Mineralogia e costituenti delle rocce con laboratorio

Guida al Corso di

Mineralogia e costituenti delle rocce con laboratorio

(Lezioni dettate dal Prof. Antonino Lo Giudice)

Anno Accademico 2009-10

1

Alcune delle figure presenti nel testo sono state tratte da siti web. A tutti gli Autori, anche

Indice

Prefazione al corso. Pag. 2

I costituenti delle rocce " 3

Caratteri strutturali e morfologici dei minerali " 5

Considerazioni sui reticoli cristallini " 10

Introduzione strutturale alla cristallografia morfologica " 11

Cristallografia morfologica " 15

Cristallografia strutturale " 23

Richiami sui caratteri generali delle onde luminose " 24

La cristallografia X " 33

Applicazioni della cristallografia X " 42

Ottica Cristallografica " 46

Caratteristiche ottiche generali dei minerali " 46

Birifrangenza e segno ottico dei minerali " 52

Le indicatrici ottiche " 54

Definizione e costruzione delle indicatrici ottiche " 54 Forme e geometria delle indicatrici ottiche " 56 Orientazione delle Indicatrici Ottiche nei minerali " 59

Osservazioni ottiche sui minerali " 65

Il Microscopio da mineralogia " 66

I diversi tipi di osservazione al microscopio " 68 Osservazioni a luce parallela (ortoscopica) e ad un solo polaroide " 68 Osservazioni a luce parallela e a due polaroidi (Nicol’s incrociati) " 77

Riflessioni sull’equazione del ritardo e informazioni deducibili

dall’osservazione dei colori d’interferenza " 82

Riflessioni sulle posizioni d’estinzione " 85

I compensatori " 90

Osservazioni a luce convergente (conoscopica) e a due polaroidi (Nicol’s

incrociati) " 95

Figure d’interferenza dei minerali birifrangenti uniassici (dimetrici) " 96 Figure d’interferenza dei minerali birifrangenti biassici (trimetrici) " 100 Determinazione del segno ottico nei minerali uniassici e biassici " 104 Riconoscimento al microscopio delle principali fasi minerali costituenti le rocce " 108

Cristallochimica dei minerali " 128

I minerali e le loro strutture cristalline " 128

Le regole di Pauling " 131

Isomorfismo " 137

I tipi di isomorfismo " 141

Caratteristiche generali della cristallizzazione delle miscele isomorfe " 144

Polimorfismo " 157

I tipi di polimorfismo " 160

Rassegna dei principali minerali costituenti le rocce " 165

I silicati " 165

Nesosilicati " 170

Sorosilicati " 173

Inosilicati " 174

Fillosilicati " 182

Tectosilicati " 190

Carbonati, solfati, fosfati, alogenuri, solfuri, ossidi e idrossidi, elementi

nativi " 200

Appendice " 206

Peso specifico, Densità, Durezza, Suscettività magnetica, Piezoelettricità " 206

Le forme semplici nelle diverse classi dei diversi sistemi " 210

Ottica Cristallografica

Caratteristiche ottiche generali dei minerali

In questo capitolo dedicato all’ottica cristallografica tratteremo del comportamento dei minerali rispetto alle radiazioni luminose comprese nello spettro del visibile e delle fenomenologie che insorgono allorché essi vengono attraversati dalla luce.

Abbiamo già detto (cfr. pag. 27) che allorché un’onda luminosa, compresa nello spettro del visibile, penetra in un mezzo trasparente

, a causa del propagarsi in esso di onde con velocità diversa rispetto a quella caratterizzante il mezzo da cui la radiazione proviene, si realizza il fenomeno della rifrazione. In relazione a ciò nel mezzo considerato si avrà il propagarsi di un’onda rifratta la cui direzione di propagazione sarà, in generale, diversa da quella dell’onda incidente. Precisiamo subito che questo comportamento è proprio della materia che definiremo otticamente isotropa. Nella materia anisotropa avremo comportamenti diversi da quelli che comunemente siamo abituati ad osservare.

Dal punto di vista ottico la materia solida cristallina presenta caratteristiche di isotropia o anisotropia correlate alle caratteristiche del proprio reticolo cristallino. Poiché le caratteristiche del reticolo cristallino di tutti i minerali possono essere ricondotte alle caratteristiche essenziali dei tre gruppi cristallini a cui tutti i minerali sono riferibili, dovremo attenderci che il comportamento ottico di ciascun minerale sarà determinato dalla sua appartenenza ad uno specifico gruppo cristallino.

