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1 Caratterizzazione di intorni Esiste un modo interessante di caratterizzare un intorno. Questo modo si basa sull’utilizzo del valore assoluto

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Academic year: 2021

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ANALISI MATEMATICA - PROF. G. SURACE LIMITI DI FUNZIONI

1 Caratterizzazione di intorni

Esiste un modo interessante di caratterizzare un intorno. Questo modo si basa sull’utilizzo del valore assoluto! Il concetto da associare a valore as- soluto ´ e quello di DISTANZA . Ad esempio scrivendo |x − 5| < 2 stiamo indicando l’insieme dei valori x che distano non pi´ u di 2 dal punto x = 5 (come se fosse 5−2 < x < 5+2). In pratica stiamo considerando l’insieme di valori di x che vanno da 3 a 7 ovvero stiamo considerando l’intervallo (3, 7) o anche, se vogliamo {3 < x < 7}. In definitiva l’espressione |x − 1| < 3 ´ e sinonimo di (−4, 2), o di {−4 < x < 2}. Sta a voi scegliere qual ´ e il modo pi´ u semplice di rappresentare l’intervallo!. Non ´ e superfluo notare che nella scrittura |x + 1| < 5 l’intorno ´ e centrato intorno al valore x = −1 (come se fosse |x − (−1)| < 2), mentre nella scrittura |x| < 2 l’intorno ´ e centrato intorno al valore x = 0 (come se fosse |x − 0| < 2). In maniera pi´ u astratta possiamo considerare, sull’asse delle ascisse,un intervallo di larghezza δ in- torno al valore x

0

scrivendo |x − x

0

| < δ (intendendo x

0

− δ < x < x

0

+ δ), oppure un intervallo sull’asse delle ordinate centrato intorno al valore y = ` di larghezza ε scrivendo |y − `| < ε o anche |f (x) − `| < ε (intendendo con questo ` − ε < f (x) < ` + ε).

2 L’idea di limite

L’idea da associare al concetto di limite ´ e la seguente: quanto pi´ u sull’asse x si considerano intervalli via via decrescenti centrati intorno ad un valore x

0

(|x − x

0

| → 0) tanto pi´ u i valori della funzione f (x) si stringono intorno ad un determinato valore ` che chiamiamo limite della funzione (cio´ e

|f (x) − `| → 0).

3 La definizione di limite di una funzione 4 Teoremi sui limiti

Teorema 1 (di unicit´ a del limite) Se una funzione f (x) ammette limite finito ` per x → x

0

allora questo limite ´ e unico.

1

(2)

Proof : la dimostrazione di questo teorema (come in genere di tutti i teo- remi di unicit´ a) ´ e fatta per assurdo . L’idea ´ e quella di negare la tesi (...

supponiamo per assurdo che...) dimostrando che le implicazioni di ci´ o sono false o assurde o in contrasto con le ipotesi del teorema.

Detto ci´ o cerchiamo di distinguere quali sono le ipotesi e quale la tesi del teorema:

IPOTESI :

x→x

lim

0

f (x) = `

TESI : ` ´ e unico.

Supponiamo per assurdo che i limiti siano 2, `

1

, `

2

. Dalla definizione di limite dovrebbe risultare contemporaneamente che:

(

|f (x) − `

1

| < ε

|f (x) − `

2

| < ε in altre parole

(

`

1

− ε < f (x) < `

1

+ ε

`

2

− ε < f (x) < `

2

+ ε

La scelta di ε ´ e arbitraria per cui prendiamo un valore ad ”hoc”: ε =

`2−`2 1

. Sostituendo ε all’interno di quel sistema di disequazioni si ha:

(

`

1

− (

`2−`2 1

) < f (x) < `

1

+ (

`2−`2 1

)

`

2

− (

`2−`2 1

) < f (x) < `

2

+ (

`2−`2 1

) cio´ e

( 3`

1−`2

2

< f (x) <

`1+`2 2

`1+`2

2

< f (x) <

3`22−`1

f (x) non pu´ o risultare contemporaneamente maggiore e minore di

`1+`2 2

quindi quella catena di disuguaglianze ´ e assurda e dunque il limite deve risultare per forza di cose unico (c.v.d).

