Lo studio del movimento

Lo studio del movimento

Cinematica



Domanda

Quando un corpo è in movimento?



Risposta

Quando al trascorrere del tempo cambia la sua

posizione nello spazio

Cinematica



La cinematica è quella parte della Fisica che studia il movimento



Descrivere il movimento di un corpo significa

saper dire qual è la posizione di quel corpo nello

spazio istante per istante

Cinematica

Esempio

Un orologio a pendolo compie una oscillazione completa (andata e ritorno) in 2 secondi

Se facciamo partire il cronometro quando il pendolo si trova a

sinistra, dopo 2 secondi dove si troverà il pendolo?

E dopo 3 secondi e mezzo?

Cinematica = studio del movimento

 Altro esempio

Un treno viaggia ad una velocità costante di 60 km all’ora. Facciamo partire il cronometro quando il treno passa davanti al passaggio a livello.

Dopo 20 minuti a quanti km dal passaggio a livello si troverà il treno?

Semplificazione



Nello studio della cinematica un qualsiasi corpo viene considerato come un punto.



Un punto è un ente geometrico che non ha dimensioni.



Noi studieremo la cinematica del punto

materiale cioè di un punto dotato di

massa o di peso.

Il punto materiale

Esempio

Consideriamo un’automobile. Nel nostro studio considereremo l’automobile come se fosse un punto in cui è concentrata tutta la massa

dell’automobile.

Il punto materiale

Altro esempio

Consideriamo una nave. Per noi la nave è come un punto materiale in cui è concentrata tutta la massa.

Conclusione

Per noi studiare il moto di una nave o di

un’automobile o di un aereo o di una persona o di una formica equivale a studiare il moto di un punto in cui è concentrata tutta la massa del corpo.

Il punto materiale

Altro esempio

Anche per studiare il moto del pianeta Terra rispetto al sole consideriamo la Terra come se fosse un punto

Domanda

Perché facciamo questo?

Risposta

Per semplificarci la vita. Per studiare il moto senza tener conto delle dimensioni del corpo.

Sistema di riferimento



Quando studiamo il moto di un corpo (d’ora in poi diremo moto di un punto materiale) dobbiamo dire rispetto a che cosa andiamo a studiare il moto.



Infatti un corpo può essere fermo

rispetto ad un osservatore ma in

movimento rispetto ad un altro

osservatore.

Sistema di riferimento

 Esempio

Consideriamo tre ragazzi: Antonio, Giuseppe e Francesco.

Antonio e Giuseppe sono seduti nell’autobus uno di fianco all’altro, mentre Francesco è fermo alla fermata in attesa dell’autobus.

Domanda

Antonio è fermo oppure è in movimento?

E’ ovvio che Antonio è in movimento rispetto a Francesco.

E’ anche ovvio che Antonio è fermo rispetto a Giuseppe.

Conclusione

Non si può dire se un corpo è fermo oppure è in moto senza specificare rispetto a chi o a che cosa.

Sistema di riferimento

 Per descrivere il moto di un punto materiale bisogna

sempre assegnare un

sistema di riferimento

cioè indicare l’insieme degli oggetti rispetto ai quali si osserva il movimento.

 Il sistema di riferimento viene rappresentato con un

sistema di assi cartesiani ortogonali sui quali è fissato l’unità di misura delle lunghezze e al quale è collegato un orologio per misurare gli intervalli di tempo.

Sistema di riferimento

La traiettoria del moto



Domanda

Che cosa è la traiettoria?

Risposta

E’ la linea descritta dal punto materiale

in movimento con il passare del tempo.

Esempi di traiettorie



Traiettoria rettilinea

Anche se la biglia urta contro le sponde, la traiettoria può considerarsi come un insieme di più segmenti ma tutti rettilinei.

Altro esempio di traiettoria rettilinea è quello della caduta di un corpo dall’alto verso il basso

Il corpo (punto materiale) si muove lungo una retta

Esempi di traiettorie



Traiettoria circolare

Il corpo (punto materiale) si muove lungo una circonferenza

Esempi di traiettorie



Traiettoria curvilinea

Il corpo (punto materiale) si muove lungo una curva

Esempi di traiettorie



Traiettoria parabolica

Il corpo (punto materiale) si muove lungo una parabola

Ovviamente una traiettoria può essere anche composta ad esempio da pezzi rettilinei e pezzi curvilinei

Riconoscimento delle traiettorie

b) Curvilinea a) Rettilinea d) Parabolica c) Circolare

Moto rettilineo



In questa prima fase ci occuperemo del caso più semplice: il moto rettilineo cioè un moto che ha per traiettoria una retta.