Diciamo subito che tutti i minerali caratterizzati da un reticolo di tipo monometrico (cristalli del gruppo monometrico – sistema monometrico) sono otticamente isotropi; tutti i minerali caratterizzati da un reticolo di tipo dimetrico (cristalli del gruppo dimetrico – sistema tetragonale, trigonale (o romboedrico) ed esagonale) o trimetrico (cristalli del gruppo trimetrico – sistema rombico, monoclino e triclino) sono otticamente anisotropi.

In relazione a quanto detto dovremo attenderci che tutti i minerali monometrici trasparenti (che si lasciano attraversare dalla luce) mostreranno fenomeni e comportamenti analoghi a quelli con cui siamo soliti confrontarci per le sostanze isotrope (rifrazione) mentre i minerali del gruppo dimetrico e trimetrico ostenteranno comportamenti che comunemente non siamo abituati ad osservare.

Possiamo verificare quanto detto con la seguente semplice esperienza.

Inviamo un fascio di radiazioni luminose fra loro parallele di tipo naturale (non polarizzata) su un minerale monometrico e trasparente (sostanza solida otticamente isotropa) e supponiamo, per semplicità, di trovarci in condizioni di incidenza normale (cfr. pag. 28): il fenomeno della rifrazione produrrà il propagarsi, all’interno del minerale, di un’onda, caratterizzata da una diversa velocità di propagazione, che manterrà la medesima direzione di propagazione. Se raccogliamo l’immagine di detto fascio su uno schermo vedremo un punto illuminato dato dall’intersezione del fascio luminoso con la superficie dello schermo (Figura 56a). Se ripetiamo l’esperimento inviando il fascio su un minerale trasparente del gruppo dimetrico (anisotropo) noteremo che sullo schermo raccoglieremo l’immagine di due punti luminosi distinti, che, analogamente a quanto detto precedentemente, saranno dati dall’intersezione di due distinti fasci luminosi con la superficie dello schermo (Figura 56b). Dal momento che il minerale è stato investito da un singolo fascio di radiazioni e sullo schermo raccogliamo l’immagine di due fasci distinti appare evidente concludere che all’interno del cristallo si è realizzato il propagarsi di due fasci di onde fra loro distinti.

39 Ai nostri fini diremo che un minerale è trasparente quando si lascia attraversare dalle radiazioni luminose almeno per uno spessore di circa 25 µ. Lo spessore di 25 µ viene fissato sulla base di quello medio a cui vengono portate le

“sezioni sottili" di rocce e minerali per le osservazioni ottiche in trasparenza.

Figura 56a Figura 56b Figura 56c

Diremo che il fascio luminoso nell’attraversare il minerale anisotropo del gruppo dimetrico ha subito una doppia rifrazione cioè all’interno del minerale si sono propagate due onde rifratte ciascuna caratterizzata da una propria velocità v

_e v

e pertanto da indici di rifrazione diversi n

e n

. Dalla figura 56b si può notare che mentre uno dei due raggi rifratti prosegue all’interno del cristallo secondo la legge dell’incidenza normale (cioè analogamente a quanto avviene per l’unico raggio rifratto per il minerale isotropo) il secondo essendo distinto dal primo non segue la suddetta legge. Chiameremo raggio ordinario il raggio rifratto che segue il comportamento dei raggi rifratti nei mezzi isotropi; chiameremo raggio straordinario il raggio che non segue il comportamento dei raggi rifratti nei mezzi isotropi. Si può notare che se facciamo ruotare il minerale intorno alla direzione di propagazione dei raggi incidenti si avrà una contestuale rotazione del punto immagine del raggio straordinario intorno al punto immagine del raggio ordinario (Figura 56c).

Se immaginiamo di ripetere l’esperienza sopra fatta utilizzando un minerale trasparente del gruppo trimetrico (anisotropo) noteremo che sullo schermo raccoglieremo ancora l’immagine di due punti luminosi distinti, che saranno dati, anche in questo caso, dall’intersezione di due distinti fasci luminosi con la superficie dello schermo (Figura 57a). Anche in questo caso allora diremo che il

Figura 57a Figura 57b

fascio luminoso nell’attraversare il minerale anisotropo del gruppo trimetrico ha subito una doppia rifrazione ed ancora una volta potremo concludere che all’interno del cristallo si è realizzato il propagarsi di due fasci di onde rifratte fra loro distinti e tali che ciascuno di essi sia caratterizzato da una propria velocità v

_e v

e pertanto da indici di rifrazione diversi n

e n

; noteremo parimenti che nessuno dei due raggi rifratti prosegue all’interno del cristallo secondo la legge dell’incidenza normale e pertanto entrambi sono raggi straordinari.

