Quark-antiquarkinteractionsinbackgroundmagneticfields D F U NIVERSITA’ D I P ISAD

DIPARTIMENTO

DI

FISICA

Quark-antiquark interactions in background

magnetic fields

Andrea Rucci Relatore: Massimo D’Elia

1 Introduzione

2 Approccio e definizioni

3 Studio dei mesoni pesanti

4 Studio a T finita

Contesto fisico

Studio delle proprietà

dell’interazione forte in QCD in presenza di campi magnetici elevati

p

|e|B & Λ_QCD ∼200 MeV

(1 GeV2 _'1016 _{T) in regimi diversi}

di temperatura In particolare:

effetti sul potenziale statico

(m_q → ∞) quark-antiquark in

regime non-perturbativo

Situazioni di interesse fisico Nelle collisioni non centrali tra

ioni pesanti (B ∼ 1015 T)

Possibile produzione nei primi

Situazione attuale

Ad oggi non sono chiare le

caratteristiche dei campi magnetici

in tali situazioni estreme:

Distribuzioni spaziale e temporale dei campi magnetici?

Si può parlare di sistemi equilibrio?

!!!Difficoltà di predizione quantitativa

dei possibili effetti Caso base

Campo B costante ed uniforme

0 2 4 6 8 10 t, fm/c 0 0.05 0.1 0.15 0.2 eB y /m π 2

E_lab=10A GeV E

lab=60 A GeV

E

lab=160A GeV

b = 4 fm 0 2 4 6 8 10 y, fm 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 eB y /m π 2 E

lab=10A GeV

E_lab=60A GeV E

lab=160A GeV

b = 4 fm

Fenomenologia

Confinamento

Potenziale statico descritto dalla parametrizzazione di Cornell

VQ ¯Q_{(r) = −}α

r + σr σ ∼ (430 MeV)2

Comportamento a T>0: passaggio tra fase confinante e deconfinante

Idea di base

.

Il potenziale statico diventa anisotropo in presenza di campo magnetico (Bonati et al, 2014)

In particolare: anisotropie in α(x,y) 6= αz e nella tensione di stringa σ_(x,y)6= σ_z.

Scopo della tesi

Studio degli effetti del potenziale anisotropo sulle osservabili legate ad esso

Due linee di investigazione:

Possibili effetti del potenziale anisotropo sullo spettro degli statiq¯q

QCD

QCD

Teoria di gauge basata sul gruppo SU(3) di colore.

Famiglie di quarks ψ(f ) descritte come i

fermioni della teoria e gluoni Aµ campi

di gauge LQCD = −1 2Tr [FµνFµν] + X f ¯ ψ(f )(x) (i /D − mf) ψ(f ) Dµ= ∂µ−ig X a Aa µ(x)Ta Fµν =∂µAν− ∂νAµ−ig[Aµ,Aν] Trasporto parallelo Definito da UC(x, y) = Pe−ig R CdxµAµ(x) trasforma come U0

C(x, y) = G(x)UC(x, y)G†(y)

conG = G(x) ∈ SU(3).

Su un loop chiuso infinitesimo nel piano (µ, ν)

QCD su reticolo

Aspetti principali

Formulazione Euclidea della teoria (x0→ −ix4)

Discretizzazione: sistema racchiuso in volumeN3×Nt siti con lattice

spacingxµ →anµ e condizioni periodiche al bordo

Passaggio a parametri e campi adimensionali (es. m → a−1m)ˆ

In particolare:

I fermioni vivono sui siti del reticolo ψ(x) → a−3/2ψ(ˆ na) = a−3/2ψˆ_n Gluoni descritti dai trasporti paralleli tra siti vicini (links)

QCD su reticolo

Termodinamica su reticolo Sistema discretizzato descritto da

Z = Tre−βH₌

Z

D[¯ψψ]D[U]e−SF[ψ, ¯ψ,U]−SG[U]

con estensione temporale aN_t = β = 1/T e condizioni al bordo

temporaliUµ(Nt) =Uµ(0) e ψ(n,Nt)= −ψ(n,0)

