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ordine, occupandoci prima delle equazioni in forma normale

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Academic year: 2021

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(1)

CENNI SULLACLASSIFICAZIONE DELLESOLUZIONI

DI UNAEQUAZIONE DIFFERENZIALE DEL

1

0 ORDINE

In questi appunti daremo qualche cenno sulla classicazione delle soluzioni di una equazione dierenziale ordinaria. Ci limiteremo alle equazioni del 1

0

ordine, occupandoci prima delle equazioni in forma normale

y0

=

f

(

xy

), successivamente del caso pi u generale

f

(

xy y0

) = 0.

EQUAZIONI IN FORMA NORMALE

Sia data una equazione dierenziale del 1

0

ordine in forma normale

y

0

=

f

(

xy

)



ove

f

e una funzione a valori reali, denita in un sottoinsieme

A

Fr(

A

) di IR

2

con

A

aperto, tale che

f

e continua in

A

Fr(

A

) e munita di derivata parziale

fy0

continua in

A

.

Sotto tali ipotesi, per ogni (

x0y0

)

2A

il problema di Cauchy

y

0

=

f

(

xy

)

y

(

x0

) =

y0

ammette 1 e 1 sola soluzione (in piccolo)

y

=

y

(

x

x0y0

).

Con riferimento all'equazione

y0

=

f

(

xy

), diamo le seguneti denizioni:

{ Si chiama

INTEGRALEPARTICOLARE

ogni funzione

y

:

I !

IR, denita in un intervallo

I

, tale che:

y

0

(

x

) =

f

(

xy

(

x

))

 8x2I

8J

(intervallo)

I ) f

(

xy

(

x

)) :

x2Jg\A6

=

:

{ Si chiama

INTEGRALEGENERALE

ogni famiglia di funzioni a valori reali, denite in intervalli, tale che:

1) Ogni restrizione ad un intervallo di ogni sua funzione sia un integrale parti- colare

2) Ogni integrale particolare sia la restrizione ad un intervallo di una funzione della famiglia.

{ Si chiama

INTEGRALEDIFRONTIERA

ogni (eventuale) funzione

y

:

I !

IR, denita in un intervallo

I

, tale che:

y

0

(

x

) =

f

(

xy

(

x

))

 8x2I

f

(

xy

(

x

)) :

x2Ig

Fr(

A

)

:

{ Ogni altra soluzione dell'equazione

y0

=

f

(

xy

) si dice

MISTA

.

(2)

CASOGENERALE

Sia data una equazione dierenziale del 1

0

ordine

f

(

xy y0

) = 0



ove

f

e una funzione a valori reali, denita in un sottoinsieme

A

Fr(

A

) di IR

3

con

A

aperto, tale che

f

e continua in

A

Fr(

A

) e munita di derivate parziali continue in

A

.

Posto

B

:=

f

(

xy y0

)

2A

:

fy00

(

xy y0

)

6

= 0

g

, allora (nelle ipotesi di regolarit a assunte) per ogni (

x0y0y00

)

2B

il problema di Cauchy

8

<

:

f

(

xy y0

) = 0

y

(

x0

) =

y0

y

0

(

x0

) =

y00

e (localmente) equivalente al problema di Cauchy

y

0

=

g

(

xy

)

y

(

x0

) =

y0

ove

g

e la funzione denita implicitamente (in virt u del Teorema di Dini) dall'equa- zione

f

(

xy y0

) = 0 in un intorno di (

x0y0y00

). Inoltre quest'ultimo problema di Cauchy ammette 1 e 1 sola soluzione (in piccolo)

y

=

y

(

x

x0y0y00

) tale che

y

0

(

x0

) =

y00

.

Con riferimento all'equazione

f

(

xy y0

) = 0, diamo le seguneti denizioni:

{ Si chiama

INTEGRALEPARTICOLARE

ogni funzione

y

:

I !

IR, denita in un intervallo

I

, tale che:

f

(

xy

(

x

)

y0

(

x

)) = 0

 8x2I

8J

(intervallo)

I ) f

(

xy

(

x

)

y0

(

x

)) :

x2Jg\B6

=

:

{ Si chiama

INTEGRALEGENERALE

ogni famiglia di funzioni a valori reali, denite in intervalli, tale che:

1) Ogni restrizione ad un intervallo di ogni sua funzione sia un integrale parti- colare

2) Ogni integrale particolare sia la restrizione ad un intervallo di una funzione della famiglia.

{ Si chiama

INTEGRALEDIFRONTIERA

ogni (eventuale) funzione

y

:

I !

IR, denita in un intervallo

I

, tale che:

f

(

xy

(

x

)

y0

(

x

)) = 0

 8x2I

f

(

xy

(

x

)

y0

(

x

)) :

x2Ig

Fr(

A

)

:

{ Si chiama

INTEGRALE SINGOLARE

ogni (eventuale) funzione

y

:

I !

IR, denita in un intervallo

I

, tale che:

f

(

xy

(

x

)

y0

(

x

)) = 0

 8x2I

f 0

y

0

(

xy

(

x

)

y0

(

x

)) = 0

 8x2I:

{ Ogni altra soluzione dell'equazione

f

(

xy y0

) = 0 si dice

MISTA

.

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