Se, come nel caso del minerale dimetrico, facciamo ruotare il minerale intorno alla direzione di propagazione dei raggi incidenti si avrà una contestuale rotazione di entrambi i punti immagine dei due raggi straordinari intorno al loro punto mediano (Figura 57b).

Da quanto detto possiamo trarre una prima conclusione e precisamente: tutti i minerali del gruppo

dimetrico e trimetrico danno luogo al fenomeno della doppia rifrazione e pertanto, anche se i

due raggi rifratti hanno, come visto, carattere diverso, li chiameremo birifrangenti e li

distingueremo dai minerali del gruppo monometrico che chiameremo monorifrangenti dal

momento che danno luogo ai comuni fenomeni di rifrazione e non presentano la doppia rifrazione.

Vedremo subito che quanto sino ad ora descritto non rappresenta la sola peculiarità dei minerali otticamente anisotropi (dimetrici e trimetrici). Possiamo infatti porci la domanda: i raggi birifratti sono dello stesso tipo dei raggi incidenti (radiazioni di tipo naturale non polarizzate) o contemporaneamente alla doppia rifrazione si sono verificati fenomeni di polarizzazione? Per rispondere a questa domanda occorre indagare sulla natura dei suddetti raggi e dal momento che, come detto, il nostro occhio non percepisce la differenza fra radiazioni polarizzate e non polarizzate occorre fare riferimento a metodi indiretti d’indagine. Lo strumento principe per analizzare la natura polarizzata o meno di una radiazione luminosa è il polaroide. Un polaroide infatti consente il passaggio “indisturbato” solo delle radiazioni polarizzate che vibrano sul medesimo piano di vibrazione della luce da lui fornita ed estingue (non ne consente il passaggio) tutte le radiazioni polarizzate che vibrano su un piano ortogonale a quello di vibrazione della luce da lui fornita. Al di fuori di queste situazioni estreme ed opposte una radiazione potrà attraversare “attenuata” un polaroide il cui piano di vibrazione della luce da lui fornita formi un angolo α con la direzione di vibrazione della luce polarizzata incidente: tale “attenuazione” è tanto maggiore quanto più detto angolo α è prossimo a 90° e tanto minore quanto più α è prossimo a 0°. In altre parole l’intensità della radiazione emergente dal polaroide varia al variare dell’orientazione reciproca fra il piano di vibrazione della luce polarizzata incidente su di esso e quello della luce polarizzata da esso emergente, passando da un valore minimo pari a 0 ad un valore massimo pari all’intensità della radiazione incidente

.

Detto quanto sopra, cerchiamo adesso di rispondere alla domanda che ci siamo posti: i raggi birifratti da un minerale sono dello stesso tipo dei raggi incidenti o contemporaneamente alla doppia

40 Se indichiamo con I₀ l’intensità della radiazione incidente sul polaroide ed I l’intensità della radiazione polarizzata emergente dal polaroide si ha : I = I₀cosα. La Figura 58 spiega in forma vettoriale quanto detto.

Figura 58

P-P’ = direzione di vibrazione della luce polarizzata fornita dal polaroide;

I-I’ = direzione di vibrazione della luce polarizzata incidente;

α = angolo formato fra P-P’ e I-I’;

I₀ = Intensità della radiazione polarizzata incidente;

I = componente “attenuata” di I0 che emergerà dal polaroide.

Se α = 0° si ha cosα = 1 ed I = I₀ (intensità massima);

Se α = 90° si ha cosα = 0 ed I = 0 (intensità minima nulla);

È evidente che una radiazione non polarizzata incidente su un polaroide passerà sempre attraverso di esso ed avrà intensità costante indipendentemente dalla posizione che potrebbe assumere il piano di vibrazione della luce da esso fornita.

Le Figure 59 a e b esemplificano compiutamente quanto sin qui detto.

Figura 59a Figura 59b

rifrazione si sono verificati fenomeni di polarizzazione? Per rispondere alla questione posta basterà posporre un polaroide al cammino dei raggi birifratti da un minerale e quindi osservare il comportamento delle onde che da esso ne emergono al variare della posizione del piano di vibrazione delle onde che gli è caratteristico intorno alla direzione dei raggi su esso incidenti. La figura 60 schematizza l’esperienza proposta.

Si potrà osservare che:

- l’intensità dei punti immagine dei raggi birifratti varierà al ruotare del polaroide intorno alla direzione dei raggi incidenti;

- tale variazione d’intensità si esplica fra un valore massimo ed uno minimo eguale a 0 (non si raccoglie l’immagine del raggio):

- tale variazione avviene in modo antitetico per i due punti immagine;

- i valori delle intensità massime e minime dei due punti immagine si realizzano ad eguali intervalli angolari di rotazione del piano di vibrazione proprio del polaroide pari a 90°

La figura 60 schematizza i risultati dell’esperienza proposta.