Estrazione delle osservabili dal reticolo

hOi = 1

Z Z

D[¯ψψ]D[U]O[ψ, ¯ψ, U]e−SF[ψ, ¯ψ,U]−SG[U]_' 1

N

N

X

j

Oj[ψ, ¯ψ,U]

da campione di configurazioni distribuite secondo ∼exp



−S[ψ, ¯ψ, U]

Osservabili legate al potenziale statico

Oggetti gauge invarianti: loop di Wilson e Polyakov

WC[U] = TrhQ.(n,µ)∈CUµ(n)

i

ConT = 0

Potenziale statico estraibile dal valor medio del loop di

Wilson nel limitet → ∞

L(~n) = TrhQβ

ntUµ(~n, nt)

i

ConT > 0

Potenziale statico estraibile dal valor medio del correlatore tra loop di Polyakov

Campo B su reticolo

Introduzione dei trasporti paralleli abeliani come nel caso SU(3) uC(x, y) = e−iq

R

Cdxµaµ(x) U

µ(n) → Uµ(n)uµ(n)

!!!Campo esterno: no termine di

pura gauge (aµ non propaganti) _{Vincoli su B}

Quantizzazione Bˆz su toro

(conservazione della fase)

|q|B = 2πb

a2_NxNy b ∈ N

Vincolo dall’introduzione del lattice spacing

−π

a < |q|B < π

Idea generale

Studio degli effetti di anisotropia dovuti al campo magnetico Studio dei mesoni pesanti

Utilizzo dei risultati trovati su reticolo ed esportati in modello non relativistico

Focus su spettro c¯c

e b¯b (m_c ' 1.29GeV,

mb ' 4.65GeV) con e

senza anisotropia

Risoluzione del modello ed estrazione delle masse tramite approccio numerico

Studio a temperatura finita

Analisi su reticolo di

configurazioni statistiche

di sistema a temperatura finita

Calcolo dei correlatori tra loop di Polyakov lungo diverse direzioni spaziali

Estrazione del potenziale

statico e dei parametri

Modello NR

Coppia quark-antiquark in campoB interagente tramite V = V (r₁−r₂)

H = [p1− |q|A(r1)] 2 2m + [p2+ |q|A(r2)]2 2m +V − (µ1+ µ2) ·B + 2m Pseudo-momento

!!!Sistema non invariante per

traslazioni ePKIN non conservato

Introduzione pseudo-momento ˆ K = 2 X j  p_j+qjA(rj) tale che [ ˆK, H] = 0. Modello utilizzato

In coordinate relative R ed r e gauge

simmetricaA(r) = 1₂qB × r H =M +_2MK2 − q M(K × B) · r − ∇ 2 2mr + q2 8mr(B × r) 2_{+V (r) − µ · B} conM = 2m e m_r =m/2. !!!Il CM non disaccoppia

Scelta del potenziale

Potenziale

Parametrizzazione di Cornell con aggiunta di termine di interazione spin-spin

V (r, σ1, σ1) = −α_r + σr

+ (σ₁· σ₂)γe−βr

Forma già precedentemente

utilizzata (Alford, 2013):

Termine spin-spin per la corretta gerarchia degli stati in onda S

Parametri scelti in modo da fittare

lo spettro perB = 0

Stato Nome Massa [MeV]

c¯c 11_S 0 ηc 2980.3 13_S 1 J/ψ 3096.91 13_P 0 χc0 3414.8 13_P 1 χc1 3510.7 13_P 2 χc2 3525.4 11_{P1 hc 3556.3} b¯b 11_{S0 ηb 9390.9} 13_{S1 Υ 9460.3} 13_{P0 χb0 9859.5} 13_{P1 χb1 9893.8} 13_{P2 χb2 9912.2} 11_P 1 hb 9898.3

Introduzione dell’anisotropia

A partire dai valori relativi di

O = α, σ lungo d = x, y, z Od_O(0)(|e|B) =1 + AOd(|e|B)COd

Parametrizzazione scelta

Introduzione di parametri effettivi σ → σ (θ,B) e α → α(θ, B) (θ

azimutale) con matching dei valori lungo le direzioni spaziali. Ansatz: σ (θ;B) =σ(0) q 1 + εσ xysin2θ − εzσcos2θ α(θ;B) =q α(0) 1 + εα xysin2θ − εαzcos2θ