In questo caso non ci serve come sistema di riferimento un piano

cartesiano, cioè non ci servono

entrambi gli assi x e y

Moto rettilineo

Nel moto rettilineo il punto materiale si può muovere solo lungo la retta, quindi basta il solo asse x per

descrivere la posizione

Moto rettilineo

Per comodità d’ora in poi indicheremo la posizione di un corpo rispetto all’origine (zero) con la lettera s minuscola anziché con la lettera x

Il valore di s indica la posizione del punto materiale rispetto all’origine dell’asse (lo zero)

In questo caso s = 2 (possono essere metri, km, cm)

Posizione e distanza percorsa

Consideriamo un punto materiale che all’istante t¹ = 1 s si trova a 2 metri dall’origine. Pertanto s=2

Passa il tempo e all’istante t² = 4 s si trova a 8 m dall’origine. Pertanto s= 8

Domanda

Quanto vale la distanza percorsa?

E quanto vale il tempo trascorso?

Posizione e distanza percorsa

La distanza percorsa (spazio) dal punto materiale è la

differenza tra la sua posizione finale s² e la sua posizione iniziale s¹

Questa differenza (distanza percorsa o spazio) la indicheremo con questo simbolo:

Ds

Ds = s

– s

Nel nostro esempio Ds = s² – s¹ = 8 m – 2 m = 6 m

Intervallo di tempo

Mentre il punto materiale passa dalla posizione iniziale s1 a quella finale s2 il tempo scorre.

Quanto vale l’intervallo di tempo trascorso?

L’intervallo di tempo trascorso è dato dalla differenza tra il tempo finale t2 e il tempo iniziale t1

Questa differenza (intervallo di tempo) la indicheremo con questo simbolo: Dt ^(si

legge delta ti)

Dt = t

– t

Nel nostro esempio Dt = t² – t¹ = 4 s – 1 s = 3 s

Velocità media di un punto

Si definisce velocità media del punto il rapporto tra la distanza percorsa Ds ed il tempo Dt

impiegato per percorrere la distanza.

t s



  v

Nel nostro esempio m s

s

v_m m

2 /

3 6 t

s  



 

Ciò significa che il nostro punto ha percorso mediamente 2 metri ogni secondo

Unità di misura della velocità

Nel S.I. (Sistema Internazionale) - la distanza si misura in metri (m) - il tempo si misura in secondi (s)

Essendo la velocità il rapporto tra la distanza percorsa ed il tempo necessario per percorrerla, la velocità nel S.I. si misura in metri al secondo

m/s

Ci capita spesso però di sentire che un automobile va ad una velocità di 90 km/h

Ricordiamo che il km è un multiplo del metro e l’ora è un multiplo del secondo

Conversione km/h m/s

h km

1

h

m

 1000

s 3600

m

 1000

s 3,6

m

 1

In definitiva per trasformare una velocità espressa in km/h in m/s basta

dividere per 3,6

Esempio

Un automobile va ad una velocità di 100 km/h. Qual è la sua velocità espressa in m/s ?

Basta fare

3,6

 100

v  27,7 m/s

Conversione m/s km/h

s m 1

s 1000 km

1



3600 h 1 1000 km

1

 s

km 1

3600 1000

 1

In definitiva per trasformare una velocità espressa in m/s in km/h basta

moltiplicare per 3,6

Esempio

Un automobile va ad una velocità di 14 m/s. Qual è la sua velocità espressa in km/h ?

Basta fare

v  1 4  3 , 6  5 0 , 4 km/h

h km

 3,6

Significato di velocità media

Problema

Un treno parte da Napoli ed arriva a Milano secondo la seguente tabella:

Percorso Ds

(km) tempo Dt

(h) V^m

Napoli - Roma 214 1h 45 min Roma – Firenze 316 1h 52 min Firenze-Bologna 97 1h 5 min