Figura 60a

Figura 60b Figura 60c

Figura 60a: L’intensità di un punto immagine è massima mentre l’altra è minima (il punto non si vede).

Figura 60b: L’intensità dei due punti immagine è intermedia fra la massima e la minima (i due punti si vedono). Figura 60c: L’intensità del punto immagine che nella Figura 60a era massima è diventata minima (l’immagine non si vede); La rotazione del polaroide dalla posizione rappresentata dalla Figura 60a a quella rappresentata dalla Figura 60c è stata di 90°.

Questa esperienza ci permette di affermare:

- le due onde birifratte non sono più di tipo naturale (non polarizzate) ma sono divenute polarizzate;

- Le due onde birifratte polarizzate vibrano su piani diversi e fra loro ortogonali.

Si segnala che i risultati dell’esperienza proposta per la verifica della natura (polarizzata o meno) delle onde birifratte è identico sia nel caso che si utilizzi un minerale del gruppo dimetrico sia che si utilizzi un minerale del gruppo trimetrico.

Quanto sino ad ora esposto ci consente di dire che “allorché un’onda luminosa (raggio di luce dello spettro del visibile) penetra in seno ad un minerale del gruppo dimetrico o del gruppo trimetrico esso subisce, ad opera del minerale, il fenomeno della birifrazione. Tale fenomeno consiste nell’insorgenza, per ciascun raggio incidente sul minerale, di due raggi rifratti nel minerale (caratterizzati da diverse velocità di propagazione v

_e v

e diversi indici di rifrazione n

e n

) fra loro polarizzati ortogonalmente

(cioè vibranti su piani diversi e fra loro ortogonali)”.

È indispensabile a questo punto chiedersi come il fenomeno della birifrazione si esplica nello specifico per ciascun cristallo al variare della direzione di propagazione delle onde luminose

41 Si richiama l’attenzione dello studente sul fatto che la polarizzazione delle onde birifratte non è un fenomeno disgiunto dalla doppia rifrazione ma avviene contemporaneamente ad esso: non avviene polarizzazione se non avviene birifrazione; non si ha birifrazione senza polarizzazione.

rispetto al minerale

. L’esperienza ci insegna (e di ciò può essere data una trattazione fisica rigorosa) che le caratteristiche delle onde birifratte nei minerali variano al variare della direzione d’incidenza delle radiazioni luminose che lo investono. Tale variazione di comportamento per i minerali dimetrici è diverso da quello mostrato dai minerali trimetrici.

Minerali dimetrici: abbiamo già detto che nei minerali dimetrici una delle due onde birifratte ha carattere ordinario mentre l’altra ha carattere straordinario. Orbene se immaginiamo di fare investire il cristallo da radiazioni luminose comunque orientate rispetto al cristallo

noteremo che per ciascuna direzione d’incidenza avremmo sempre due onde birifratte con velocità di propagazione nel minerale diverse fra loro ( v

o

e v

s

) ma che per tutte le infinite possibili coppie di onde birifratte si avrà che v

rimane costante al variare della direzione d’incidenza dei raggi sul minerale mentre v

varia al variare della direzione d’incidenza dei raggi sul minerale. Poiché ad ogni valore di v

corrisponde un valore di n potremo dire che quale che sia la direzione d’incidenza delle radiazioni luminose sul minerale avremo che in esso insorgeranno due onde birifratte, una a carattere ordinario caratterizzata da una v

costante e pertanto da un indice di rifrazione costante che chiameremo ω ed una a carattere straordinario caratterizzata da una v

variabile e pertanto da un indice di rifrazione variabile che chiameremo ε’. Si rileva parimenti che poiché la velocità di propagazione della luce in un minerale è una proprietà fisica vettoriale a variazione continua avremo che v

potrà variare entro un intervallo finito di cui v

rappresenta uno degli estremi (se v

è l’estremo superiore di questo intervallo avremo che v

_< v

; se viceversa v

è l’estremo inferiore di questo intervallo avremo che

v

_> v

). Ne consegue che per ogni direzione d’incidenza delle onde luminose su un minerale in esso si propagheranno due onde caratterizzate da indici di rifrazioni diversi fra loro (ω ed ε’) e che ε’ potrà variare entro un intervallo finito di cui ω rappresenta uno degli estremi (se ω è l’estremo superiore di questo intervallo avremo che ε’ < ω; se viceversa ω è l’estremo inferiore di questo intervallo avremo che ε’ > ω); chiameremo ε l’indice di rifrazione che determina il secondo estremo (≠ da ω) di detto intervallo di variazione: pertanto ε sarà, fra tutti i possibili indici di rifrazione del minerale, l’indice di variazione massimamente diverso da ω .

