Esercizi di Algebra Lineare Curve piane
Anna M. Bigatti 25 ottobre 2012
Una curva
x = f1(t) y = f2(t) z = f3(t)
`
e una curva piana se esiste un piano che la contiene, altrimenti si dice gobba.
La curva
x = t y = t2 z = t3
si chiama cubica gobba e non `e contenuta in un piano: infatti preso il piano generico π : ax + by + cz + d = 0 dovremmo avere identicamente (per ogni t ∈ R ) at + bt2+ ct3+ d = 0 , quindi
t1 t2 t3 t0
a = 0 b = 0 c = 0 d = 0
Esercizio 1. E’ data la curva C :
x = t2− 2t y = 3t2+ 2t + 8 z = t + 2
. (a) Stabilire se C `e una curva piana.
(b) Determinare i punti di C che hanno distanza √
5 dal piano x + 2z − 8 = 0 . (c) Determinare C0 la curva simmetrica di C rispetto al punto C(−1, 1, 2) . (d) Determinare una superficie che contenga entrambe le curve C e C0. Soluzione
(a) C `e una curva piana?
Use QQ[x,y,z, a,b,c,d, t];
PC := [t^2-2*t, 3*t^2 +2*t +8, t+2]; -- punto generico di C ---- impongo che sia contenuto nel piano generico ax+by+cz+d=0 ScalarProduct(PC, [a,b,c])+d;
-- a*t^2 +3*b*t^2 -2*a*t +2*b*t +c*t +8*b +2*c +d Allora abbiamo
t0 t1 t2
( 8b + 2c + d = 0
−2a + 2b + c = 0 a + 3b = 0
da cui a = −3b , c = 2a − 2b = −8b , d = 8b . Conclusione: La curva `e contenuta nel piano di equazione −3x + y − 8z + 8 = 0 . Verifica:
1
-3*PC[1] +PC[2] -8*PC[3] +8=0; --> true -- oppure equivalentemente
ScalarProduct(PC, [-3,1,-8])+8 = 0; --> true
(b) Punti di C che hanno distanza √
5 dal piano x + 2z − 8 = 0 .
-- impongo quadrato della distanza del punto generico di C dal piano = 5:
Vpi := [1,0,2];
(ScalarProduct(PC,Vpi)-8)^2 / ScalarProduct(Vpi,Vpi) -5;
--> (1/5)*t^4 +(-8/5)*t^2 -9/5 5 * ((1/5)*t^4 +(-8/5)*t^2 -9/5);
--> t^4 -8*t^2 -9
factor(t^4 -8*t^2 -9); -- fattorizzazione razionale (no radici quadrate) --> [t +3, t -3, t^2 +1]
---- le radici reali sono -3 e 3, quindi i punti sono A := subst(PC, [[t,-3]]); A; --> [15, 29, -1]
B := subst(PC, [[t,3]]); B; --> [3, 41, 5]
-- verifico
(ScalarProduct(A,Vpi)-8)^2 / ScalarProduct(Vpi,Vpi); --> 5 (ScalarProduct(B,Vpi)-8)^2 / ScalarProduct(Vpi,Vpi); --> 5
Conclusione: I punti di C che hanno distanza √
5 dal piano x + 2z − 8 = 0 sono A(15, 29, −1) e B(3, 41, 5) .
(c) Determinare C0 la curva simmetrica di C rispetto al punto C(−1, 1, 2) :
Il simmetrico di un punto P (x, y, z) rispetto a C(−1, 1, 2) `e P0 tale che P − C = C − P0, quindi P0(−2 − x, 2 − y, 4 − z) . Allora il simmetrico del punto generico di C `e
C := [-1,1,2];
PC1 := 2*C-PC; PC1;
-- [-t^2 +2*t -2, -3*t^2 -2*t -6, -t +2]
---- verifica
PC - C = C - PC1; -- true
Conclusione: C0: (−t2+ 2t − 2, −3t2− 2t − 6, −t + 2)
(d) Determinare una superficie che contenga entrambe le curve C e C0:
Il piano π : −3x + y − 8z + 8 = 0 contiene C . Quindi il piano simmetrico rispetto a C contiene C0: cerco il piano parallelo a π che passa per un punto di C0
subst(PC1, [[t,0]]); -- [-2, -6, 2] -- punto di C’
ScalarProduct([x,y,z]-[-2, -6, 2], [-3,1,-8]); -- -3*x +y -8*z +16 ---- verifico che contiene la curva simmetrica:
ScalarProduct(PC1, [-3,1,-8]) +16 = 0; -- true
La superficie di equazione (−3x + y − 8z + 8) · (−3x + y − 8z + 16) = 0 (l’unione dei due piani) contiene le due curve.
u t
2
Esercizio 2. Sia data la curva C : (t2− 1, t, 1 − t − t2) .
(a) `e una curva piana? Se s`ı, determinare il piano che la contiene.
(b) Determinare una sua rappresentazione cartesiana.
(c) Trovare la sua simmetrica rispetto all’origine.
(d) Trovare i punti di intersezione col piano z = 0 . (e) Trovare le sue proiezioni ortogonali sul piano z = 0 . Esercizio 3. Sia data la curva C : (cos(t), sin(t), t) .
(a) `e una curva piana? Se s`ı, determinare il piano che la contiene.
(b) Trovare la sua simmetrica rispetto all’origine.
(c) Trovare i punti di intersezione col piano z = 0 . (d) Trovare una superficie che la contiene.
(e) Trovare la proiezione ortogonale sul piano z = 0 .
Visualizzazione
Ci sono diversi programmi (gratis) di visualizzazione di superfici, su MacOSX consiglio Utili- ties/Grapher.
Selezionate “3D Graph / Frame”
Quindi scrivete le equazioni che volete visualizzare, per esempio per una curva in forma para- metrica “Equation / New Equation From Template...” e poi “curves – Cartesian” (veramente sarebbe parametrica....) con opportuno intervallo del parametro t .
Per ogni equazione potete scegliere il tipo di visualizzazione con il bottone “Inspector” (in alto a destra).
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