= θ

⋅

= z tg

A 2 tg T

z t

tg Q

S

_s _h

Uguagliando il massimo valore di trazione delle barre S_sd con lo sforzo S_s indotto dall’azione torcente si ottiene il valore del momento torcente

T

_Rsd che produce la crisi dell’armatura trasversale:

θ

⋅

∆

⋅ ⋅

∆ =

⋅ ⋅

= z tg

A 2

T s

z f A

S

_sd _yd ^s ^Rsd

⋅ ⋅ θ

⋅

= cot

s A A 2

f

T

_Rsd _yd ^s

Momento torcente resistente delle armature trasversali

(20)

S.L.U. TORSIONE (Traliccio spaziale resistente)

Valutazione dello sforzo di compressione delle bielle di cls S_c

θ =

θ

⋅

= τ θ

∆

⋅

= τ

= θ

cos

cot a

t cos

z t

cos S

_c

Q

^h

La componente di compressione S_c del poligono di forze è pari a:

= θ θ

⋅

= τ

sen a A

2 T sen

a

t

(21)

S.L.U. TORSIONE (Traliccio spaziale resistente)

La capacità del puntone compresso è valutabile attraverso:

θ

⋅

⋅ σ

⋅ ν α

= t a cos

S

_cd _c _cd

dove α_c tiene conto degli effetti dovuti alla presenza di un eventuale sforzo assiale e ν della reale distribuzione delle tensioni nella sezione della biella

(22)

S.L.U. TORSIONE (Traliccio spaziale resistente)

Uguagliando il massimo valore di compressione delle bielle di cls S_cd (capacità) con lo sforzo indotto dall’azione torcente S_c (domanda) si ottiene il valore del momento torcente T_Rcd che produce la crisi della biella compressa:

Momento torcente resistente delle bielle compresse La massima resistenza si ottiene per una inclinazione θ = 45°.

θ θ σ

ν

α sen

a A

a T t

S

_cd _c _cd ^Rcd

cos = 2

⋅

=

θ +

⋅ θ

⋅ σ

⋅ ν α

⋅

= θ

⋅ θ

⋅

⋅ σ

⋅ ν α

⋅

=

_c _cd _c _cd ₂

Rcd

1 cot

t cot A

2 sen

cos t

A

2 T

(23)

La verifica dello SLU per sollecitazioni di torsione è soddisfatta se:

T

^Rd

≥ T

^Ed

dove TEd è il valore di calcolo del momento torcente agente e TRd è il momento torcente resistente pari al mimino tra il valore della resistenza delle bielle di cls compresse (TRcd), delle barre longitudinali (TRld), e delle armature trasversali (TRsd):

T

^Rd

= min (T

^Rcd

, T

^Rld

^, T

^Rsd

⁾

La verifica è riferita a sezioni prismatiche cave o piene il cui schema resistente è riconducibile ad un traliccio periferico in cui gli sforzi di trazione sono affidati alle armature longitudinali e trasversali ivi contenute e gli sforzi di compressione sono affidati alle bielle di calcestruzzo.

S.L.U. TORSIONE (NTC2018)

(24)

La verifica dello SLU per sollecitazioni di torsione è soddisfatta se:

T

^Rd

≥ T

^Ed

T

^Rd

= min (T

^Rcd

, T

^Rld

^, T

^Rsd

⁾

S.L.U. TORSIONE (NTC2018)

⋅ θ

⋅ ⋅

⋅

= cot

1 p

A A 2

f

T

_Rld _yd _sl Momento torcente resistente

delle barre longitudinali

θ

⋅ ⋅

⋅

= cot

s A A 2

f

T

_Rsd _yd ^s Momento torcente resistente

delle armature trasversali

Momento torcente resistente delle bielle compresse

) cot

1 /(

cot f

t A 2

T

_Rcd

= ⋅ ⋅ ⋅

_cd^'

⋅ θ +

²

θ

(25)

Prof. Angelo MASI Corso di Tecnica delle Costruzioni 25 Momento torcente resistente delle bielle di calcestruzzo (TRcd)

La resistenza delle bielle si calcola attraverso la seguente espressione:

) cot

1 /(

cot f

t A 2

T

_Rcd

= ⋅ ⋅ ⋅

_cd^'

⋅ θ +

²

θ

_t

A

H

b c

u^m

S.L.U. TORSIONE (NTC2018)

NOTA: la tensione del cls è ridotta perché le bielle sono presso-inflesse

A area racchiusa nel perimetro medio u_m t = A_c/u ≥ 2c spessore della sezione cava;

A_c = b x H area della sezione;

u perimetro della sezione;

A area racchiusa entro la fibra media del perimetro della sezione;

f’_cd f'_cd resistenza a compressione ridotta del calcestruzzo d’anima (f '_cd = 0,5× f_cd );

θ angolo di inclinazione delle bielle di cls con limitazione:

(26)

Prof. Angelo MASI Corso di Tecnica delle Costruzioni 26 Momento torcente resistente delle armature trasversali e longitudinali (TRsd, TRld)

La resistenza delle armature trasversali si calcola attraverso la seguente espressione:

θ

⋅

= f cot

s A A 2

T_Rsd ^s _yd

A_s è l’area della staffa;

u_m è il perimetro medio del nucleo resistente, s passo delle staffe;

∑A_l area complessiva delle barre longitudinali;

A area racchiusa nel perimetro medio della sezione cava θ angolo di inclinazione delle bielle di cls con la limitazione:

La resistenza delle armature longitudinali si calcola attraverso la seguente espressione:

cot

θ

2 Σ ⋅ ⋅ 1

⋅

= _yd

m l

Rld f

u A A T

S.L.U. TORSIONE (NTC2018)

t

A

H

b c

u^m

(27)

Prof. Angelo MASI Corso di Tecnica delle Costruzioni 27 COMPORTAMENTO A ROTTURA DELLE SEZIONI

VERIFICA SLU PER SOLLECITAZIONI DI TORSIONE

Snervamento simultaneo delle armature (staffe + barre longitudinali)

Rottura delle bielle di cls e contemporaneo snervamento delle staffe

Rottura delle bielle di cls e contemporaneo snervamento delle barre longitudinali

Nelle sezioni in c.a. sottoposte a torsione sono possibili 3 diverse condizioni di verifica:

(28)

Il valore cotθ è determinato imponendo l’uguaglianza tra T_Rsd e T_Rld

2 / 1 s l Rsd

Rld T cot (a /a )

T = ⇒ θ =

VERIFICA SLU PER SOLLECITAZIONI DI TORSIONE

= ∑ _l _m

l A /u

a a_s = A_s / s

dove e

Se risulta che e

T

_Rcd

(cot θ ) ≥ T

_Rld

= T

_Rsd

allora la torsione resistente della sezione (T_Rd) è uguale alla torsione resistente delle staffe ovvero delle barre longitudinali (T_Rld =T_Rsd) (caso1)

Rsd Rld

Rd

T T

T = =

CASO 1: ROTTURA SIMULTANEA DELLE ARMATURE (STAFFE + BARRE)

θ

⋅

= f cot

s A A 2

T_Rsd ^s _yd ₌

θ cot

2 Σ ⋅ ⋅ 1

⋅

= _yd

m l

Rld f

u A A T

(29)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0 1 2 3 4 5

momento torcente [kNm]

cotθ

θ=45° θ=21°.8

VERIFICA SLU PER SOLLECITAZIONI DI TORSIONE

Tsd = momento agente

caso 1

Trcd

Trld

) cot 1

/(

cot f

t A 2

T_Rcd = ⋅ ⋅ ⋅ _cd^' ⋅ θ + ² θ

θ cot 2 Σ ⋅ ⋅ 1

⋅

=

_yd

m l

Rld

f

u A A

T

₌ _⋅ _⋅ _⋅_f _⋅_cot_θ

s A A 2

T_Rsd ^s _yd

θ

(30)

Se TRcd calcolato in corrispondenza del valore cotθ è minore di TRsd

(ovvero TRld) allora la crisi avviene per:

VERIFICA SLU PER SOLLECITAZIONI DI TORSIONE

CASO 2: ROTTURA DELLE BIELLE DI CLS E SNERVAMENTO DELLE STAFFE

CASO 3: ROTTURA DELLE BIELLE DI CLS E SNERVAMENTO DELLE BARRE LONGITUDINALI

Bisogna, quindi, determinare il valore della cotθ per i casi di rottura 2 e 3 (cotθs; cotθl ).

La torsione resistente TRd è data dal valore più grande assunto in corrispondenza dei due valori di cotθ secondo la seguente espressione:

oppure

{ ^T ^(cot ^); ^T ^(cot ⁾ }

max

T

_Rd

=

_Rcd

θ

_s _Rcd

θ

_l

(31)

Il valore

cotθ

_s è determinato imponendo l’uguaglianza tra TRsd e T^Rcd

f 1 A

s f cot t

T T

yd s

' cd s

Rsd

Rcd −

⋅

= ⋅ θ

⇒

=

VERIFICA SLU PER SOLLECITAZIONI DI TORSIONE

Il valore

cotθ

_l è determinato imponendo l’uguaglianza tra T^Rld e TRcd

m yd ' l

cd

m yd l

l Rld

Rcd

u f f A

t

u f A cot

T

T ∑

∑

− ⋅

⋅

= θ

⇒

=

CASO 2: ROTTURA DELLE BIELLE DI CLS E SNERVAMENTO DELLE STAFFE

CASO 3: ROTTURA DELLE BIELLE DI CLS E SNERVAMENTO DELLE BARRE LONGITUDINALI

(32)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0 1 2 3 4 5

cotθ

θ=45° θ=21°.8

VERIFICA SLU PER SOLLECITAZIONI DI TORSIONE

caso 2

CLS+staffe

θ_s

(33)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0 1 2 3 4 5

cotθ

θ=45° θ=21°.8

VERIFICA SLU PER SOLLECITAZIONI DI TORSIONE

caso 3

Cls + arm.long.