Forma finale

Potenziale effettivo Con campoB = Bˆz Veff= − qB 4mr(Kxy − Kyx) + (qB)2 8mr (x 2_+y2₎ −α(θ;B) r + σ (θ;B)r + (σ1· σ2)γe−βr− µ ·B Proprietà:

Accoppiamento non banale di K con le

coordinate rompe simmetria cilindrica Creazione nuovo minimo per grandi valori

diK e B (qBK > 4σm)

Spin-mixing tra |10i e |00i:

−µ ·B = 1 2gµq(σq¯− σq) ·B K=0 GeV -3 -2 -1 0 1 2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Veff [GeV] r[fm] B = 0.0 GeV2, S=0 B = 0.0 GeV2_{, S=1} B = 2.8 GeV2, S=0 B = 2.8 GeV2, S=1 |e|B=0.6 GeV -2 0 2 4 6 -3 -2 -1 0 1 2 3 Veff [GeV] K = 0 GeV K = 2 GeV K = 4 GeV

Metodo

Step 1

Estrazione stati a (s, s₃;l, l₃) definiti con metodo Finite Difference Time

Domain (FDTD). Idea: estrazione autostato per grandi τ = −it

ψ(x, 0) → ψ(x, t) =X

a

caφa(x)e−εaτ_τ→∞∼ c¯aφ(x)a¯

da stati di prova con fissate proprietà di simmetria

Sistema in volumeV cubico

Discretizzazione equazione

di evoluzione temporale con

spacingsa e dτ (∂τ− ∆ 2m +V )ψ = 0 ψτ+dτ(x, y, z) = F [ψτ(x, y, z)] hOτ(x)i = P x∈V_Pψτ∗(x)O(x)ψτ(x) x∈V|ψτ(x)|2 !!!Condizione di estrazione |hOτ+τO_{i − h}Oτ_{i| < ε} 0

Metodo

Step 2

Costruzione e diagonalizzazione dell’Hamiltoniana del sistema

Aggiunta grado di libertà di spin e creazione base a definiti (s, l; j, j3)

ψ(j,j3,l,s)=

X

s3,l3

c(l,l3,s,s3;j,j3)ψ(l,l3,s,s3)

Prescrizione per l’estrazione delle masse

. M_i = ε_i− hPKINii2/(2M)

dove hPKINi =K − qB × hri

                   h0000 0 −gqB_2m · · · 0 h1−101 0 · · · −gqB_2m 0 h₁₀₀₁ · · · 0 0 0 · · · .. . ... ... . ..                   

Simulazione

Limite fisico

Termodinamico V → ∞:

annullamento ai bordi, V tale da evitare cut-off

Continuo a → 0 e dτ → 0:

calcolo per vari spacings e fit per l’estrazione

Stima degli errori

Errore iniziale associato ε₀

Propagazione tramite bootstrap gaussiano

Test su sistema risolubile con potenziale armonico (Herold et al, 1981)

Condizioni

Sistema chiuso in cubo di latoL ∼ 30GeV−1∼6fm

Simulazione con 4 spacings spaziali daa ∼ 0.05 fm a a ∼ 0.125 fm

Limite continuo a fissatodτ ∝ a2

Stati test hydrogen-like ψ ∼e−mr/2α0Y

Risultati

c¯c

2.9 3 3.1 3.2 3.3 0 0.1 0.2 0.3 M [GeV] |e|B [GeV2_] ηc (11S) J/ψ (13_S) (0,0) (1,0) (1,1) Spectrum c-c (<P> = 0.0 GeV) w/o anis. w anis. Mixing tra η_c eJ/ψ

Contributo energetico diP_KIN

2.95 3 3.05 3.1 3.15 3.2 3.25 3.3 3.35 0 0.1 0.2 0.3 M [GeV] |e|B [GeV2_] ηc (11_S) J/ψ (13_S) (0,0) (1,0) (1,1) Spectrum c-c (<P> = 1.6 GeV) w/o anis. w anis.

