CENNI SULLACLASSIFICAZIONE DELLESOLUZIONI
DI UNAEQUAZIONE DIFFERENZIALE DEL
1
0 ORDINEIn questi appunti daremo qualche cenno sulla classicazione delle soluzioni di una equazione dierenziale ordinaria. Ci limiteremo alle equazioni del 1
0ordine, occupandoci prima delle equazioni in forma normale
y0=
f(
xy), successivamente del caso pi u generale
f(
xy y0) = 0.
EQUAZIONI IN FORMA NORMALE
Sia data una equazione dierenziale del 1
0ordine in forma normale
y
0
=
f(
xy)
ove
fe una funzione a valori reali, denita in un sottoinsieme
AFr(
A) di IR
2con
Aaperto, tale che
fe continua in
AFr(
A) e munita di derivata parziale
fy0continua in
A.
Sotto tali ipotesi, per ogni (
x0y0)
2Ail problema di Cauchy
y
0
=
f(
xy)
y
(
x0) =
y0ammette 1 e 1 sola soluzione (in piccolo)
y=
y(
xx0y0).
Con riferimento all'equazione
y0=
f(
xy), diamo le seguneti denizioni:
{ Si chiama
INTEGRALEPARTICOLAREogni funzione
y:
I !IR, denita in un intervallo
I, tale che:
y
0
(
x) =
f(
xy(
x))
8x2I8J
(intervallo)
I ) f(
xy(
x)) :
x2Jg\A6=
:{ Si chiama
INTEGRALEGENERALEogni famiglia di funzioni a valori reali, denite in intervalli, tale che:
1) Ogni restrizione ad un intervallo di ogni sua funzione sia un integrale parti- colare
2) Ogni integrale particolare sia la restrizione ad un intervallo di una funzione della famiglia.
{ Si chiama
INTEGRALEDIFRONTIERAogni (eventuale) funzione
y:
I !IR, denita in un intervallo
I, tale che:
y
0
(
x) =
f(
xy(
x))
8x2If
(
xy(
x)) :
x2IgFr(
A)
:{ Ogni altra soluzione dell'equazione
y0=
f(
xy) si dice
MISTA.
CASOGENERALE
Sia data una equazione dierenziale del 1
0ordine
f
(
xy y0) = 0
ove
fe una funzione a valori reali, denita in un sottoinsieme
AFr(
A) di IR
3con
A
aperto, tale che
fe continua in
AFr(
A) e munita di derivate parziali continue in
A.
Posto
B:=
f(
xy y0)
2A:
fy00(
xy y0)
6= 0
g, allora (nelle ipotesi di regolarit a assunte) per ogni (
x0y0y00)
2Bil problema di Cauchy
8
<
:
f
(
xy y0) = 0
y
(
x0) =
y0y
0
(
x0) =
y00e (localmente) equivalente al problema di Cauchy
y
0
=
g(
xy)
y
(
x0) =
y0ove
ge la funzione denita implicitamente (in virt u del Teorema di Dini) dall'equa- zione
f(
xy y0) = 0 in un intorno di (
x0y0y00). Inoltre quest'ultimo problema di Cauchy ammette 1 e 1 sola soluzione (in piccolo)
y=
y(
xx0y0y00) tale che
y
0
(
x0) =
y00.
Con riferimento all'equazione
f(
xy y0) = 0, diamo le seguneti denizioni:
{ Si chiama
INTEGRALEPARTICOLAREogni funzione
y:
I !IR, denita in un intervallo
I, tale che:
f
(
xy(
x)
y0(
x)) = 0
8x2I8J
(intervallo)
I ) f(
xy(
x)
y0(
x)) :
x2Jg\B6=
:{ Si chiama
INTEGRALEGENERALEogni famiglia di funzioni a valori reali, denite in intervalli, tale che:
1) Ogni restrizione ad un intervallo di ogni sua funzione sia un integrale parti- colare
2) Ogni integrale particolare sia la restrizione ad un intervallo di una funzione della famiglia.
{ Si chiama
INTEGRALEDIFRONTIERAogni (eventuale) funzione
y:
I !IR, denita in un intervallo
I, tale che:
f
(
xy(
x)
y0(
x)) = 0
8x2If
(
xy(
x)
y0(
x)) :
x2IgFr(
A)
:{ Si chiama
INTEGRALE SINGOLAREogni (eventuale) funzione
y:
I !IR, denita in un intervallo
I, tale che:
f
(
xy(
x)
y0(
x)) = 0
8x2If 0
y
0