θ_l

(34)

VERIFICA SLU PER SOLLECITAZIONI DI TORSIONE

crisi simultanea delle bielle di cls e delle armature trasversali (CASO 2.1) Se risulta cotθ = (a_l /a_s)¹^/² > 2.5 allora nella sezione si attinge la

Il valore di

cotθ

è determinato ponendo:

f 1 A

s f cot t

T T

yd s

' cd s

Rsd

Rcd −

⋅

= ⋅ θ

⇒

=

Il valore del momento torcente resistente è dato da:

) cot

1 /(

cot f

t A 2

T_Rcd = ⋅ ⋅ ⋅ _cd^' ⋅ θ_s + ² θ_s

s yd

s

Rsd f cot

s A A 2

T = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ θ

ovvero da:

In considerazione del limite di norma sul valore di cotθ si possono avere dei sotto-casi di verifica.

(35)

VERIFICA SLU PER SOLLECITAZIONI DI TORSIONE

Se risulta

cotθ

_s

> 2.5

allora il momento torcente resistente è dato da:

s yd

s

Rsd f cot

s A A 2

T = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ θ

dove

cotθ

_s

= 2.5

CASO 2.2

(36)

VERIFICA SLU PER SOLLECITAZIONI DI TORSIONE

crisi simultanea delle bielle di cls e delle armature longitudinale (CASO 3.1)

Se risulta allora nella sezione si attinge la

Il valore di

cotθ

è determinato ponendo:

Il valore del momento torcente resistente è dato da:

) cot

1 /(

cot f

t A 2

T_Rcd = ⋅ ⋅ ⋅ _cd^' ⋅ θ_l + ²θ_l ovvero da:

m yd ' l

cd

m yd l

l Rld

Rcd

u f f A

t

u f A cot

T

T ∑

∑

− ⋅

⋅

= θ

⇒

=

l yd

m l

Rld cot

f 1 u

A A 2

T = ⋅ ⋅^∑ ⋅ ⋅ θ

(37)

VERIFICA SLU PER SOLLECITAZIONI DI TORSIONE

Se risulta

cotθ

_l

< 1

allora il momento torcente resistente è dato da:

dove

cotθ

_l

= 1

l yd

m l

Rld cot

f 1 u

A A 2

T = ⋅ ⋅^∑ ⋅ ⋅ θ

CASO 3.2

(38)

Per il progetto/verifica dell’armatura resistente a torsione può essere realizzato un diagramma riportante la funzione della torsione resistente del cls (TRcd) e le funzioni della torsione resistente delle barre longitudinali (TRld) e trasversali (TRsd) per diversi valori del rapporto di armatura (ωsw; ωsl) al variare del valore di cotθ.

Le soluzioni possibili sono tutti i punti di intersezione tra le funzioni T^Rld e T^Rsd che ricadono entro i valori cotθ = 1.0 e cotθ = 2.5 e delimitati dai punti della funzione T^Rcd e del valore della torsione agente T^Sd

ATTENZIONE: Se il valore della torsione agente TSd risulta essere maggiore del valore massimo della torsione resistente del cls TRcd

(valutato per cotθ = 1) bisogna necessariamente definire una nuova geometria della sezione di cls ovvero utilizzare un cls di resistenza maggiore

Metodo di Progetto/verifica grafico delle armature

(39)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0 1 2 3 4 5

cotθ

cls staffe arm. long.

Tsd

θ=45° θ=21°.8

VERIFICA SLU PER SOLLECITAZIONI DI TORSIONE

Trcd Tsd

Trsd Trld

area di verifica

soddisfatta Trd > Tsd

(40)

TORSIONE, FLESSIONE E SFORZO NORMALE

Le armature longitudinali calcolate con le regole richieste per garantire la resistenza richiesta nei riguardi della sollecitazione torcente devono essere aggiunte a quelle calcolate nei riguardi delle verifiche per flessione.

Si applicano inoltre le seguenti regole:

- nella zona tesa all’armatura longitudinale richiesta dalla sollecitazione di flessione e sforzo normale, deve essere aggiunta l’armatura richiesta dalla torsione;

- nella zona compressa, se la tensione di trazione dovuta alla torsione è minore della tensione di compressione nel calcestruzzo dovuta alla flessione e allo sforzo normale, non è necessaria armatura longitudinale aggiuntiva per torsione.

S.L.U. SOLLECITAZIONI COMPOSTE (NTC2018)

(41)

TORSIONE E TAGLIO

Per quanto riguarda la crisi lato calcestruzzo, la resistenza massima di una membratura soggetta a torsione e taglio è limitata dalla resistenza delle bielle compresse di calcestruzzo. La verifica è soddisfatta se risulta:

I calcoli per il progetto delle staffe possono effettuarsi separatamente per la torsione e per il taglio, sommando o sottraendo su ogni lato le aree richieste sulla base del verso delle relative tensioni.

V 1 V T

T

Rcd Ed Rcd

Ed

+ ≤

ATTENZIONE:

Per l’angolo θ delle bielle compresse di conglomerato cementizio deve essere assunto un unico valore per le due verifiche di taglio e torsione.

S.L.U. SOLLECITAZIONI COMPOSTE (NTC2018)

TECNICA DELLE COSTRUZIONI