Da quanto detto potremo quindi, al momento, affermare che un minerale dimetrico (diversamente dalle sostanze isotrope e dai minerali monometrici) presenta infiniti indici di rifrazione tutti compresi nell’intervallo ε − ε − ε − ε − ω ω ω ω; parimenti in generale ogni sezione di un minerale dimetrico presenta due specifici indici di rifrazione εεεε ’ ed ω ω ω. ω

Minerali trimetrici: abbiamo già detto che nei minerali trimetrici entrambe le onde birifratte hanno carattere straordinario.

Se immaginiamo di fare investire il cristallo da radiazioni luminose comunque orientate rispetto al cristallo noteremo che per ciascuna direzione d’incidenza avremmo sempre due onde birifratte con velocità di propagazione nel minerale diverse fra loro ( v

_e v

) e che per tutte le infinite possibili coppie di onde birifratte tali velocità variano al variare della direzione d’incidenza dei raggi sul

42 Variare la direzione di propagazione delle onde luminose rispetto al minerale significa che esse investono la materia ordinata nel reticolo cristallino del minerale secondo direzioni diverse incontrando, pertanto, proprietà fisiche diverse.

43 Sarà visto in seguito che le osservazioni ottiche sui minerali vengono fatte su loro sezioni; pertanto considerare direzioni di propagazioni dei raggi incidenti diversamente orientate rispetto al minerale equivale a dire di considerare diverse sezioni del minerale investite nel medesimo modo (ad es. incidenza normale) da parte delle radiazioni luminose.

minerale. Poiché ad ogni valore di v corrisponde un valore di n potremo dire che quale che sia la direzione d’incidenza delle radiazioni luminose sul minerale avremo che in esso insorgeranno due onde birifratte, entrambe a carattere straordinario caratterizzate da velocità diverse e variabili e pertanto da indici di rifrazione diversi e variabili che chiameremo genericamente α’ e γ’. Anche in questo caso poiché la velocità di propagazione della luce in un minerale è una proprietà fisica vettoriale a variazione continua avremo che v

potrà variare entro un intervallo finito di cui v

_e v

rappresenteranno rispettivamente gli estremi superiore ed inferiore di questo intervallo.

Ne consegue che per ogni direzione d’incidenza delle onde luminose su un minerale trimetrico in esso si propagheranno due onde straordinarie caratterizzate da indici di rifrazioni diversi fra loro (α’

e γ’) e che entrambi detti indici potranno variare entro un intervallo finito i cui estremi indicheremo con α e γ, dove α e γ sono rispettivamente l’estremo inferiore e l’estremo superiore di questo intervallo.

Da quanto detto potremo quindi, al momento, affermare che un minerale trimetrico (diversamente dalle sostanze isotrope, dai minerali monometrici e da quelli dimetrici) presenta infiniti indici di rifrazione tutti compresi nell’intervallo αααα − − − − γγγγ; parimenti in generale ogni sezione di un minerale dimetrico presenta due specifici indici di rifrazione αααα ’ e γγγγ ’.

Da quanto detto sinora scaturisce che tutti i minerali del gruppo dimetrico e trimetrico sono birifrangenti. Occorre a questo punto chiederci: il fenomeno della birifrazione insorge sempre nei minerali birifrangenti? in altre parole considerate le infinite direzioni di propagazione che la luce incidente può assumere rispetto al minerale, a dette infinite direzioni corrisponderà sempre l’insorgenza del fenomeno della birifrazione? oppure: esistono direzioni particolari d’incidenza della luce sul minerale per cui il fenomeno della birifrazione non avviene? o, ponendo la domanda con riferimento alle diverse sezioni di un minerale, tutte le sezioni di un minerale sono birifrangenti?

