Vettori geometrici – – Rette nel piano Rette nel piano

Esercitazione

Esercitazione N.3 N.3

28 marzo 28 marzo 2007 2007

Vettori geometrici

Vettori geometrici – – Rette nel piano Rette nel piano

„„

Lo spazio Lo spazio vettoriale vettoriale dei dei vettori vettori liberi liberi del piano (risp.spazio del piano ( risp.spazio) )

„

Prodotto scalare – vettoriale - misto

„

Vettore proiezioni ortogonale

ƒ Rette nel piano: rappresentazione parametrica e cartesiana

ƒ Fasci di rette

OPERAZIONI TRA VETTORI (LIBERI)

v vettore libero vettore applicato P-0 punto P (a,b,c)∈R³

0 v P

O

u O

u+v v

u u 1.SOMMA DI VETTORI

2u

2u

−1

2. MOLTIPLICAZIONE DI UN VETTORE PER UNO SCALARE (NUMERO REALE)

P-O è un rappresentante della classe di equivalenza di v modulo l’equipollenza

u⋅v = a1b1+a2b2 u⋅v=|u| |v|cos uv

u⋅v = a1b₁+a₂b₂+ a₃ b3 (u,v ≠0)

ORTOGONALITA’ :

v

u

3.PRODOTTO SCALARE DI VETTORI

θ= u v

numero u=( a1, a2) , v= (b1, b2)

nel piano

u=( a1, a2, a3) , v= (b1, b2, b3 ) nello spazio

u⋅v =0 ⇔ u ⊥ v

∀ u≠ 0, ∀ v ≠ 0

uxv = (a2b3-a3b2, a3b1-a1b3, a1b2-a2b1)

• direzione ⊥ u, v

uxv • verso t.c. u, v, uxv formino terna dx v

u v

4.PRODOTTO VETTORIALE DI VETTORI

u=( a₁, a₂, a₃)

v=( b₁, b₂, b₃ ) nello spazio

Minori a segno alterno della matrice

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

3 2 1

3 2 1

b b b

a a a vettore

u uxv

vxu

PARALLELISMO :

u⋅vxw =

3 2 1

3 2 1

3 2 1

c c c

b b b

a a a

COMPLANARITA’ :

uxv =0 ( vettore nullo) ⇔ u // v

∀ u≠ 0, ∀ v ≠ 0

5.PRODOTTO MISTO DI VETTORI

prima operazione da eseguire

numero

u=( a₁, a₂, a₃) v=( b₁, b₂, b₃ ) w=( c₁, c₂, c₃ ) nello spazio

u⋅vxw =0 ⇔ u, v, w complanari

∀ u≠ 0, v ≠ 0, w≠ 0

ESERCIZIO1.

Vettori

Siano dati in R ³ u= (1,1,1) e v=(2,1,1).

a) Trovare un vettore non nullo ortogonale ad u-2v

b) Trovare tutti i vettori di modulo 2 ortogonali ad u e a v c) Ci sono valori reali di λ per i quali w=( 0,λ,-1) sia complanare con u e v ?

a) u= (1,1,1) e v=(2,1,1) ⇒ u-2v= (1,1,1)+(-4,-2,-2) ⇒ u-2v= ( -3,-1,-1).

Sia r=(a,b,c) ⊥ u-2v allora (a,b,c)⋅( -3,-1,-1) =0 e quindi -3a-b-c=0. Un vettore r che soddisfa è ad esempio r=(0,1,-1).

b) un vettore ortogonale ad u e v è il prodotto vettoriale uxv, tutti gli altri sono vettori paralleli a uxv.

Determiniamo i minori a segno alterno della matrice

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

1 1 2

1 1

1 e otteniamo uxv = ( 0,1,-1).

Quanto vale il modulo di uxv? |uxv|= 0²+1² +(−1)² = 2. uxv non è il vettore cercato !

Quali sono le componenti dei vettori paralleli a uxv ?

I vettori paralleli ad uxv sono i vettori r del tipo λ(uxv) ⇒ r= λ ( 0,1,-1) = (0, λ, -λ) al variare di λ∈R .

Tra questi cerchiamo quelli di modulo 2 : | (0, λ, -λ)|= ^{02+λ2+(−λ)2 = 2λ2 = |λ| 2}.

Imponiamo la condizione |λ| ²= 2 e ricaviamo λ= ± ², da cui i due vettori cercati : (0, 2,- 2) e (0,- 2, 2).

c) u,v,w sono complanari ⇔ d(u,v,w)=0

⇔

1 0

1 1 2

1 1 1

λ − ⁼⁰ ⇔ -λ (-1) -1(-1) =0

⇔ λ=-1 unico valore cercato !

Osservazione

b) si può risolvere anche facendo uso del prodotto scalare con le due equazioni …

ESERCIZIO2.

