S oluzioni de llo s critto de l 12 ge nna io 2000
Es e rcizio n.1
Ba s ta s crive re due ve ttori indipe nde nti e ortogona li a (1; 2; 1), a d e s e m- pio (1; 0;¡1) e (1;¡1; 1). Le e qua zioni pa ra me triche de l pia no s ono a llora (x; y; z) = t(1; 0;¡1) + s(1; ¡1; 1) e que lla ca rte s ia na è x + 2y + z = 0:
Es e rcizio n.2
Ba s ta s crive re una ma trice 3£ 3 con due colonne cos tituite da i ve t- tori che ge ne ra no il pia no e de te rmina re la te rza colonna da lla condizione 0
@ 1 1 a 0 ¡1 b
¡1 1 c 1 A
0
@ 1 2 1
1 A =
0
@ 3 + a
¡2 + b 1 + c
1 A =
0
@ 0 0 0
1
A; s i ottie ne 0
@ 1 1 ¡3 0 ¡1 2
¡1 1 ¡1 1 A Es e rcizio n.3
(a ) La ma trice de lla a pplica zione line a re è A = 0
@ 1 ¡1 1
¡1 1 1 0 0 ¡1
1 A, con
polinomio ca ra tte ris tico: ¡X3+X2+2X. Una ba s e de ll'imma gine è : 8<
: 0
@ 1
¡1 0
1 A ;
0
@ 1 1
¡1 1 A
9=
;
, e una ba s e de l nucle o è : 8<
: 0
@ 1 1 0
1 A
9=
; .Gli a utova lori s ono: 0;¡1; 2 e gli a u-
tove ttori:
8<
: 0
@ ¡1
¡1 1
1 A
9=
;$ ¡1;
8<
: 0
@ ¡1 1 0
1 A
9=
;$ 2;
8<
: 0
@ 1 1 0
1 A
9=
;$ 0:
(b) Il s is te ma propos to è l'e qua zione pe r gli a utove ttori de ll'a utova lore 1 de lla ma trice A100 (i cui a utova lori s ono, ovvia me nte , 0100; (¡1)100 = 1 e 2100). S iccome l'a utova lore 1 e s is te e tutti gli a utova lori s ono dis tinti è chia ro che tutti gli a utos pa zi s ono di dime ns ione uno, pe r cui il s is te ma ha 11 s oluzioni.
Es e rcizio n.4
La ma trice de i coe f f i cie nti èA = 0
@ 1 0 k 1 0 1 1 1 0
1
A; la ma trice comple ta ta è
B = 0
@ 1 0 k 0 1 0 1 k 1 1 0 k
1 A :
1
S i ha det A = ¡1 + k pe r cui rango(A) = 2 pe r k = 1 e rango(A) = 3 ne gli a ltri ca s i.
Me ntre rango(B) = 3 pe r ogni va lore di k: Allora il s is te ma pe r k = 1 non ha s oluzioni, me ntre ne gli a ltri ca s i ha una unica s oluzione .
Es e rcizio n.5
S i nota s ubito che v3 = v1+v2, v6 = 2v1e che v2; v4; v1 s ono indipe nde nti.
QuindiU = Spanfv1; v2g e V = Spanfv3; v4; v5; v6g = Spanfv2; v4; v1g pe rchh v5 èuna combina zione line a re de i tre ve ttori indip e nde nti v 2; v4; v1: Ne s e gue imme dia ta me nte che :
(a ) la dime ns ione diU \ V h due e una ba s e è v1; v2: (b) la dime ns ione diU + V h tre e una ba s e è v2; v4; v1:
(c) ba s ta s crive re un ve ttore ortogona le a v2 e v1, a d e s e mpio 0
@ ¡2 1 1
1 A :
Es e rcizio n.6
(a ) Il de te rmina nte è 2k2 ¡ 1 pe r cui la ma trice è inve rtibile pe r k 6=
§p 1=2
(b) il p olinomio ca ra tte ris tico è : ¡X2 + 2Xk ¡ 2k2 + 1; gli a utova lori:
k+p
(¡k2+ 1); k¡p
(¡k2+ 1)s ono reali e dis tinti s e - 1 < k < 1 . G l i a u- tove ttori s ono:
(Ã
¡
p(¡k2+1)
¡1+k1
!)
$ k+p
(¡k2+ 1);
(Ã p(¡k2+1)
¡1+k1
!)
$ k ¡p
(¡k2+ 1) e la ma trice è dia gona lizza bile pe rchè c'è una ba s e di a u- tove ttori.
Ne i due ca s i pa rticola rik =§1s i ve de s ubito che gli a utova lori non s ono re gola ri pe rchè la dime ns ione de ll'a utos pa zio corris ponde nte è uno; la ma trice non è dia gona lizza bile . Infa tti ris ulta
µ 1 2 0 1
¶
con a utove ttore
½µ 1 0
¶¾
$ 1 e
µ ¡1 0 2 ¡1
¶
con a utove ttore
½µ 0 1
¶¾
$ ¡1
(c) gli a utove ttori s ono ortogona li qua ndo ce ne s ono a lme n o due , indipe n- de nti e r e a l i ; inoltre , de ve e s s e re :
³
¡
p(¡k2+1)
¡1+k 1
´Ã p
(¡k2+1)
¡1+k1
!
=¡(¡k¡1+k)2+12+1 = 0, la cui unica s oluzione a cce tta bile è k = 0:
2
