L’UNITà DIDATTICA IN bREvE C3 Il rendimento di un ciclo

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INTRODUZIONE AL SECONDO pRINCIpIO DELLA TERmODINAmICA C3 1

L’UNITà DIDATTICA IN bREvE C3

Il rendimento di un ciclo

Le linee termiche ideali rappresentano trasformazioni termodinamiche reversibili, quindi con aree sottese uguali sia in un senso sia nell’altro.

Ne consegue che si può percorrere idealmente la trasformazione in en

trambi i sensi un numero infinito di volte, dato che l’energia accumulata nell’andata viene restituita al ritorno: ciò costituisce un moto perpetuo.

Una macchina termica a funzionamento ciclico, che compie un lavoro maggiore rispetto all’energia fornita dall’ambiente esterno, esegue un moto perpetuo di prima specie; in realtà esso è irrealizzabile, per la pre

senza di attriti e le dispersioni di calore. Tutti i processi reali sono irre

versibili.

Applicando il primo principio della Termodinamica ai cicli chiusi, ne deriva che il lavoro L sviluppato da un sistema termodinamico, nel corso di un ciclo chiuso, è uguale alla differenza fra la quantità totale di calore Q₁ fornita al sistema e quella sottratta Q₀. Il rendimento di un ciclo è pari al rapporto fra il lavoro L e il calore fornito Q₁. I corpi che scambiano calore con il gas che compie il ciclo sono detti termostati o sorgenti di calore.

Il ciclo di Carnot

Il ciclo di Carnot è costituito da quattro trasformazioni ideali, due isoterme e due adiabatiche, ed è svolto da un gas ideale. Può essere in

differentemente percorso in senso orario o antiorario. Il suo rendimento non dipende dal tipo di gas impiegato, bensì dal rapporto fra le tempera

ture assolute dei due termostati collegati. Per il ciclo inverso è definita l’efficienza ε come rapporto fra il calore sottratto Q e il lavoro speso L.

Il teorema di Carnot afferma che nessun motore termico, che opera scambiando calore con due termostati, può essere più efficiente di un motore termico di Carnot, operante fra le medesime temperature.

Il secondo principio della Termodinamica

I principali enunciati del secondo principio della Termodinamica sono:

— l’enunciato di Max Planck, secondo cui è impossibile realizzare un mo tore funzionante secondo un ciclo termodinamico chiuso che estrae calore da una sorgente esterna e lo trasforma integralmente in lavoro meccanico, senza generare ulteriori trasformazioni nei corpi che co

stituiscono il sistema;

— l’enunciato derivato dalla formulazione del rendimento del ciclo di Carnot, per il quale il rapporto fra la quantità di calore trasfor

mata in lavoro e la quantità di calore prelevata dalla sorgente su

periore non dipende dalla sostanza gassosa, ma dalle temperature delle due sorgenti;

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— l’enunciato di Lord Kelvin, secondo cui non è possibile eseguire una trasformazione ciclica chiusa, la quale realizza come unico risul

tato la totale trasformazione in lavoro di tutto il calore proveniente da una sola sorgente di calore a temperatura costante.

L’enunciato di Max Planck esclude il moto perpetuo di seconda spe

cie: esso è ipoteticamente svolto da una macchina termica che compie un lavoro prelevando energia termica da una sola sorgente esterna, sen

za altri scambi con l’ambiente esterno.

Dal secondo principio della Termodinamica si deduce che è impossi

bile realizzare una macchina termica avente rendimento unitario. Teo ri

ca mente può essere raggiunto se la temperatura superiore tende all’infi

nito o se la temperatura inferiore tende a zero. Un importante corollario af ferma che tutti i cicli perfettamente reversibili, posti a lavorare scam

biando calore con le medesime due sorgenti di calore, raggiungono lo stesso valore di rendimento.

Entropia

In una trasformazione infinitesima reversibile, la quantità di calore dQ scambiata alla temperatura T da 1 kg di gas con l’esterno, divisa per la temperatura stessa, è pari alla variazione infinitesima dS dell’entro

pia. La somma di tutti i rapporti dQ/T, riferita a qualsiasi processo reversibile fra uno stato A (assunto come riferimento) e un altro stato B, è indipendente sia dal processo di trasformazione sia dal percorso ed è una proprietà del sistema in ogni suo specifico stato: tale proprietà è definita entropia del sistema.

Il secondo principio della Termodinamica può anche essere espresso in forma di principio dell’aumento dell’entropia: la somma delle en tropie di tutti i corpi che prendono parte a un processo subisce sempre un incremento; essa rimane costante solo nel caso ideale di processi per

fettamente reversibili.

Dal concetto di entropia deriva l’enunciato del secondo principio della Termodinamica secondo Clausius, il quale afferma che la diffe

renza fra il prodotto (T dS) e la quantità di calore infinitesima dQ risulta uguale a zero per le trasformazioni ideali reversibili, maggiore di zero per le trasformazioni reali irreversibili.

Se in un sistema termicamente isolato si svolgono trasformazioni re

versibili, l’entropia totale del sistema resta invariata; se, invece, avven

gono trasformazioni irreversibili, l’entropia totale aumenta. Ogni volta che una certa quantità di energia viene convertita da uno stato all’altro, una parte è dispersa e non è più utilizzabile per produrre lavoro; questa parte rimane nell’ambiente, dato che l’energia non può essere né creata né distrutta. In nessun caso l’entropia del sistema può diminuire, per

tanto l’energia dell’universo tende a un massimo.

