ANALISI MATEMATICA - PROF. G. SURACE LIMITI DI FUNZIONI
1 Caratterizzazione di intorni
Esiste un modo interessante di caratterizzare un intorno. Questo modo si basa sull’utilizzo del valore assoluto! Il concetto da associare a valore as- soluto ´ e quello di DISTANZA . Ad esempio scrivendo |x − 5| < 2 stiamo indicando l’insieme dei valori x che distano non pi´ u di 2 dal punto x = 5 (come se fosse 5−2 < x < 5+2). In pratica stiamo considerando l’insieme di valori di x che vanno da 3 a 7 ovvero stiamo considerando l’intervallo (3, 7) o anche, se vogliamo {3 < x < 7}. In definitiva l’espressione |x − 1| < 3 ´ e sinonimo di (−4, 2), o di {−4 < x < 2}. Sta a voi scegliere qual ´ e il modo pi´ u semplice di rappresentare l’intervallo!. Non ´ e superfluo notare che nella scrittura |x + 1| < 5 l’intorno ´ e centrato intorno al valore x = −1 (come se fosse |x − (−1)| < 2), mentre nella scrittura |x| < 2 l’intorno ´ e centrato intorno al valore x = 0 (come se fosse |x − 0| < 2). In maniera pi´ u astratta possiamo considerare, sull’asse delle ascisse,un intervallo di larghezza δ in- torno al valore x
0scrivendo |x − x
0| < δ (intendendo x
0− δ < x < x
0+ δ), oppure un intervallo sull’asse delle ordinate centrato intorno al valore y = ` di larghezza ε scrivendo |y − `| < ε o anche |f (x) − `| < ε (intendendo con questo ` − ε < f (x) < ` + ε).
2 L’idea di limite
L’idea da associare al concetto di limite ´ e la seguente: quanto pi´ u sull’asse x si considerano intervalli via via decrescenti centrati intorno ad un valore x
0(|x − x
0| → 0) tanto pi´ u i valori della funzione f (x) si stringono intorno ad un determinato valore ` che chiamiamo limite della funzione (cio´ e
|f (x) − `| → 0).
3 La definizione di limite di una funzione 4 Teoremi sui limiti
Teorema 1 (di unicit´ a del limite) Se una funzione f (x) ammette limite finito ` per x → x
0allora questo limite ´ e unico.
1
Proof : la dimostrazione di questo teorema (come in genere di tutti i teo- remi di unicit´ a) ´ e fatta per assurdo . L’idea ´ e quella di negare la tesi (...
supponiamo per assurdo che...) dimostrando che le implicazioni di ci´ o sono false o assurde o in contrasto con le ipotesi del teorema.
Detto ci´ o cerchiamo di distinguere quali sono le ipotesi e quale la tesi del teorema:
IPOTESI :
x→x
lim
0f (x) = `
TESI : ` ´ e unico.
Supponiamo per assurdo che i limiti siano 2, `
1, `
2. Dalla definizione di limite dovrebbe risultare contemporaneamente che:
(
|f (x) − `
1| < ε
|f (x) − `
2| < ε in altre parole
(
`
1− ε < f (x) < `
1+ ε
`
2− ε < f (x) < `
2+ ε
La scelta di ε ´ e arbitraria per cui prendiamo un valore ad ”hoc”: ε =
`2−`2 1. Sostituendo ε all’interno di quel sistema di disequazioni si ha:
(
`
1− (
`2−`2 1) < f (x) < `
1+ (
`2−`2 1)
`
2− (
`2−`2 1) < f (x) < `
2+ (
`2−`2 1) cio´ e
( 3`1−`2
2
< f (x) <
`1+`2 2`1+`2
2
< f (x) <
3`22−`1f (x) non pu´ o risultare contemporaneamente maggiore e minore di
`1+`2 2quindi quella catena di disuguaglianze ´ e assurda e dunque il limite deve risultare per forza di cose unico (c.v.d).
Teorema 2 (della permanenza del segno) Se una funzione f (x) am- mette limite finito ` 6= 0 per x → x
0allora esiste almeno un intorno di x
0in corrispondenza ai cui valori la funzione assume lo stesso segno del limite.
Proof : la dimostrazione di questo teorema ´ e molto semplice. Al solito, individuiamo prima ipotesi e tesi:
IPOTESI :
x→x
lim
0f (x) = ` 6= 0
TESI : in un opportuno intorno di x
0risulta f (x) > 0 se ` > 0 (o viceversa f (x) < 0 se ` < 0)
Dalla definizione di limite, in un opportuno intorno di x
0, risulta che
|f (x) − `| < ε ovvero ` − ε < f (x) < ` + ε. La scelta di ε ´e arbitraria per cui scegliamo un valore ad ”hoc”: ε = |`|. Dobbiamo distinguere il caso in cui ` > 0 dal caso in cui ` < 0.
Caso ` > 0 : risulta semplicemente che ` − ` < f (x) < ` + ` ovvero
2
0 < f (x) < 2`. Questa disuguaglianza dice che sicuramente f (x) > 0.
Caso ` < 0 : risulta semplicemente che ` − (−`) < f (x) < ` + (−`) ovvero 2` < f (x) < 0. Questa disuguaglianza dice che sicuramente f (x) < 0 (c.v.d.).
Teorema 3 (del confronto) Siano f (x), g(x), h(x) tre funzioni definite nello stesso intervallo e tali che: f (x) ≤ g(x) ≤ h(x). Se risulta che:
x→x
lim
0f (x) = `
x→x
lim
0h(x) = ` Allora esiste anche il limite di g(x) e vale:
x→x
lim
0g(x) = `
Proof : la dimostrazione di questo teorema si basa ancora sulla definizione di limite.
Distinguiamo le ipotesi dalla tesi:
IPOTESI :
1. f, g, h sono definite nello stesso intervallo D;
2. f (x) ≤ g(x) ≤ h(x);
3. (a)
x→x
lim
0f (x) = ` (b)
x→x
lim
0h(x) = ` TESI :
x→x
lim
0g(x) = `
Dalla definizione di limite risulta che:
(
` − ε < f (x) < ` + ε
` − ε < h(x) < ` + ε
Tenuto conto della seconda ipotesi si pu´ o scrivere anche:
` − ε < f (x) ≤ h(x) < ` + ε A maggior ragione, dunque:
` − ε < f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) < ` + ε In altre parole abbiamo scoperto che:
` − ε < g(x) < ` + ε che ´ e proprio la definizione di limite per la funzione g(x) (c.v.d.)
3
Teorema 4 (della somma (o differenza)) Il limite della somma (o della differenza) di due funzioni ´ e uguale alla somma (o differenza) dei limiti:
x→x
lim
0[f (x) + g(x) − h(x)] = lim
x→x0
f (x) + lim
x→x0
g(x) − lim
x→x0
h(x)
(Senza dimostrazione)
Teorema 5 (del prodotto) Il limite del prodotto di due funzioni ´ e uguale al prodotto dei limiti:
x→x
lim
0[f (x) · g(x)] = lim
x→x0
f (x) · lim
x→x0
g(x) (Senza dimostrazione)
Teorema 6 (del quoziente) Il limite del quoziente di due funzioni ´ e uguale al quoziente dei limiti (supposto che il limite della funzione divisore non sia nullo):
x→x