Meccanica 2

(1)

Meccanica 2

1 marzo 2011

Cinematica in una dimensione

Velocita` media e istantanea. Moto rettilineo uniforme

Accelerazione media e istantanea. Moto uniformemente accelerato Accelerazione di gravita`. Caduta dei gravi

Moto armonico. Pulsazione, periodo, frequenza

Integrazione dell’equazione differenziale del moto armonico

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Cinematica del punto materiale

• E ` la parte piu` elementare della meccanica:

studia il moto dei corpi senza riferimento alle sue cause

• Il moto e` determinato se e` nota la posizione del corpo in funzione del tempo

• Necessita` di un sistema di riferimento per determinare la posizione

• Diversi tipi di sistemi di riferimento=diverse coordinate:

– Cartesiano (2 e 3 dimensioni): x, y, z – Polare (2 dimensioni): , 

– Cilindrico (3 dimensioni): ^,^{, z}

(3)

Cinematica

• Conoscere il moto significa conoscere ogni

coordinata come funzione del tempo, ovvero la sua legge oraria:

– x(t), y(t), z(t) – (t), (t)

– (t), (t), z(t) – r(t), (t), (t)

• Traiettoria: e` il luogo dei punti dello spazio

occupati dal corpo nei successivi istanti di tempo

– Da` informazioni di tipo geometrico, senza riferimento al tempo

(4)

Traiettoria e legge oraria

• P.e. il moto dei pianeti nel campo di gravita` del sole si svolge lungo la seguente traiettoria o

orbita (1^a legge di Keplero):

• Questa e` una funzione  e rappresenta una relazione puramente geometrica tra le

coordinate  e  (un’ellisse per la precisione)

• Ma essa nulla ci dice sulle leggi orarie (t), (t)

 

 ¹ ^cos

1  p e

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Cinematica

• Conoscere le coordinate in funzione del tempo non e`

pero`, in generale, cosa facile

• Nelle pagine seguenti saranno introdotte due grandezze fisiche: la velocita` e l’accelerazione

• Cio` e` dovuto al fatto che le leggi del moto non

contengono direttamente le posizioni, ma piuttosto le accelerazioni:

• Compito della cinematica e` quindi risalire dalle accelerazioni alle posizioni

     

   

^, ^, ^.

, ,

ecc t

a t

a

t a t

a t

a_x _y _z





(6)

Cinematica

• Le grandezze fisiche necessarie per lo studio della cinematica sono

– Spazio – s, l, x, r…

– Tempo - t – Velocita` - v

– Accelerezione - a

(7)

Moto rettilineo

• Si svolge lungo una retta su cui si definisce la coordinata x, la cui origine (x=0) e il cui verso sono arbitrari

• Anche l’origine dei tempi (t=0) e` arbitraria

• Il moto del corpo e` descrivibile con una sola funzione x(t)

• La funzione puo` essere rappresentata sul cosiddetto diagramma orario, sul cui asse delle ascisse poniamo t e su quello delle ordinate x

x

O

(8)

Velocita`

• Dato un moto rettilineo, supponiamo che il corpo si trovi nella posizione x₁ al tempo t₁ e nella posizione x₂ al tempo t₂

• Lo spostamento e` la differenza delle posizioni:

x= x₂-x₁

• L’intervallo di tempo in cui avviene lo spostamento e`: t= t₂-t₁

• La velocita` media e`, per definizione, il rapporto:

t v_m x



 

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Esercizi

• Trovare la velocita` media di una moto che si muove a 150 km/h per un tempo t e a 100 km/h per un tempo uguale

• Trovare la velocita` media di un’auto che percorre una distanza L a 180 km/h e la

successiva (della stessa lunghezza) a 100 km/h

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Velocita`

• Immaginiamo di considerare intervalli di tempo

sempre piu` piccoli, possiamo idealmente pensare al limite in cui l’intervallo tende a zero

• La velocita` istantanea e`, per definizione, il limite:

• Ovvero la derivata dello spazio rispetto al tempo

• La velocita`, in generale, e` funzione del tempo:

v=v(t)

• Nel caso in cui sia invece costante, il moto (rettilineo) e` detto uniforme

 

^t

dt x dx t

v x

t

'

lim0  



 





(11)

Relazioni tra posizione e velocita`

• Abbiamo visto la relazione differenziale tra i due:

• ovvero

• La relazione inversa e` la relazione integrale

• Che e` utile solo se e` nota la dipendenza di v da t, (p.e. nel moto uniforme)

• x-x₀ rappresenta lo spostamento complessivo, cioe`

la somma algebrica degli spostamenti e non lo spazio percorso che e` invece la somma del modulo degli spostamenti

  dt t dx

v  ^dx ^ ^v ^t ^dt



 