Bologna-Milano 219 1h 48 min

Andiamo a calcolare la velocità media di ciascuna tappa

Significato di velocità media

Per fare questo dobbiamo trasformare il tempo espresso in ore e minuti in ore

min 45

h

1 h

60 h 45

1 



4

h

4 7 4

1  3 



Percorso Ds

(km) tempo Dt

(h) V^m

Napoli - Roma 214 1h 45 min 7/4

Roma – Firenze 316 1h 52 min 28/15 Firenze-Bologna 97 1h 5 min

Bologna-Milano 219 1h 48 min

Napoli -Roma

Roma - Firenze

min 52

h

1 h

60 h 52

1 



30

13

15

h

15 13 15

15

1 13 





 h

15

 28

Significato di velocità media

In definitiva abbiamo

Percorso Ds

(km) tempo Dt

(h) V^m

Napoli - Roma 214 1h 45 min 7/4

Roma – Firenze 316 1h 52 min 28/15

Firenze-Bologna 97 1h 5 min 13/12

Bologna-Milano 219 1h 48 min 27/15

Velocità media Napoli-Roma:

123,3 km/h h

7/4 km 214

t

s  



 

Velocità media Roma – Firenze:

169,3 km/h h

28/15 km 316

t

s  



 

Significato di velocità media

In definitiva abbiamo

Percorso Ds

(km) tempo Dt

(h) V^m

Napoli - Roma 214 1h 45 min 7/4 122,3

Roma – Firenze 316 1h 52 min 28/15 169,3

Firenze-Bologna 97 1h 5 min 13/12 89,5

Bologna-Milano 219 1h 48 min 27/15 121,7

Ci sono tratte più veloci e tratte più lente.

Se volessimo calcolare la velocità media sull’intero percorso dovremmo fare:

h 27/15) 13/12

28/15 (7/4

km 219)

97 316

(214 t

s











 



 

vm

130,2 km/h

h 6,5

km

846 



Significato di velocità media

La velocità media dunque è quella velocità a cui dovrebbe andare costantemente il treno per percorrere gli 864 km in 6,5 ore.

Esercizi

Un’automobile percorre 140 km in 2 h.

Calcolare la velocità media.

Abbiamo lo spazio in km ed il tempo in ore.

Possiamo applicare la formula ottenendo la velocità in km/h

t s



  v

h km

2

 140

h 70 km

 6

, 3 : 70 h

km

s 4 m ,

 19

Esercizi

Come si chiama la grandezza fisica che misura la durata di un fenomeno?

Risposta Tempo

Con quale strumento si misura un intervallo di tempo?

Risposta

Orologio o cronometro

Esercizi

Calcolare quanti minuti ci sono in un giorno Risposta

60 min/h x 24 h = 1440 min

Un’automobile percorre 120 km in 2h 15 min.

Calcolare la sua velocità media Risposta

min 15

h

2 h

60 h 15

2 

 h

4 9 4

2  1 

1



4

h 9/4

km 120

s  t



 

h km 9

120  4

 h

3 km ,

 53

s 14,8 m 3,6

: 3 ,

53 



Esercizi

Un automobile viaggia a 70 km/h per un’ora e mezzo e successivamente a 90 km/h per mezz’ora.

Calcolare la velocità media e la distanza percorsa.

Risposta

La distanza percorsa a 70 km/h in 1,5 h è:

70 km/h x 1,5 h = 105 km

La distanza percorsa a 90 km/h in 0,5 h è:

90 km/h x 0,5 h = 45 km

La distanza totale percorsa è: 105 km + 45 km = 150 km Il tempo totale impiegato è: 1,5 h + 0,5 h = 2 h

Pertanto, la velocità media è:

h 2

km 150

s  t



 

h 75 km

 s

,8 m 20 3,6

:

75 



Esercizi

Osservando il grafico velocità-tempo, calcolare le distanze percorse in ogni tratto e la velocità media sull’intero

percorso. Nel tratto rosso l’auto va a 30 km/h per un’ora,

quindi percorre trenta km.

Nel tratto verde va a 60 km/h per 2 h e quindi percorre 120 km.

Nel tratto blu va a 90 km/h per 1 h, quindi percorre 90 km.

In totale percorre

30+120+90 = 240 km Il tempo totale è di 4h

h 60 km h

4

km 240

t

s  



 

Moto rettilineo uniforme



Moto = movimento



rettilineo = traiettoria rettilinea



uniforme = velocità costante

Nel moto rettilineo uniforme vengono percorsi spazi uguali in tempi uguali.

Moto rettilineo uniforme

costante s  t



  v

Ciò significa che le distanze percorse sono

direttamente proporzionali agli intervalli di tempo impiegati a percorrerle

Esempio

Se un’automobile va a 50 km/h (costante) significa che:

- in 1h percorre 50 km - in 2h percorre 100 km - in 3h percorre 150 km

- in mezz’ora percorre 25 km

Moto rettilineo uniforme.

