Formulazioni iperelastiche implementate in ANSYS 8.0
Le formulazioni iperelastiche differiscono tra loro per la forma della funzione densità di energia di deformazione W; in questa sezione si analizzano le principali formulazioni che si trovano implementate nel codice di calcolo agli elementi finiti ANSYS 8.0.
La formulazione più utilizzata nella modellazione dei mezzi iperelastici è quella di Mooney-Rivlin disponibile nelle forme a 2,3,5,9 parametri.
Mooney-Rivlin 2 parametri
:(1)
La funzione densità di energia di deformazione dal punto di vista dimensionale è un lavoro per unità di volume che quindi può essere espressa come J/mm3 equivalente a MPa valendo:
J = N* mm; MPa = 1N/mm2.
(2)
C10 e C01 sono parametri caratteristici del materiale espressi in MPa, d è un indice di
incomprimibiltà del materiale, è il primo invariante del tensore deviatorico (responsabile
della variazione di forma) degli strain, il secondo e J è il determinante della matrice gradiente della deformazione
I parametri C10, C01 e d sono legati al modulo di taglio µ e a quello di Bulk k dalle relazioni
(3)
dove:
(4)
ν è il coefficiente di Poisson del materiale.
Mooney-Rivlin 3 parametri:
(5)
Mooney-Rivlin 5 parametri:
Mooney-Rivlin 9 parametri:
(7)
Una formulazione più generale è quella polinomiale della quale riportiamo i punti essenziali.
Formulazione Polinomiale:
La funzione densità di energia di deformazione W assume la seguente forma:
(8)
dal punto di vista teorico non ci sono limiti al valore di N; un valore elevato porta ad una maggiore precisione nei risultati ma necessità anche di una grande quantità di dati in ingresso. Si cerca, quindi, di tenere ragionevolmente basso questo valore.
Per il modulo di taglio iniziale µ e il modulo di Bulk iniziale vale ancora la (3).
Per N = 1 la formulazione polinomiale coincide con Mooney – Rivlin a 2 parametri, per N = 2 coincide con Mooney – Rivlin a 5 parametri, per N = 3 coincide con Mooney – Rivlin a 9 parametri.
Formulazione di Ogden:
La funzione densità di energia di deformazione W assume la seguente forma:
(9)
dove è definito come segue:
(10)
λp sono le deformazioni principali del tensore sinistro di Cauchy – Green. Per il modulo iniziale di taglio µ vale:
(11)
mentre per il modulo di Bulk iniziale:
(12)
Per N = 2, α1 = 2 e α2 = -2 la formulazione di Ogden coincide con quella di Mooney- Rivlin a