^ ^ ^ ^t

t x

x

dt t v x

x dx

0 0

0

(12)

Relazione tra velocita` media e istantanea

• Dalla definizione di velocita` media e dalla relazione integrale tra posizione e velocita`

istantanea:

• Questa relazione afferma che la velocita` media e` uguale al valor medio della velocita`

istantanea

  

 



 

t

m v t dt

t t

x v x

0 0 0

0 1

(13)

Moto rettilineo uniforme

• Lo spazio e` funzione lineare del tempo

• La velocità istantanea è uguale alla velocità media:

  ₀  ₀

0

0 v dt x v t t

x t

x

t













vm

v 

(14)

Accelerazione

• Quando la velocita` varia nel tempo il moto e`

detto accelerato

• Similmente a quanto fatto per la velocita`, definiamo come accelerazione media il rapporto:

• E come accelerazione istantanea il limite:

• Ovvero la derivata della velocita` rispetto al

t v t

t

v a_m v



 



 

1 2

 ^t

dt v dv t

a v

t

'

lim0  



 





(15)

Accelerazione

• L’accelerazione, in generale, e` funzione del tempo: a=a(t)

• Nel caso in cui sia invece costante, il moto (rettilineo) e` detto uniformemente accelerato

(16)

Relazione tra accelerazione e posizione: una nota formale

• Dalla relazione differenziale tra accelerazione e velocita` e tra questa e la posizione, otteniamo:

         

2 2 2

2

dt t x t d

dt x t d

dt x d dt

t d dt v

d dt

t

a dv   



 



 



(17)

Relazioni tra velocita` e accelerazione

• Abbiamo visto la relazione differenziale tra le

due: ovvero

• La relazione inversa e` la relazione integrale

• Come per la velocita`, questa relazione e` utile solo se e` nota la dipendenza di a da t, (p.e. nel moto uniformemente accelerato)



a t ^ ^dv

dt



dv  a t ^dt



dv

v0



v ^{ v  v}⁰ ^{ a t}

^{ }

^dt t 0



t

(18)

Moto rettilineo uniformemente accelerato

• La velocità e` funzione lineare del tempo

• L’accelerazione istantanea è uguale alla accelerazione media:

• Lo spostamento è funzione quadratica del tempo:



v t ^{ v}0  a dt

t 0



t ^{ v}⁰ ^{ a t  t}^ ⁰^



a  a_m

x t ^{ x}0  v t ^dt

t 0



t ^{ x}⁰ ^ ^v⁰ ^{ a t  t}^ ⁰^^dt

t 0



t ^

 x₀  v₀t  t₀^ ¹

2 a t  t₀²

18

(19)

Moto di un grave nel campo di gravità

• Come vedremo meglio più avanti, un corpo che cade nel campo di gravità terrestre si muove

verso il basso con un’accelerazione costante g=9.8 m/s²

• Il moto del grave è dunque uniformemente accelerato

• Se prendiamo un sistema di riferimento con l’asse x rivolto verso l’alto, l’accelerazione a è negativa: a=-g

(20)

Moto di un grave nel campo di gravità

• Specifichiamo le formule per il moto

uniformemente accelerato nel caso di un corpo che cade da altezza h con velocità iniziale

nulla: x₀=h, v₀=0, t₀=0

• La seconda formula ci permette, risolvendo rispetto a t, di trovare il tempo in cui il corpo raggiunge il suolo, cioè il punto x=0:



v t

 

^{ v}₀ ^{ a t  t}



₀



^{ gt}



x t

 

^{ h } ¹

2 gt²

t  2h

g 20

(21)

Moto di un grave nel campo di gravità

• Ora che e`noto il tempo di caduta, la prima formula ci permette di trovare la velocità con cui il corpo giunge a terra:

• Spesso si omette il segno meno:

• intendendo che ci si riferisce al modulo della velocita`



v t

 

^{  2gh}

 

^t ^gh

v  2

(22)

Moto armonico

• In questo caso definiamo il moto direttamente a partire dalla legge oraria della posizione:

• Ove compaiono tre costanti:

– A l’ampiezza –  la pulsazione

–  la fase iniziale (cioe` al tempo 0)

• Poiche’ la funzione seno e` periodica, a due istanti di tempo t₁, t₂, che soddisfano la relazione seguente

• corrispondera` uno stesso valore della coordinata

t₂   t₁  t₂ t₁  n2

 

^t ^ ^A



^^t ^^



x sin

(23)

Moto armonico

• Quando n assume il valore minimo (n=1), i due istanti differiscono per un tempo T detto periodo

• Questa relazione e` molto importante perche’

lega la pulsazione al periodo:

• La frequenza e` l’inverso del periodo:

   

 t₂ t₁  T  2





 2

T T

  ²

T

 1

   2

(24)

Soluzione di equazioni differenziali

• Risolvere l’equazione differenziale che definisce la velocita`

• significa passare dalla funzione v alla funzione x

• Similmente, risolvere l’equazione differenziale che definisce l’accelerazione

• significa passare dalla funzione a alla funzione v

• Questo passaggio vien fatto mediante

un’operazione di integrazione, per cui si dice

integrare l’equazione come sinonimo di risolvere

  dt t dx v 



a t ^ ^dv

dt

(25)

Soluzione di equazioni differenziali

• Piu` in generale risolvere un’equazione

differenziale significa abassarne il grado di

derivazione mediante operazioni di integrazione agenti sulle funzioni incognite o su funzioni di queste funzioni

• Questo accade quando, p.e., l’accelerazione e`

nota non in funzione del tempo, ma della posizione

(26)

Accelerazione come funzione della posizione

• Supponiamo dunque che l’accelerazione sia nota non in funzione del tempo, ma della posizione: a=a(x)

• Ora moltiplichiamo ambo i membri dell’equazione di definizione dell’accelerazione per la velocita`:

• Integriamo ambo i membri rispetto a t:

• Ricordiamo che dalla definizione di velocita`



^ ^t

t t

t

dt dt v dv avdt

0 0

dt v dv av 

dx vdt 

(27)

Accelerazione come funzione della posizione

• Possiamo semplificare cambiando variabile, nel primo membro passando a x e nel secondo membro passando a v:

• A conti fatti otteniamo:

• Supposto di poter eseguire l’integrale a primo membro, abbiamo abbassato l’ordine di derivazione dell’equazione

• Siamo partiti dalla conoscenza di a e siamo giunti alla conoscenza di v:

  ² ₀²

0 2

1 2

1 v v dx

x a

x







 



^ ^v

v x

x

vdv dx

x a

0 0

x

(28)

Un esempio importante

• Supponiamo che l’accelerazione sia esprimibile come segue:

• Cioe` sia proporzionale, tramite una costante negativa, alla posizione

• Applicando la formula generale, abbiamo:

• Risolvendo rispetto a v:

 ^x ^x

a  ²

 

^{ }



0²



2 2 2 2

0 2

2 1 2

1

0 0

x x

xdx dx

x a v

v

x

x x

x











 

^ ^



0²



² ² ² ² ² ² ²

2 2

0      1 

 x

A x

x v

v     

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Un esempio importante

• Abbiamo integrato

un’equazione differenziale del secondo ordine e siamo giunti ad una del primo

ordine

• Per integrare questa seconda equazione separiamo le variabili

• e integriamo tra la posizione

x₀ e la posizione generica x:



^



_ ^









t x

x

d dt A x

dx

2 0 2

0

0 1

1

 

 



2

1 



 







 A

A x dt

v dx 

dt A

A x

dx 



 





2

1

(30)

Un esempio importante

• L’integrale di destra e` immediato

• L’ integrale al centro lo troviamo su una tabella

• E quindi

• Risolvendo infine rispetto a x

• Ritroviamo cioe` il

t dt

t



 

0



 









 

 ₁^d ^arcsin ^arcsin _A^x

0

2

A t

x    arcsin

^ ^^

 A t x sin

(31)

Moto armonico

• Possiamo calcolare la velocita` nel moto

armonico

• E l’accelerazione

• Verifichiamo quindi che per un moto armonico vale la relazione

• Ovvero tale relazione e`

valida se e solo se il moto e` armonico

^ ^ ^ ^ ^

    



 A t A t

dt d dt

a dv cos ² sin

^ ^^ ^^ ^ ^^



 A t A t

dt d dt

v dx sin cos

x a  ²

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Esercizi

• 1) Un corpo puntiforme viene lanciato

verticalmente verso l’alto con velocita` iniziale v₀ dall’altezza h₁

– Trovare a) il tempo in cui raggiunge la massima

altezza; b) la massima altezza; c) il tempo in cui arriva a terra; d) la velocita` con cui arriva a terra

• 2) Un corpo si muove con una velocita` data da nell’intervallo di tempo t tra

t₁=2s e t₂=5s

– Trovare a) la velocita` media in t; b) l’accelerazione

 

s m t

v  2 ² 5 /

(33)

Esercizi

• 3) dato un moto armonico

– Determinare le costanti A e  in base alle condizioni iniziali

• 4) mostrare con opportuni controesempi che le seguenti implicazioni sono false

 ^t ^ ^A ^^t ^^

x sin

  ⁰⁰ ^v₀⁰

v

x x



0 0

. 0

0





















a v

const a

crescente a

crescente v

a v