Tipologie di problemi



1) conosciamo lo spazio percorso e il tempo impiegato. Dobbiamo calcolare la velocità.



La formula da usare è sempre



Esempio

 Alle ore 10 34’ 25’’ un’automobile si trova a 320 m più avanti del semaforo. L’automobile procede a velocità costante e alle ore 10 35’ 15’’ si trova a 800 m dal semaforo.

 Calcolare la velocità dell’automobile.

1 2

1 2

t t

s s

t s



 



 

v

Moto rettilineo uniforme.

Tipologie di problemi

1 2

1 2

t t

s s

t s



 



  v

' 25' 34'

10 '

15' 35' 10

m 320 m

800



 

s 50

m 80

 4

s 6 m ,

 9

Moto rettilineo uniforme.

Tipologie di problemi



2) conosciamo lo spazio percorso e la velocità. Dobbiamo calcolare il tempo.



La formula da usare è



Esempio

 Sappiamo che la Terra dista dal Sole 150.000.000 km e che la velocità della luce è di 300.000 km/s.

 Calcolare il tempo impiegato dalla luce emessa dal Sole per raggiungere la Terra.

t  v s





Moto rettilineo uniforme.

Tipologie di problemi



La formula da usare è

Lo spazio percorso è 150.000.000 km La velocità è di 300.000 km/s

Pertanto:

t   v s



t   v s



s 300.000 km

km 0

150.000.00

  500 s

Moto rettilineo uniforme.

Tipologie di problemi

t s   

 v



3) conosciamo la velocità e il tempo

impiegato. Dobbiamo calcolare lo spazio percorso.



La formula da usare è:

 Esempio

 Un bambino in bicicletta pedala ad una velocità costante di 3 m/s. Dopo 3 minuti quanti metri avrà percorso?

 3 min = 180 s

t s   

 v ^{ 3 m} _s ^{ 180 s  540 m}

Moto rettilineo uniforme.

Formule

t s   

 v

t s



  v

t   v s



Si usa quando conosciamo la distanza percorsa e il

tempo impiegato e vogliamo calcolare la velocità

Si usa quando conosciamo la distanza percorsa e la velocità e vogliamo

calcolare il tempo

Si usa quando conosciamo la velocità e il tempo impiegato e vogliamo calcolare la distanza

Esercizi



Un’automobile deve percorrere 850 m alla velocità di 35 km/h. Quanto tempo impiegherà?



Svolgimento



Abbiamo Ds e v ma le unità di misura non sono omogenee



Ci sono due possibilità per renderle omogenee:



1) trasformare 850 m in km (850 m = 0,850 km)



2) trasformare 35 km/h in m/s (35 km/h: 3,6 = 9,72 m/s



Poi si applica la formula

t   v s

 35 km/h

km 0,850

  0,0243 h  8 7 , 5 s

Esercizi



Svolgimento



Abbiamo Ds e v ma le unità di misura non sono omogenee



Ci sono due possibilità per renderle omogenee:



1) trasformare 850 m in km (850 m = 0,850 km)



2) trasformare 35 km/h in m/s (35 km/h: 3,6 = 9,72 m/s



Poi si applica la formula

t   v s

 35 km/h

km 0,850

  0,0243 h  8 7 , 5 s

t   v s

 9,72 m/s

m

 850  8 7 , 5 s

Esercizi



Un aereo si muove con moto rettilineo uniforme ad una velocità di 110 m/s per 18 min. Calcolare la distanza

percorsa.



Svolgimento



Abbiamo v e Dt ma le unità di misura non sono omogenee



Per renderle omogenee ci conviene trasformare



i minuti in secondi (18 min = 18 x 60 = 1080 s)



Poi si applica la formula

t s   

 v 1080 s

s 110 m 

  118.800 m  118,8 km

La legge oraria

Consideriamo una situazione di questo tipo:

Un’automobile passa davanti al semaforo verde senza fermarsi, procedendo a velocità costante.

La legge oraria

Introduciamo nello schema:

- Un sistema di riferimento, la cui origine coincide con il semaforo - Un cronometro, che parte da zero quando l’auto passa davanti al semaforo

La legge oraria

Il nostro scopo è quello di ricavare una formula

matematica che ci permette di sapere in ogni istante dove si trova l’automobile rispetto al semaforo, cioè rispetto all’origine del sistema di riferimento (lo zero).

