Problemi di esistenza ed unicità

Modulo di Teoria dei Circuiti

Laurea specialistica in Ingegneria

Informatica, Elettronica e delle Telecomunicazioni

Prof. Massimiliano de Magistris

Problemi di esistenza ed unicità

nell’analisi di circuiti dinamici

La forma normale di un sistema ODE (Ordinary Differential Equations) è:

Osserviamo che:

– sono presenti solo le derivate prime (a primo membro) – la f(x,t) è definita per qualsiasi valore di x

– la dipendenza di da x e t tramite f(x,t) è univoca.

Abbiamo già verificato che in assenza delle equazioni di stato globali si può non avere l’unicità della soluzione (es: fenomeno dell’impasse!) L’esistenza in forma normale delle equazioni circuitali è come vedremo condizione necessaria (ma non sufficiente!) per l’esistenza ed unicità della soluzione.

Forma normale delle equazioni circuitali/1

( ) ^t

=

x f x, 

x

Forma normale delle equazioni circuitali/2

La forma normale (equazioni di stato) esiste se, considerata una soluzione della forma canonica:

Ciò equivale a dire che lo spazio delle configurazioni generalizzato non deve ammettere ripiegamenti (folding) come quello raffigurato (ϕ ^e q

( ) ( ), ( ), ( ), ( ) y t _{= ⎡}⎣v t i t ϕ t q t ⎤⎦ le funzioni ϕ(t) e q(t) si

proiettano in modo univoco nel sottospazio di tutte le altre variabili v(t), i(t) e viceversa.

i,v

s ,q

Forma normale delle equazioni circuitali/3

Un criterio di esistenza delle equazioni di stato “globali” è il seguente:

“esclusi i casi patologici, se per un circuito tutti i condensatori sono controllati in carica, tutti gli induttori in flusso ed il circuito resistivo associato ammette un’unica soluzione per ogni n-pla possibile di

generatori di sostituzione, allora esistono le equazioni di stato globali”

Il criterio estende al caso di elementi dinamici non lineari le condizioni esistenza delle equazioni di stato per il caso di elementi dinamici

lineari (unicità soluzione circuito resistivo associato)

Ma quali sono le condizioni sufficienti per l’unicità della soluzione delle equazioni di stato (e del circuito)? Bisogna analizzare le proprietà della

Funzioni lipschitziane/1

Una funzione

f(x)

Lipschitziana

D

k

Se invece:

si dice

localmente lipschitziana

x

− ≤ − ∀ ∈

2 1 2 1 2 1

( ) ( ) ,

f x f x k x x x x D

2 1 2 1

2 1 0 0

f(x ) f(x ) k x x

x , x x x, x x D

− ≤ −

∀ ∈ ⎡⎣ − + ⎤⎦ ⊂

Funzioni lipschitziane/2

•Una funzione è globalmente Lipschitziana se lo è in tutti i punti del dominio di definizione.

•Una funzione che diverge (al finito) non è mai globalmente Lipschitziana

•Dal punto di vista “geometrico” una funzione è Lipschitziana quando in ogni punto può essere racchiusa in un “cono” con le direttrici a pendenza finita.

Es1: funzione continua ma non Lipschitziana

( )

( )

f x

x x

( )

^x

^x

f x x x

⎧ <

= ⎨⎩ ≥

f(x)

x

Funzioni Lipschitziane/3

Es2: funzione Lipschitziana ma non derivabile

f(x)

x

Funzioni Lipschitziane/4

Per la Lipschitzianità valgono le relazioni:

Dunque la Lipschitzianità (locale) è una condizione intermedia tra la continuità e la derivabilità!

•Le funzioni “piecewise linear” sono sempre globalmente Lipschitziane.

•Le funzioni “smooth” sono sempre localmente Lipschitziane al finito. Per esserlo globalmente (quindi anche all’infinito) potranno al più divergere linearmente

f(x)

f(x)

f(x)

f(x)

Considerato il problema (di Cauchy):

“se la

(

,t) è continua in

allora esiste almeno una

soluzione

(t) che verifica la condizione iniziale

definita in un intervallo (t

<t<T) con T finito”

Il teorema:

– garantisce l’esistenza ma non l’unicità – l’esistenza è solo “locale”

– non dà indicazioni su quanto è grande T

Teorema di PEANO

( ) ( )

, t t

⎧ = ⎪

⎨ =

⎪⎩

x f x

x x



Considerato il problema (di Cauchy):

“se la f(x, t) è continua e Lipschitziana in x

allora esiste una sola soluzione x(t) che verifica la condizione iniziale x

, definita in un intervallo (t

<t<T) con T finito”

Il teorema:

–garantisce esistenza ed unicità –l’esistenza è solo “locale”

–non dà indicazioni su quanto è grande T

Attenzione: l’esistenza di una soluzione unica in ogni

Teorema di PICARD-LIENDELOEF

( ) ( )

t t

⎧ = ⎪

⎨ =

⎪⎩

x f x,

x x



Considerato il problema (di Cauchy)

“se la f(x, t) è continua in x

e globalmente Lipschitziana allora esiste una sola soluzione x(t) che verifica la

condizione iniziale x

, definita per ogni t”

Il teorema:

– garantisce esistenza ed unicità – l’esistenza è globale

– la soluzione è unica sia nel futuro che nel passato

Teorema di esistenza ed unicità “globale”

( ) ( )

t t

⎧ = ⎪

⎨ =

⎪⎩

x f x,

x x



Esistenza ed unicità : esempio 1/1

Il secondo membro dell’equazione di stato in questo caso non è globalmente Lipschitziano.