Rispondiamo al quesito posto affermando: il fenomeno della birifrazione nei minerali dimetrici e trimetrici ammette delle eccezioni e precisamente una sola eccezione nei minerali dimetrici, due eccezioni nei minerali trimetrici. In altre parole ciò vuol dire che nei minerali dimetrici esiste una ed una sola direzione di incidenza delle onde luminose rispetto al minerale per la quale non si realizzerà il fenomeno della birifrazione

; per i cristalli trimetrici di direzioni con tali caratteristiche ne esistono due e due sole. Se riproponiamo la sopra vista affermazione con riferimento alle infinte possibili sezioni di un minerale potremo dire che tutte le sezioni dei minerali dimetrici e trimetrici saranno birifrangenti (presentano il fenomeno della birifrazione) ad eccezione di una ed una soltanto per i cristalli dimetrici e di due e due soltanto per i cristalli trimetrici; tali sezioni presenteranno il fenomeno della rifrazione normale cioè saranno monorifrangenti e pertanto si comporteranno come mezzi otticamente isotropi. A ciascuna di tali particolari direzioni di propagazione delle onde luminose all’interno dei minerali per le quali esso, pur essendo birifrangente, si comporta da monorifrangente, attribuiamo il nome di “asse ottico”

.

Da quanto detto segue che i minerali del gruppo dimetrico sono “birifrangenti uniassici”

intendendo con detta dizione che essi presentano sempre il fenomeno della birifrazione, fatta eccezione per un’unica direzione, l’asse ottico, tale che se la luce li attraversa secondo tale direzione il minerale presenta il fenomeno della monorifrazione o rifrazione normale −−−− le onde che

44 Va ricordato e sottolineato immediatamente a questo proposito che in tale direzione particolare avviene il fenomeno della rifrazione normale: cioè si avrà per ciascun raggio incidente un solo raggio rifratto.

45 Lo studente ricordi (cfr. nota 41) che poiché non esiste birifrazione senza contemporanea polarizzazione le onde che si propagheranno nel minerale secondo la direzione dell’asse ottico non subiranno la polarizzazione.

si propagano lungo l’asse ottico hanno carattere ordinario. Parimenti diremo che i minerali del gruppo trimetrico sono “birifrangenti biassici” intendendo con detta dizione che essi presentano sempre il fenomeno della birifrazione fatta eccezione per due direzioni, gli assi ottici, tali che se la luce li attraversa secondo ciascuna di esse il minerale presenta il fenomeno della monorifrazione o

Figura 61

rifrazione normale −−−− le onde che si propagano lungo ciascuno degli assi ottici hanno carattere ordinario.

Considerato che i cristalli del gruppo trimetrico presentano due assi ottici (AO) distinti, essi giaceranno in un piano che viene chiamato “piano degli assi ottici”

(PAO) e formeranno coppie di angoli fra loro supplementari. Salvo il caso in cui gli assi ottici risultino fra loro ortogonali tali angoli saranno due acuti e due ottusi. Per convenzione si indica con 2V l’angolo acuto formato fra le direzioni degli assi ottici.

(cfr. figura 61).

Considerato che tanto i minerali del gruppo dimetrico che quelli del gruppo trimetrico presentano sezioni monorifrangenti (direzioni di monorifrangenza) dobbiamo chiederci quale sarà l’indice di rifrazione di dette sezioni.

Per i minerali dimetrici dato che per qualsiasi direzione di incidenza si hanno sempre nel minerale due onde di cui una a carattere ordinario ed indice di rifrazione costante ( ω ) è facile intuire che essendo la monorifrangenza il comportamento ordinario per eccellenza la sezione monorifrangente non potrà che avere indice ω

.

Per i minerali trimetrici, considerato che i caratteri ottici sono proprietà vettoriali a variazione continua, dovremo ammettere che detto indice si collochi necessariamente all’interno

dell’intervallo α −−−− γ escludendo che esso possa assumere il valore di uno degli estremi considerato che le onde con indice α o γ hanno carattere straordinario. In base a ciò dovremo ammettere che in seno agli infiniti indici di rifrazione possibili compresi nell’intervallo α −−−− γ ve ne sia uno ( ββββ ) che sarà relativo ad un’onda di tipo ordinario (appunto quella che si propaga lungo la direzione di ciascuno degli assi ottici). Da quanto sopra risulta anche αααα < ββββ < γγγγ .

Per quanto attiene la posizione degli assi ottici in seno ai minerali diciamo che mentre per quanto riguarda i minerali dimetrici essa è univocamente individuata dalla posizione dell’asse cristallografico delle z (asse c del reticolo cristallino), per quanto riguarda i cristalli del gruppo trimetrico la loro posizione, nonché quella del piano degli assi ottici, pur essendo in taluni casi prevedibile (vedi oltre) non è univocamente determinabile.