Proprietà del prodotto scalare

Provare che un quadrilatero è un rombo se e solo se ha le

diagonali perpendicolari.

Calcoliamo (v+u)⋅(v-u) usando le proprietà del prodotto scalare : (v+u)⋅(v-u) = v⋅v + u⋅v + v ⋅ (-u) +u⋅(-u) ( propr. distr.) = |v|² + u⋅v - v⋅u - |u|² ( linearità) = |v|² - |u|² ( simm.)

Da (v+u)⋅(v-u)= |v|² - |u|² deduciamo che:

¾ |v|=|u| ⇒ (v+u)⋅(v-u) =0 -u

v u

v-u v+u

La tesi diventa quindi la seguente:

|u| = |v| ⇔ (v+u)⋅(v-u) = 0

ESERCIZIO3.

Il vettore proiezione ortogonale di un vettore su un altro

a) Nel piano R² siano u=(2,2) e v=(3,-1).

Determinare il vettore prv(u) (proiezione ortogonale di u su v).

Nello spazio R³ siano u=(0,1,3) , v= (-1,0,1).

b) Determinare il vettore prv(u) (proiezione ortogonale di u su v) c) Determinare un vettore parallelo ad u la cui proiezione su v sia

un vettore di modulo uno. Ce n’è uno solo ?

u=(2,2), v=(3,-1) ⇒ prv(u) = vers(v)

| v

| v u⋅

= vers(v) 10 4

=

10 v 10 4

4 u⋅v

x O

v u

θ= u v

a) pr_v(u) = vers(v) y

| v

| v u⋅

= vers(v)

| v

|

cos(uv)

| v

|

| u

|

= |u| cos (uv) vers(v)

[ vers(v) =

| v

| v ]

b)

c) vettore w // u t.c. | pr_v(w) | = 1 w = t u = t (0,1,3) , t ∈R

prv(w) = v

| v

| v w

2

⋅

= ( 1,0,1)

2 1,0,1) ( t,3t)

(0, ⋅ − −

= ( 1,0,1) 2

3t − [ |λ v| = |λ| |v| ]

⇒ |prv(w)| = 2 2

| t

|

3

⇒ ^3|₂^{t| 2}=1 ⇒ t =^± ₃²

⇒ w = t (0,1,3) = 3

± 2 (0,1,3) : due vettori di modulo 1 !!

v

u z

O

x y

U=(0,1,3), V=(-1,0,1) prv(u) = _|^u_v|^v2^v

⋅

= v 2 3

= ( -3/2,0,3/2)

modulo del vettore λv Modulo = val.ass.

del numero λ

ESERCIZIO4.

RETTE NEL PIANO: RAPPRESENTAZIONE PARAMETRICA

a) Stabilire se i tre punti A(1,2), B(0,4), C(4,-4) sono allineati.

b) Determinare una rappresentazione parametrica della retta r passante per A e B.

c) Dire se il punto Q(5,7) appartiene a r.

a) Sappiamo che dati tre punti A,B,C nel piano o nello spazio le seguenti condizioni sono equivalenti:

1. i tre punti A, B, C sono allineati 2. (B-A)x(C-A) =0

3. (B-A) = t(C-A) per qualche t∈R

Nel nostro caso B-A = (-1,2), C-A= (3,-6) quindi t=-1/3 rende vera la 3. I due vettori sono proporzionali e quindi paralleli e i tre pti A,B,C sono allineati.

In modo più scomodo, ma corretto, si può verificare la 2. ossia (B-A)x(C-A) =0^(*), ma occorre fare attenzione che il prodotto

vettoriale è definito nello spazio e quindi la terza coordinata dei nostri vettori (per ipotesi vettori del piano) va posta uguale a

zero: ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−

−

0 6 3

0 2

1 . I minori a segno alterno sono: 0,0,0 e quindi

(B-A)x(C-A)=(0,0,0).

(*) 0 è qui il vettore nullo = (0,0,0)

C

A

B

b) Una rappresentazione in forma parametrica (vettoriale) della retta r è P-A = t (B-A) , dove A e B sono due pti distinti del pia- no, P=(x,y) è il pto ′corrente′ ( generico) della retta r e t è il parametro reale.

⎩⎨⎧

− +

=

− +

=

) a t(b a y

) a t(b a x

2 2 2

1 1 1

Nel nostro caso si avrà quindi:

r: ⎩⎨⎧ +

=

− +

=

) 2 t(

2 y

1) t(

1

x ossia r:

⎩⎨

⎧ +

=

−

= t 2 2 y

t 1

x con t∈R.

Per t=0 si ha il pto A, per t=1 si ha il pto B, per t=-3 si ha il pto C, assegnando a t valori reali si ottengono gli infiniti pti di r .

c) Q(5,7)∈r ⇔ ∃ t∈R tale che

⎩⎨

⎧ +

=

−

= t 2 2 7

t 1

5 .

