Prova scritta di Curve Algebriche Piane - seconda prova parziale
per la Laurea in Matematica
Padova, 23 gennaio 2012
Nome Cognome N. Matricola
Esercizio.
Si consideri la curva (complessa) di equazione (X0X2− X12)3− X0X1X24 = 0;
(1) determinare i posti (numero, molteplicit`a, classe, tangenti) della curva nei suoi punti singolari;
(2) usando i posti del punto (1), determinare la classe e il numero di flessi della curva;
(3) descrivere i posti duali (molteplicit`a, classe, centri, tangenti) di quelli del punto (1);
discutere le possibili singolarit`a della curva duale.
Problema.
Consideriamo la famiglia delle quartiche irriducibili aventi un unico punto singolare doppio con due posti distinti (ciascuno di molteplicit`a 1 e classe 1: perch´e?) e stessa tangente.
(a) Mostrare che in un opportuno riferimento queste curve assumono equazione del tipo Y2+ αX2Y + βXY2+ Y3+ X4+ γX3Y + δX2Y2 con α 6= ±2 (oppure?). [posizionare il punto doppio nell’origine con opportuna tangente, e almeno un altro punto...]
(b) Calcolare la classe di queste quartiche e mostrare che non sono razionali. [sugg.:
stimare la classe di una quartica razionale.]
(c) Determinare il numero di flessi di queste quartiche, e discutere le possibili singolarit`a delle curve duali. [sugg.: usare le formule di Pl¨ucker.]
Regole. – Tempo di svolgimento 2 ore.
– Vanno consegnati questo foglio e al pi`u due fogli protocollo con lo svolgimento dell’esercizio (in tutti vanno indicati i propri estremi di identit`a).
Buon lavoro.
1 2 3 a b c
