ordine, occupandoci prima delle equazioni in forma normale

(1)

CENNI SULLACLASSIFICAZIONE DELLESOLUZIONI

DI UNAEQUAZIONE DIFFERENZIALE DEL

1

⁰ ^ORDINE

In questi appunti daremo qualche cenno sulla classicazione delle soluzioni di una equazione dierenziale ordinaria. Ci limiteremo alle equazioni del 1

⁰

ordine, occupandoci prima delle equazioni in forma normale

^y⁰

=

^f

(

^x^y

), successivamente del caso pi u generale

^f

(

^x^y^y⁰

) = 0.

EQUAZIONI IN FORMA NORMALE

Sia data una equazione dierenziale del 1

⁰

ordine in forma normale

y

0

=

^f

(

^x^y

)

ove

^f

e una funzione a valori reali, denita in un sottoinsieme

^A

Fr(

^A

) di IR

²

con

^A

aperto, tale che

^f

e continua in

^A

Fr(

^A

) e munita di derivata parziale

^f^y⁰

continua in

^A

.

Sotto tali ipotesi, per ogni (

^x⁰^y⁰

)

²^A

il problema di Cauchy

y

0

=

^f

(

^x^y

)

y

(

^x⁰

) =

^y⁰

ammette 1 e 1 sola soluzione (in piccolo)

^y

=

^y

(

^x

^x⁰^y⁰

).

Con riferimento all'equazione

^y⁰

=

^f

(

^x^y

), diamo le seguneti denizioni:

{ Si chiama

^INTEGRALEPARTICOLARE

ogni funzione

^y

:

^I ^!

IR, denita in un intervallo

^I

, tale che:

y

0

(

^x

) =

^f

(

^x^y

(

^x

))

⁸^x²^I

8J

(intervallo)

^I ⁾ ^f

(

^x^y

(

^x

)) :

^x²^J^g^\^A⁶

=

^:

{ Si chiama

^INTEGRALE^GENERALE

ogni famiglia di funzioni a valori reali, denite in intervalli, tale che:

1) Ogni restrizione ad un intervallo di ogni sua funzione sia un integrale particolare

2) Ogni integrale particolare sia la restrizione ad un intervallo di una funzione della famiglia.

{ Si chiama

^INTEGRALE^DI^FRONTIERA

ogni (eventuale) funzione

^y

:

^I ^!

IR, denita in un intervallo

^I

, tale che:

y

0

(

^x

) =

^f

(

^x^y

(

^x

))

⁸^x²^I

f

(

^x^y

(

^x

)) :

^x²^Ig

Fr(

^A

)

^:

{ Ogni altra soluzione dell'equazione

^y⁰

=

^f

(

^x^y

) si dice

^MISTA

.

(2)

CASOGENERALE

Sia data una equazione dierenziale del 1

⁰

ordine

f

(

^x^y^y⁰

) = 0

ove

^f

e una funzione a valori reali, denita in un sottoinsieme

^A

Fr(

^A

) di IR

³

con

A

aperto, tale che

^f

e continua in

^A

Fr(

^A

) e munita di derivate parziali continue in

^A

.

Posto

^B

:=

^f

(

^x^y^y⁰

)

²^A

:

^f^y⁰⁰

(

^x^y^y⁰

)

⁶

= 0

^g

, allora (nelle ipotesi di regolarit a assunte) per ogni (

^x⁰^y⁰^y⁰⁰

)

²^B

il problema di Cauchy

8

<

:

f

(

^x^y^y⁰

) = 0

y

(

^x⁰

) =

^y⁰

y

0

(

^x⁰

) =

^y⁰⁰

e (localmente) equivalente al problema di Cauchy

y

0

=

^g

(

^x^y

)

y

(

^x⁰

) =

^y⁰

ove

^g

e la funzione denita implicitamente (in virt u del Teorema di Dini) dall'equazione

^f

(

^x^y^y⁰

) = 0 in un intorno di (

^x⁰^y⁰^y⁰⁰

). Inoltre quest'ultimo problema di Cauchy ammette 1 e 1 sola soluzione (in piccolo)

^y

=

^y

(

^x

^x⁰^y⁰^y⁰⁰

) tale che

y

0

(

^x⁰

) =

^y⁰⁰

.

Con riferimento all'equazione

^f

(

^x^y^y⁰

) = 0, diamo le seguneti denizioni:

{ Si chiama

^INTEGRALEPARTICOLARE

ogni funzione

^y

:

^I ^!

IR, denita in un intervallo

^I

, tale che:

f

(

^x^y

(

^x

)

^y⁰

(

^x

)) = 0

⁸^x²^I

8J

(intervallo)

^I ⁾ ^f

(

^x^y

(

^x

)

^y⁰

(

^x

)) :

^x²^J^g^\^B⁶

=

^:

{ Si chiama

^INTEGRALE^GENERALE

ogni famiglia di funzioni a valori reali, denite in intervalli, tale che:

1) Ogni restrizione ad un intervallo di ogni sua funzione sia un integrale particolare

2) Ogni integrale particolare sia la restrizione ad un intervallo di una funzione della famiglia.

{ Si chiama

^INTEGRALE^DI^FRONTIERA

ogni (eventuale) funzione

^y

:

^I ^!

IR, denita in un intervallo

^I

, tale che:

f

(

^x^y

(

^x

)

^y⁰

(

^x

)) = 0

⁸^x²^I

f

(

^x^y

(

^x

)

^y⁰

(

^x

)) :

^x²^I^g

Fr(

^A

)

^:

{ Si chiama

^INTEGRALE ^SINGOLARE

ogni (eventuale) funzione

^y

:

^I ^!

IR, denita in un intervallo

^I

, tale che:

f

(

^x^y

(

^x

)

^y⁰

(

^x

)) = 0

⁸^x²^I

f 0

y

0

(

^x^y

(

^x

)

^y⁰

(

^x

)) = 0

⁸^x²^I^:

{ Ogni altra soluzione dell'equazione

^f

(

^x^y^y⁰

) = 0 si dice

^MISTA

.