Contributo non trascurabile dell’anisotropia di α e σ

Risultati

c¯c

3.3 3.35 3.4 3.45 3.5 3.55 3.6 3.65 3.7 3.75 0 0.1 0.2 0.3 M [GeV] |e|B [GeV2_] hc (11_P) χc (13_P) (J,J3) (1,1) (1,0) (1,1) (0,0) (1,0) (1,1) (2,0) (2,1) (2,2) Spectrum c-c (<P> = 0.0 GeV) w/o anis. Stati χ_c degeneri aB = 0.0

Estrazione possibile solo per K = 0.0

GeV. 3.3 3.35 3.4 3.45 3.5 3.55 3.6 3.65 3.7 3.75 0 0.1 0.2 0.3 M [GeV] |e|B [GeV2_] hc (11_P) χc (13_P) (J,J3) (1,1) (1,0) (1,1) (0,0) (1,0) (1,1) (2,0) (2,1) (2,2) Spectrum c-c (<P> = 0.0 GeV) w anis.

Aumento dell’effetto di splitting dei livelli

Risultati

b¯b

9.38 9.4 9.42 9.44 9.46 9.48 9.5 9.52 0 0.1 0.2 0.3 M [GeV] |e|B [GeV2_] ηb (11S) Υ (13_S) (J,J3) (0,0) (1,0) (1,1) Spectrum b-b (<P> = 0.0 GeV) w/o anis. w anis. Mixing tra η_b e Υ

Minore contributo diP_KIN (rispetto al

casoc¯c) 9.38 9.4 9.42 9.44 9.46 9.48 9.5 9.52 0 0.1 0.2 0.3 M [GeV] |e|B [GeV2_] ηb (11S) Υ (13_S) (J,J3) (0,0) (1,0) (1,1) Spectrum b-b (<P> = 9.8 GeV) w/o anis. w anis.

Effetto di anisotropia relativamente

Risultati

b¯b

9.85 9.86 9.87 9.88 9.89 9.9 9.91 0 0.1 0.2 0.3 M [GeV] |e|B [GeV2_] hb (11P) χb (13P) (J,J3) (1,0) (1,1) (0,0) (1,0) (1,1) (2,0) (2,1) (2,2) Spectrum b-b (<P> = 0.0 GeV) Stati χ_b degeneri a B = 0.0

Estrazione possibile solo per K = 0.0

GeV. 9.86 9.88 9.9 9.92 9.94 9.96 0 0.1 0.2 0.3 M [GeV] |e|B [GeV2_] hb (11_P) χb (13P) (J,J3) (1,0) (1,1) (0,0) (1,0) (1,1) (2,0) (2,1) (2,2) Spectrum b-b (<P> = 0.0 GeV)

Aumento dell’effetto di splitting dei

Correlatore tra loop di Polyakov

Punto di partenza

Configurazioni statistiche su reticolo N3×Nt aT > 0 ed a fissato

B = Bˆz esterno

Correlatore traL(x) lungo le varie direzioni

spaziali Gxi(d) = 1 N3 X x L(x)L†_{(x + d)} cond = d ˆx_i ex_i =x, y, z.

Legame col potenziale statico

Gxi(d) ∝ exp [−aNtV (d = dxi)]

cona lattice spacing

L(x) = TrQNt

x4=x40 U4(x, x4)

Metodo

Step 1

Calcolo dei correlatoriG_xi(d) (0 < d < N e x_i=x, y, z) ed estrazione

da campione statistico di configurazioni su reticolo

Step 2

Estrazione del potenziale statico quark-antiquark Dettaglio: Forma funzionale Gxi(d) = axiexp h −N_t  −αxi d + σxid i +b_xi

(con valore asintoticob_xi ' |hLi|2)

Tramite parametrizzazione di Cornell: estrazione tensione di stringa

Simulazione

Condizioni

Reticolo 323×8 con lattice spacing

a ' 1047MeV−1_∼0.2fm

TemperaturaT ' 131MeV a densità zero (T < T_c fase confinante)

CampiB esplorati b = 0, 16, 32, 48 (fino a |e|B ∼ 1GeV2)

Dettaglio:

Diminuzione fluttuazioni ultraviolette (tramite APE smearing)

Simmetria rispetto al centro del reticoloG_xi(d) = G_xi(|N − d|) da

L(x + (N − d)ˆxi)L†(x) =



L(x)L†_{(x + dˆx}

Risultati

G

_xi

(

d)

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 1 2 3 4 5 <L(n)L +(n+d)> d x y z b=0

assenza di anisotropia, correlatori compatibili lungo le direzioni spaziali

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 1 2 3 4 5 <L(n)L +(n+d)> d x y z b>0 (48)

comparsa effetto di anisotropia,

distinzione tra direzione ˆz||B e piano

Risultati

V

_xi

(

d)

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1 2 3 4 5 6 V(d) d z direction x-y plane 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1 2 3 4 5 6 V(d) d z direction x-y plane 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1 2 3 4 5 6 V(d) d z direction x-y plane ciao |{z} b=0

Risultati compatibili con potenziale centrale

.

| {z }

b=16,48

comparsa effetto di anisotropia, distinzione tra

Risultati σ

_xi

e α

_xi 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0 0.2 0.4 0.6 0.8 α |e|B[GeV2_] x-y plane z direction 280 300 320 340 360 380 400 420 440 0 0.2 0.4 0.6 0.8 √ σ [MeV] |e|B[GeV2_] x-y plane z direction

Effetto di anisotropia compatibile con i risultati aT = 0

Valore di σ < σ (T = 0) compatibile con presenza crossover

Conclusioni

Lavoro proposto: studio degli effetti di anisotropia del campo magnetico

sul potenziale staticoq¯q

Commento

Spettro dei mesoni pesantic¯c e b¯b:

Predizione effetti non trascurabili sugli spettri Studio a T finita:

Presenza di anisotropia anche ad alte temperature

Risultati compatibili con riduzioneT_C di crossover tra fase confinante

e non Prospettive

Studio dei possibili effetti concreti sullo spettro

Riportare lo studio dello spettro direttamente su reticolo

Proseguimento a diverse T e µ (diagramma di fase della QCD in campo magnetico)

Test armonico (Studio dei mesoni pesanti)

Fissatoa 9.28 9.29 9.3 9.31 9.32 0 0.15 0.3 0.45 0.6 E [GeV] a [GeV-1] data fit Fissatodτ 9.26 9.27 9.28 9.29 9.3 9.31 9.32 0 0.002 0.004 0.006 0.008 E [GeV] dt [GeV-1] data fit Fissatodτ ∝ a2 9.22 9.24 9.26 9.28 9.3 9.32 0 0.15 0.3 0.45 0.6 E [GeV] a [GeV-1_] data fit

Test limite continuo su sistema risolvibile (Herold, 1981) potenziale

armonico ω =1.5 GeV3:

|e|B = 0.9GeV |K| = 5.0GeV

Esempio: ground-statec¯c con σ = 1

Autovalori energia (GeV)

ε_dτ,a→0=9.3205 ± 0.0013 ε_a,dτ→0=9.3206 ± 0.0015

ε_dτ∝a2_→0=9.3201 ± 0.0013

Test armonico (Studio dei mesoni pesanti)

Risultato test con potenziale armonico (ω =1.5 GeV3)

4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 0 0.25 0.5 0.75 ECM [GeV] B[GeV2_] data K = 0 GeV K = 5 GeV 4.8 4.9 5 5.1 5.2 5.3 5.4 0 0.25 0.5 0.75 ECM [GeV] B[GeV2_] data K = 0 GeV K = 5 GeV

Esempio: ground statec¯c con σ = 0, 1

APE smearing (Studio a T finita)

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 1 2 3 4 5 <L(n)L +(n+x)> x SM=00 SM=08 SM=16 SM=24 SM=32 SM=40 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 1 2 3 4 <L(n)L +(n+d)> d SM00 SM08 SM24 SM40 x direction y direction z direction

Riduzione fluttuazioni ultraviolette tramite media locale sulle staples tra siti primi vicini

Test

La procedura non sembra incidere su effetti di anisotropia.

A posteriori: gli effetti magnetici agiscono su scale maggiori