La legge oraria

Al posto di

t

t

(quando parte il cronometro,

t

s

s

1 2

1 2

t t

s s

t s



 



 

Partiamo dalla formula della

v

velocità media

La legge oraria

Poi al posto di

t

t

s

s

t

0 2

0 2

t t

s s

t s



 



 

La formula diventa

v

La legge oraria

A questo punto ci ricordiamo che

t

0 0

t t

s s

t s



 



 

Così la formula diventa

v

t s s 



v

La legge oraria

t t s t s 



 v 

t s s 



v

t

t s

s 

 v 

Scrivendola al contrario

s

s t  

 v

Portando

s

s  s

 v  t

La legge oraria

La legge oraria ci permette di conoscere la posizione del corpo rispetto all’origine del sistema di riferimento istante per istante.

Basta conoscere la posizione iniziale (all’istante

t

la velocità

t s

s 

 v 

La legge oraria

Nel nostro esempio

- la posizione iniziale

s

- la velocità vale v = 2 m/s Domanda

Qual è la posizione dell’auto al tempo t = 4 s ? Risposta

t s

s 

 v 

t s

s 

 v  4 s

s 2 m m

0  

  0 m  8 m  8 m

s = 2 t

La legge oraria

Vediamo cosa succede se facciamo partire il cronometro quando l’auto è 4 m oltre il semaforo

- la posizione iniziale

s

- la velocità vale sempre v = 2 m/s Domanda

Qual è la posizione dell’auto al tempo t = 5 s ? Risposta

t s

s 

 v 

t s

s 

 v  5 s

s 2 m m

4  

  4 m  1 0 m  1 4 m

s = 4+2 t

La legge oraria

Vediamo cosa succede se facciamo partire il cronometro quando l’auto è 3 m prima del semaforo

- la posizione iniziale

s

- la velocità vale sempre v = 2 m/s Domanda

Qual è la posizione dell’auto al tempo t = 6 s ? Risposta

t s

s 

 v 

t s

s 

 v  6 s

s 2 m m

3

-  

  - 3 m  1 2 m  9 m

s = -3+2 t

Esercizi

 Un treno viaggia ad una velocità costante di 80 km/h.

Duecento metri prima del passaggio a livello l’orologio di Antonio segna esattamente le 10,00.

 Dove si troverà il treno rispetto al passaggio a livello quando l’orologio di Antonio segnerà le 10,20?

 Svolgimento

 Il tempo che passa dall’istante iniziale (10,00) all’istante finale (10,20) è ovviamente di 20 min

 Trasformiamo i 20 min in ore:

 20 min =



S

20

t s

s 

 v 

3h

 1

3 h 1 h

80 km km

-0,200  

 km

3 km 80

-0,200 

 km

26,466



Esercizi

 Scrivere la legge oraria di un punto che si muove di moto rettilineo uniforme con velocità di 10 m/s, sapendo che nell’istante iniziale t0 = 0 esso si trovava nell’origine O del sistema di riferimento.

 Svolgimento

 S₀= 0 m

 v = 10 m/s

 t0 = 0 s

 Pertanto:

Qundi:

t s

s 

 v   0  10 t  1 0 t t

10

s 

Esercizi

 Scrivere la legge oraria di un punto che si muove di moto rettilineo uniforme con velocità di 20 m/s, sapendo che nell’istante iniziale t0 = 0 esso si trovava 2 m dopo l’origine O del sistema di riferimento.

 Svolgimento

 S₀= 2 m

 v = 20 m/s

 t0 = 0 s

 Pertanto:

Qundi:

t s

s 

 v   2  20 t t 20 2

s  

Il diagramma orario

 Il diagramma orario è la rappresentazione grafica della legge oraria



Si costruisce riportando sull’asse delle ascisse il tempo e sull’asse delle ordinate le corrispondenti posizioni

del punto.

Ad ogni istante posso ricavarmi la posizione del punto materiale rispetto all’origine del sistema di riferimento

Il diagramma orario



Consideriamo un’automobile che si muove con la seguente legge oraria: s = 4 + 2 t

A questo punto non ci resta che unire tutti i punti sul diagramma per ottenere una retta

Il diagramma orario

Dove si trova l’automobile dopo 3,5 s ? s = 4 + 2t = 4 + 2 x 3,5 = 4 + 7 = 11 m