Birifrangenza e segno ottico dei minerali

Come si è già avuto modo di dire tutti i minerali del gruppo dimetrico e trimetrico presentano il fenomeno della birifrazione e ciascuna loro sezione manifesta tale fenomeno con l’insorgenza in essa di due onde birifratte caratterizzate da indici di rifrazioni differenti (ε’ ed ω nel caso dei cristalli dimetrici ed α’ e γ’ nel caso dei cristalli trimetrici). Appare evidente che essendo ε’, α’ e γ’

variabili per le diverse sezioni di un medesimo minerale il fenomeno della birifrazione si

46 Se così non fosse dovremmo pensare ad un altro indice di rifrazione relativo ad un’onda a comportamento ordinario:

ciò comporterebbe che:

- se tale indice si collocasse all’interno dell’intervallo ε −−−− ω avremmo l’assurdo di due possibili onde con carattere ordinario (quella sempre presente con indice ω e quella relativa all’asse ottico);

- se tale indice si collocasse all’esterno dell’intervallo ε −−−− ω avremmo l’assurdo di verificare un carattere discontinuo delle proprietà ottiche del minerale.

47 Confronta nota 46, secondo caso di assurdità.

manifesterà con modalità quantitativamente diverse per le diverse sezioni del minerale in esame.

Diremo che il potere birifrattivo di una sezione di un minerale sarà tanto più alto quanto più alto è il valore della differenza dei suoi indici di rifrazione. A tale differenza si dà il nome di

“birifrangenza

” e pertanto la birifrangenza misura il potere birifrattivo di una data sezione

. È evidente che le diverse sezioni di un dato minerale dimetrico saranno caratterizzate, in generale, da differenti valori della birifrangenza e che pertanto ogni specifico minerale dimetrico presenterà, nel suo complesso, infiniti valori della birifrangenza fra cui ne esiste uno che corrisponde alla birifrangenza massima possibile per il minerale: tale birifrangenza massima è data dal valore della differenza fra i suoi indici di rifrazione principali (ε ed ω) e pertanto sarà eguale ad ε −−−− ω. Se indichiamo con ∆ il valore generico della birifrangenza di un minerale dimetrico sarà 0< ∆ ≤ | ε −−−− ω | (non può aversi un valore nullo della birifrangenza in quanto ciò indicherebbe che il fenomeno della birifrazione non ha luogo −−−− la birifrangenza nulla caratterizza le sezioni monorifrangenti cioè quelle in cui la luce si propaga parallelamente all’asse ottico).

In analogia a quanto detto per i minerali dimetrici, in quelli trimetrici avremo parimenti che ciascuna sezione del cristallo avrà una propria birifrangenza γ ’ −−−− α ’ e che tale birifrangenza varierà, in generale, per le diverse sezioni. Pertanto ogni specifico minerale trimetrico presenterà, nel suo complesso, infiniti valori della birifrangenza fra cui ne esiste uno che corrisponde alla birifrangenza massima possibile per il minerale: tale birifrangenza massima è data dal valore della differenza fra gli indici di rifrazione principali γ e α (indici di rifrazione massimo e minimo del cristallo). Accanto alla birifrangenza massima del cristallo trimetrico indicheremo altre due birifrangenze principali e precisamente β – α e γ – β.

Un ulteriore carattere distintivo dei minerali del gruppo dimetrico e trimetrico è quello relativo al loro segno ottico.

Diremo che un minerale del gruppo dimetrico ha segno ottico positivo se εεεε ’ > ω ω ω (ne consegue, a ω maggior ragione che ε > ω). Nel caso opposto, se εεεε ’ < ω ω ω ω (ε < ω) il minerale sarà detto negativo.

Per i cristalli del gruppo trimetrico il segno ottico va definito dalla relazione esistente fra l’angolo acuto formato dagli assi ottici (2V) e le direzioni di vibrazione delle onde birifratte ad indice massimo e minimo (di ciò diremo più avanti). In questo momento diciamo che il segno ottico di un minerale trimetrico può essere definito dal valore del rapporto fra le sue birifrangenze principali γ −−−−

β e β −−−− α: se (γ −−−− β) > (β −−−− α) il minerale viene detto positivo; in caso contrario viene detto negativo (se (γ −−−− β) = (β −−−− α) avremo che il minerale non presenta segno ottico e, come vedremo, i due assi ottici sono fra loro ortogonali −−−− 2V = 90°).

La tabella 1 ricapitola per tutti i minerali, in relazione al loro gruppo d’appartenenza, quanto detto sinora.

48 Si noti che la birifrangenza, in quanto data dalla differenza fra due indici di rifrazione, che sono numeri puri, è anch’essa un numero puro, cioè un numero privo di dimensione.