La soluzione per

v

1 3 3

1 3

v r i i v

r

dv v

C dt r

= ⋅ ⇒ = ⎜ ⎟⎛ ⎞

⎝ ⎠

⇒ = −⎜ ⎟⎛ ⎞

⎝ ⎠

3

0 2 0

( ) 0

( ) 0 0

a t t t t

v t t t

⎧⎪ − < ≤

= ⎨⎪ ≥ ≤

1 3

2(3 / 2) 2

a r

C

Esistenza ed unicità : esempio 1/2

Per ogni valore di t₀<0 ottengo una soluzione valida, del tipo rappresentato in figura

in definitiva per ogni scelta di

t

Però, in realtà, queste soluzioni sono differenti tra loro solo nella zona

t

t

t

t

v t

t t’₀ t’’₀

Esistenza ed unicità : esempio 2/1

In sostanza è lo stesso circuito di prima ma con un segno invertito. In questo caso la soluzione per

v

1

dv v

C dt r

= ⎜ ⎟⎛ ⎞⎝ ⎠

0 3

0 2 0

0 0 ( )

a( ) 0

v t t t

t t t t

< ≥

= ⎨⎧⎪

⎪ − ≥ ≥

⎩

i(t) C

+

-

v(t) v=r i³

- +

R R

1 3

2(3 / 2) 2

a r

C

Esistenza ed unicità : esempio 2/2

Per ogni valore di

t

Rispetto al caso precedente, oltre al fatto che la soluzione non è unica, abbiamo anche un modello che non è deterministico!

Considerato il problema

“se la f(x, t) è continua in x

Lipschitziana in qualsiasi dominio D tale che

<r e se esiste una soluzione x(t) che verifica la condizione iniziale x

ed inoltre

<r, allora x(t) è unica in “ t

Teorema di unicità “globale”

⎡ ∞⎡

⎣ ⎣

Il teorema garantisce l’unicità nel futuro della soluzione se la soluzione è limitata all’interno della regione di Lipshitzianità di f In termini circuitali, se le caratteristiche sono “smooth” e

l’energia è limitata, avremo l’unicità “al finito”.

( ) ( )

t t

⎧ = ⎪

⎨ =

⎪⎩

x f x,

x x



L’esistenza ed unicità della soluzione dinamica di un circuito è legata alle seguenti questioni:

1. come è fatto lo spazio delle configurazioni (e cioè se è possibile ottenere le equazioni di stato)

2. in quale classe di funzioni ricade la f (quali proprietà la caratterizzano)?

3. posso considerare limitata la soluzione?

A tutte queste domande si può dar risposta studiando la sola parte a-dinamica del circuito!

Alcune considerazioni

Definizioni sulla passività/1

Passività: vi ≥0

passività locale ΔvΔi ≥ 0

Passività stretta: vi ≥ 0 + vi =0 sse v =0, i =0 Passività “asintotica”: vi >0 se ||( v , i )||> k

la potenza è sempre limitata

Debole attività: vi ≥- I

| v | o vi ≤- V

| i |

la potenza non è limitata, ma può crescere al più linearmente con la tensione o con la corrente (a seconda dei casi)

Definizioni sulla passività/2

Passività di alcuni componenti

Esempi sulla passività/1

•Il resistore è passivo

•

W

t

L i

t

Applicando la conservazione delle potenze si ha subito:

Non essendovi generatori l’energia è destinata a decrescere nel tempo, dunque:

W t W t i t i t

0 ^L 0

L R L

p p p dW

+ = ⇒ =

dt

Esempi sulla passività/2

• Il resistore è debolmente attivo, ovvero

p

vi

I

v

•

W

t

C v

t

( )

2 1 2

R

dW dW

p t I C W I C

dt W dt

= − ≥ − ⇒ ≤

( )

W t

Cv

v

C W

(

)

^{d v I}

d W

I C

Esempi sulla passività/3

i

v

C

v

( )

v t ⁼ −t

v t

1 t

Nelle ipotesi in cui esistono le equazioni di stato globali avremo:

1. (esistenza ed unicità globali)

- se il circuito è lineare a tratti (cioè sono tali tutte le

caratteristiche dei bipoli resistivi) la soluzione è unica (nel passato e nel futuro)

2. (esistenza ed unicità locali)

- se il circuito è “smooth” (cioè tutte le caratteristiche sono continue e derivabili indefinitamente) esiste un intorno di t₀ in cui la soluzione esiste ed è unica, ed è “smooth”

3. (esistenza ed unicità nel futuro)

- se il circuito è “smooth” e la soluzione x(t) è limitata per ogni t >t al finito la soluzione esiste ed è unica

Unicità della soluzione per i circuiti dinamici

“No Finite Forward Escape Time Criterion”

le soluzioni

non possono divergere in un

intervallo di tempo finito

t

•non vi sono maglie di soli condensatori e generatori di tensione ed insiemi di taglio di soli induttori e generatori di corrente

•i resistori sono tutti al più debolmente attivi

• [1] M. Hasler, J. Neyrynck, Nonlinear

circuits, Artech House, 1986, ISBN 0-89066- 208-0.

• [2] L.O. Chua, C.A. Desoer, E.S. Kuh,

Circuiti Lineari e Non Lineari, Jackson 1991, ISBN 88-7056-837-7.

• [3] G. Miano, Comportamento Dinamico di Circuiti Non Lineari, appunti in formato PDF disponibili sul sito

Riferimenti bibliografici