Il piano entropico ha come assi coordinati l’entropia in ascisse e la temperatura assoluta in ordinate; le aree rappresentano i calori.

Il ciclo di Carnot ha la forma di rettangolo: più alto è il rettangolo, maggiore è il rendimento del ciclo, indipendentemente dall’estensione dell’area.

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Il secondo principio della Termodinamica nega la possibilità di esegui

re trasformazioni energetiche all’infinito. A ogni trasformazione, una parte di energia si disperde, fino a giungere a uno stato finale di inutiliz za bilità. Ogni volta che in un sistema chiuso l’energia passa da una for ma all’altra, diminuisce l’energia disponibile per produrre lavo

ro nel la trasformazione successiva: ciò è rappresentato dall’entropia:

essa mi su ra la parte di energia che non può essere più trasformata in lavoro. Gli au menti di entropia corrispondono a una diminuzione di energia disponibile. Oltre che una forma di inquinamento, i rifiuti e gli scarichi che si accumulano nell’ambiente sono una forma di energia priva di valore.

Entalpia

L’entalpia h è definita come somma fra l’energia interna U e il lavoro di pompaggio pv; la sua unità di misura è il J/kg. L’entalpia misura il con

tenuto energetico globale del sistema, dato che comprende sia l’energia interna, quindi il calore posseduto da 1 kg di sostanza, sia l’energia do

vuta alla forze di pressione che costringono il chilogrammo di sostanza a occupare il volume v. La variazione di entalpia di una trasformazione è cal colabile come prodotto della capacità termica massica a pressione co stante c_p per la differenza di temperatura ∆T.

I principali cicli termici impiegati nelle macchine a combustione interna

I motori alternativi sono sistemi chiusi, i motori rotanti sono si

stemi aperti: nei primi si introduce, al loro interno, una massa di gas freschi, poi si avvia la reazione chimica di combustione con la trasfor

mazione del calore sviluppato in lavoro e, infine, si ha l’espulsione dei gas esausti; nei secondi la massa dei gas entra nella macchina ed esce con un moto permanente.

I principali cicli sono: ciclo Otto, ciclo Diesel, ciclo Sabathè e ci clo BraytonJoule; in tutti avvengono compressioni ed espansioni adiabatiche, mentre l’introduzione e l’espulsione di calore avvengono con trasformazioni isocore o isobare.

Il terzo principio della Termodinamica

Il terzo principio della Termodinamica è anche noto come princi

pio di Nernst; esso afferma che al tendere a zero della temperatura as soluta, anche l’entropia di un corpo tende a zero. Il terzo principio della Ter mo dinamica è una conferma dell’irraggiungibilità dello zero assoluto.

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1. Un ciclo di Carnot è alimentato dal calore Q₁ = 770 kJ/kg, programmato dal termostato superiore a temperatura T₁ = 900 K, e scarica il calore Q₀ al termostato inferiore a temperatura T₀= 290 K. Calcolare il calore Q₀ allo scarico, il lavoro unitario erogato dal gas e il rendimento η_C.

2. Un ciclo di Carnot ha rendimento η_C = 58% ed esegue un lavoro L = 500 J/ kg;

la temperatura vale T₁ = 600 K. Calcolare le quantità di calore Q₁, Q₀ e la temperatura T₀.

3. Una macchina frigorifera di Carnot mantiene l’interno a temperatura –14 °C; l’ambiente esterno si trova a 30 °C. Calcolare l’efficienza.

4. Un volume di ossigeno esegue una compressione adiabatica ideale dalla pressione iniziale p₁ = 0,96 MPa, a temperatura iniziale T₁ = 400 K, alla pressione finale p₂ = 1,6 MPa. Verificare che la variazione di entropia ∆S sia zero.

5. Un volume di monossido di azoto esegue una trasformazione isocora dal

la pressione iniziale p₁ = 1,8 MPa, a temperatura iniziale T₁ = 1100 K, alla pressione finale p₂ = 1 MPa. Calcolare la variazione di entropia ∆S.

6. Un volume di ammoniaca esegue una compressione isoterma dalla pres

sione iniziale p₁ = 1 bar, a temperatura iniziale T₁ = 265 K, alla pressio

ne finale p₂ = 1,35 MPa. Calcolare la variazione di entropia ∆S.

7. Un volume di cloro, alla pressione p₁ = 9 MPa, esegue un’espansione isobara dalla temperatura iniziale T₁ = 273 K alla temperatura finale T₂ = 440 K. Calcolare la variazione di entropia ∆S.

8. Un volume di argon esegue una compressione politropica, con esponente m = 1,9, dalla pressione iniziale p₁ = 1,85 bar, a temperatura iniziale T₁= 400 K, alla pressione finale p₂ = 1,48 MPa. Calcolare la variazione di entropia ∆S.

9. Calcolare la variazione di temperatura e la variazione di entropia che avvengono in un ciclo di Carnot, con rendimento η_C = 68%, che cede ca

lore a un termostato inferiore, alla temperatura t₀ = 85 °C, e la cui area nel diagramma (T,S) vale 3805 J/kg.

10. Calcolare la variazione di entalpia subita da una massa d’aria che si trova a temperatura t₁ = 28 °C e che viene riscaldata fino a temperatura t₂ = 90 °C, a pressione costante.

11. Calcolare la variazione di entalpia per una massa di biossido di car

bonio che compie un’espansione adiabatica dalla pressione iniziale p₁ = 2,7 MPa, a temperatura iniziale T₁ = 600 K, alla pressione finale p₂ = 1 bar.

L’UNITà DIDATTICA IN bREvE C3 Il rendimento di un ciclo