Dalla prima equazione ricaviamo t=-4 , che sostituito nella se- conda equazione, dà un assurdo: 7= -6 ⇒ Q∉ r .

P r A B

Pto della retta

Vettore direzionale della retta

ESERCIZIO5.

Rette nel piano: confronto

Dire se le seguenti coppie di rette coincidono:

a) r:

⎩⎨

⎧ +

=

−

= 2 t y

2 t

x s:

⎩⎨

⎧

−

= +

= 2 t y

2 t

x t∈R

b) r:

⎩⎨

⎧

−

=

= t 1 y

t

x s:

⎩⎨

⎧

−

−

= +

= 1 t y

2 t

x t∈R

a) r ed s hanno lo stesso vettore direzionale (1,1) dunque sono parallele. Prendiamo P(-2,2) ∈ r ( proviene dal valore t=0 ) e vediamo se sta su s : deve esistere t ∈ R t.c.

⎩⎨

⎧

−

= +

= 2 t 2

2 t 2

- , ossia

t.c.

⎩⎨

⎧

=

= t 4

t 4

- : assurdo ! Allora r non coincide con s.

b) In generale il problema può essere risolto ad esempio così : Il punto generico appartenente a r é (t,1-t), il punto generico appartenente a s é (λ+2,-λ-1) (nei problemi di intersezione si devono avere parametri di nome diverso ! ), risolviamo il siste- ma

⎩⎨

⎧

−

−

=

− +

=

1 λ t 1

2 λ

t che equivale al sistema

⎩⎨

⎧

−

−

= +

=

1 λ 1 - λ -

2 λ

t e, poi-

ché la seconda equazione é verificata ∀λ∈R, ne segue che esi- stono infiniti punti in comune fra r e s, quindi r coincide con s e la relazione t = λ+2 esprime il passaggio da una rappresen-

ESERCIZIO 6.

IL COEFFICIENTE ANGOLARE DI UNA RETTA

Determinare, se possibile, il coefficiente angolare delle seguenti rette:

a) 3x-2y-1=0 b) y-4=0 c) x-2=0 d) ₃^{x = y}₋⁺₁² e)

⎩⎨

⎧

−

=

= 2t 1 y

t x

Il coefficiente angolare di una retta r è per def. tg(ir) che, per la periodicità π della funzione tangente, viene spesso semplicemente identificato con l’angolo orientato in senso antiorario che porta il semiasse positivo dell’asse x a sovrapporsi con la retta r . Esiste quindi per tutte le rette ad eccezione di quelle parallele all’asse y.

Se rappresentiamo ad es. la retta nella forma y=mx+q, determiniamo il coefficiente angolare m .

a) 3x-2y-1=0 ⇒ y= 3/2 x – 1/2 ⇒ m=3/2 ( m= b

− a₎

b) y-4=0 ⇒ y=4 ⇒ m=0

c) x-2=0 : m non esiste , la retta è parallela all’asse y d) ₃^{x = y}₋⁺₁² ⇒un vettore dir. di r è (l1 ,l2)=( 3,-1) ed è m=

1 2

l l

=-1/3

e) ⎩⎨⎧

−

=

= 2t 1 y

t

x . Un vettore direzionale di r è (l₁ ,l₂)= (1,-2) ed è

m= 1 2

l l =-2

ESERCIZIO7.

Fasci di rette

Nel fascio di rette φ: λ(x+2)+μ (3y-5)=0 determinare,se esistono:

a) la retta di cui (2,1) è un vettore direzionale b) la retta parallela all’asse x

c) la retta parallela all’asse y

d) il punto comune a tutte le rette del fascio e) la retta perpendicolare alla retta s: x-2y+1=0.

a) N=(a,b) è un vettore normale ad r, (-b,a) è un vettore direzionale di r

φ:λx +μ3y+(2λ-5μ)=0 , da cui a=λ,b= 3μe quindi un vettore direzio- nale della generica retta del fascio è u=(-3μ,λ).

u=(-3μ,λ)=(2,1)⇒λ=1,μ=-2/3⇒ r:x+2- 3

2 (3y-5)=0...

b)φ:λ(x+2)+μ(3y-5)=0, rettaparallela all’asse x è x+2=0 (λ=1,μ=0) c) retta parallela all’asse y : 3Y-5=0 (λ=0,μ=1)

d) pto comune alle rette del fascio è l’intersezione tra le rette x+2=0 e 3y-5 =0 , quindi P ( -2, 5/3 )

e) la retta di φperpendicolare alla retta s: x-2y+1=0 ms = b

− a ₌ 2 1 ; r⊥s ⇔ mr ms +1 =0 ⇒ mr = -2 ⇒ μ

λ

−3 _=-2 ⇒ λ=6, μ=1⇒ la retta è 6(X+2)+(3Y-5)=0

r: ax+by+c=0