Teorema 2 (della permanenza del segno) Se una funzione f (x) am- mette limite finito ` 6= 0 per x → x

0

allora esiste almeno un intorno di x

0

in corrispondenza ai cui valori la funzione assume lo stesso segno del limite.

Proof : la dimostrazione di questo teorema ´ e molto semplice. Al solito, individuiamo prima ipotesi e tesi:

IPOTESI :

x→x

lim

0

f (x) = ` 6= 0

TESI : in un opportuno intorno di x

0

risulta f (x) > 0 se ` > 0 (o viceversa f (x) < 0 se ` < 0)

Dalla definizione di limite, in un opportuno intorno di x

0

, risulta che

|f (x) − `| < ε ovvero ` − ε < f (x) < ` + ε. La scelta di ε ´e arbitraria per cui scegliamo un valore ad ”hoc”: ε = |`|. Dobbiamo distinguere il caso in cui ` > 0 dal caso in cui ` < 0.

Caso ` > 0 : risulta semplicemente che ` − ` < f (x) < ` + ` ovvero

2

(3)

0 < f (x) < 2`. Questa disuguaglianza dice che sicuramente f (x) > 0.

Caso ` < 0 : risulta semplicemente che ` − (−`) < f (x) < ` + (−`) ovvero 2` < f (x) < 0. Questa disuguaglianza dice che sicuramente f (x) < 0 (c.v.d.).

Teorema 3 (del confronto) Siano f (x), g(x), h(x) tre funzioni definite nello stesso intervallo e tali che: f (x) ≤ g(x) ≤ h(x). Se risulta che:

x→x

lim

0

f (x) = `

x→x

lim

0

h(x) = ` Allora esiste anche il limite di g(x) e vale:

x→x

lim

0

g(x) = `

Proof : la dimostrazione di questo teorema si basa ancora sulla definizione di limite.

Distinguiamo le ipotesi dalla tesi:

IPOTESI :

1. f, g, h sono definite nello stesso intervallo D;

2. f (x) ≤ g(x) ≤ h(x);

3. (a)

x→x

lim

0

f (x) = ` (b)

x→x

lim

0

h(x) = ` TESI :

x→x

lim

0

g(x) = `

Dalla definizione di limite risulta che:

(

` − ε < f (x) < ` + ε

` − ε < h(x) < ` + ε

Tenuto conto della seconda ipotesi si pu´ o scrivere anche:

` − ε < f (x) ≤ h(x) < ` + ε A maggior ragione, dunque:

` − ε < f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) < ` + ε In altre parole abbiamo scoperto che:

` − ε < g(x) < ` + ε che ´ e proprio la definizione di limite per la funzione g(x) (c.v.d.)

3

(4)

Teorema 4 (della somma (o differenza)) Il limite della somma (o della differenza) di due funzioni ´ e uguale alla somma (o differenza) dei limiti:

x→x

lim

0

[f (x) + g(x) − h(x)] = lim

x→x0

f (x) + lim

x→x0

g(x) − lim

x→x0

h(x)

(Senza dimostrazione)

Teorema 5 (del prodotto) Il limite del prodotto di due funzioni ´ e uguale al prodotto dei limiti:

x→x

lim

0

[f (x) · g(x)] = lim

x→x0

f (x) · lim

x→x0

g(x) (Senza dimostrazione)

Teorema 6 (del quoziente) Il limite del quoziente di due funzioni ´ e uguale al quoziente dei limiti (supposto che il limite della funzione divisore non sia nullo):

x→x

lim

0

f (x)

g(x) = lim

x→x0

f (x) lim

x→x0

g(x) (Senza dimostrazione)

4

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