Capitolo 5 Applicazioni lineari Marco Robutti

Capitolo 5

Applicazioni lineari

Marco Robutti

Facoltà di ingegneria Università degli studi di Pavia

Anno accademico 2017-2018 Tutorato di geometria e algebra lineare

Definizione (Applicazione lineare)

Un’applicazione L : V −→ W è lineare se soddisfa le seguenti proprietà:

1) L (0_V) = 0_W;

2) L (v1+ v2) = L (v1) + L (v2) ∀v₁, v2∈ V ; 3) L (αv ) = αL (v ) ∀v ∈ V , ∀α ∈ R;

Un’applicazione in cui lo spazio di partenza e arrivo sono uguali, cioè L : V −→ V , è detta operatore lineare o endomorfismo.

Definizione (Forma matriciale di un’applicazione lineare) Data l’applicazione lineare L : V −→ W , dim (V ) = n, dim (W ) = m, scegliamo due basi B_V = {v₁, . . . , v_n} per V e B_W = {w1, . . . , wn} per W . Allora, posti:

X = [v ]_B

V , v ∈ V , Y = [L (v )]_B

W , v ∈ V ,

abbiamo che l’applicazione lineare in forma matriciale è data da:

AX = Y , A ∈ M_R(m, n)

A =^[L (v₁)]_B

W | · · · | [L (v_n)]_B

W



Definizione (Nucleo)

E’ il sottospazio definito nel modo seguente:

ker (L) = {v ∈ V | L (v ) = 0_W} ’in forma astratta

ker (L) = {X ∈ Rⁿ| AX = 0_m} ’in forma matriciale

dim (ker (L)) = n − rg (A) , ker (L) ⊂ V

“Le equazioni cartesiane di ker (L) sono le righe linearmente indipendenti della matrice A.”

Definizione (Immagine)

E’ l’insieme definito nel modo seguente:

Im (L) = {w ∈ W | ∃v ∈ V : L (v ) = w } ’in forma astratta

Im (L) = {Y ∈ R^m | ∃X ∈ Rⁿ: AX = Y } ’in forma matriciale

dim (Im (L)) = rg (A) , Im (L) ⊂ W

“Le colonne linearmente indipendenti di A formano una base per Im (L).”

Teorema (Teorema delle dimensioni)

Data l’applicazione lineare L : V −→ W , si ha che:

dim (V ) = dim (ker (L)) + dim (Im (L))

Definizione (Iniettività)

Un’applicazione lineare L : V −→ W è iniettiva se:

∀v₁, v₂∈ V , v₁6= v₂=⇒ L (v₁) 6= L (v₂) ’in teoria

ker (L) = 0V ⇐⇒ dim (ker (L)) = 0 ’in pratica

”L’immagine di una base di V è una base per Im (L).”

Se L : V −→ W è iniettiva si ha inoltre che:

dim (V ) ≤ dim (W )

Definizione (Suriettività)

Un’applicazione lineare L : V −→ W è suriettiva se:

∀w ∈ W ∃v ∈ V : L (v) = w ’in teoria

Im (L) = W ⇐⇒ dim (Im (L)) = dim (W ) ’in pratica

Se L : V −→ W è suriettiva si ha inoltre che:

dim (W ) ≤ dim (V )

Definizione (Biettività e isomorfismo)

Un’applicazione lineare L : V −→ W è biettiva se è iniettiva e suriettiva.

Un’applicazione lineare L : V −→ W è detta essere un isomorfismo se è biettiva.

Definizione (Matrici equivalenti)

Siano A, B ∈ M_R(k, n); la matrice B è detta equivalente ad A se esistono una matrice M ∈ GL (k, R) ed una matrice

N ∈ GL (n, R) tali che:

B = M⁻¹AN

Condizione necessaria e sufficiente (C.N.S) affinché due matrici siano equivalenti è che:

rg (A) = rg (B) C.N.S

“Due matrici sono equivalenti se e solo se rappresentano la

Definizione (Matrici simili)

Siano A, B ∈ M_R(n); le due matrici sono dette essere simili se esiste una matrice N ∈ GL (n, R) tale che:

B = N⁻¹AN

Le proprietà invarianti per similitudine che sono però solo condizioni necessarie ma non sufficienti (C.N.N.S) sono:

1) rg (A) = rg (B);

2) |A| = |B|;

3) tr (A) = tr (B);