49 Lo studente noti che la differenza fra due numeri è un numero positivo se minuendo > sottraendo ed un numero negativo in caso contrario. Nel caso dei minerali trimetrici poiché abbiamo assunto che γ’ > α’ la birifrangenza γ’−−−− α’

sarà sempre un numero positivo. Nel caso dei minerali dimetrici poiché ε’ > oppure < ω se assumiamo che la birifrangenza sia espressa da ε’−−−− ω essa potrà essere un numero positivo o negativo. Per questo motivo sarebbe meglio definire la birifrangenza come il valore assoluto della differenza fra gli indici di rifrazione.

Tabella 1

Minerali Monometrici Minerali Dimetrici Minerali Trimetrici Comportamento ottico Monorifrangenti Birifrangenti Birifrangenti N° di indici di rifrazione del

minerale

Uno Infiniti infiniti

N° di indici di rifrazione

principali del minerale Uno Due (ε ed ω) Tre (α, β e γ)

N° di indici di rifrazione per

ciascuna sezione del minerale Uno Due Due

N° di assi ottici (direzioni di

monorifrangenza) Infiniti Uno Due

N° sezioni birifrangenti Nessuna Infinite Infinite

N° sezioni monorifrangenti Infinite Una Due

Posizione degli assi ottici Tutte le direzioni ≡ con l’asse z Non univocamente determinabile

Valori della birifrangenza Zero Infiniti Infiniti

Birifrangenze principali Nessuna Una: |ε − − − ω| − Tre: γ −−−− α, γ −−−− β, β −−−− α

Segno ottico Non esiste Positivo o negativo Positivo o negativo

Le indicatrici ottiche

Definizione e costruzione delle indicatrici ottiche

La verifica delle caratteristiche ottiche dei minerali consente di procedere alla loro identificazione.

Detta verifica risulta tanto più agevole quanto più, per ciascun tipo di minerale, si è in grado di prevederne, a priori, il comportamento quando esso viene osservato in opportune condizioni e con opportuni mezzi d’indagine. Al fine di agevolare la comprensione dei fenomeni che insorgono nei minerali quando sono attraversati da radiazioni luminose e al fine di poterne prevedere il comportamento, sono state messi a punto diversi strumenti descrittivi che genericamente vanno sotto il nome di superfici ottiche ausiliarie. Fra queste, per i nostri fini, la più adatta a descrivere il comportamento ottico dei minerali è quella che viene individuata come “superficie vettoriale degli indici di rifrazione” o più brevemente “indicatrice ottica”.

La base costruttiva dell’indicatrice ottica si basa sulla constatazione, secondo la trattazione di Huygens per i mezzi anisotropi

, che anche quando, a causa della birifrazione, si ha la

50 Lo studente ricordi che l’indice di rifrazione di una qualsiasi sostanza ancorché isotropa varia con il variare di λ; nel parlare comune si assume, ma ciò non è sempre vero, che sia nullo o trascurabile il fenomeno della dispersione per cui ogni sostanza isotropa è caratterizzata da un solo valore dell’indice di rifrazione indipendentemente da λ.

51

Figura 62

Se consideriamo una sorgente luminosa puntiforme inserita in un minerale, ad esempio del gruppo dimetrico, dalla sorgente si irradieranno onde in tutte le direzioni dello spazio. Dal momento che il minerale è anisotropo (birifrangente uniassico), dopo un tempo t la superficie d’onda coperta da dette radiazioni sarà una superficie a due falde: una data dal fronte d’onda sferico raggiunto dalle onde ordinarie a v_o costante in tutte le direzioni ed una ellissoidica data dal fronte d’onda ellissoidico a v_s variabile in funzione della direzione.

Le due falde hanno una direzione in comune data dall’asse ottico (AO): cioè dalla direzione in cui non si ha birifrazione (Figura 62).

divaricazione delle direzioni di propagazione dei raggi all’interno dei minerali, i fronti d’onda piani che competono loro e le relative normali d’onda risultano sempre paralleli.

Figura 63

La figura 63, costruita in accordo con la trattazione di Huygens, nel caso dei minerali dimetrici, evidenzia quanto detto.

Tre raggi incidenti (A, A’, A”) penetrano in un minerale dimetrico e danno luogo a due fronti d’onda: uno sferico (ordinario) e l’altro ellissoidico (straordinario) – nota 51.

Si noti come i fronti d’onda piani relativi all’onda ordinaria (F-F’-F”) e all’onda straordinaria (D-D’-D” −−−−

disegnata in rosso) siano fra loro paralleli −−−− parimenti fra loro parallele saranno conseguentemente le due normali d’onda ordinaria e straordinaria. Il raggio ordinario (in nero) e quello straordinario (in rosso) invece divergono.

Quanto sopra ci consente di estendere il concetto di birifrazione dai raggi alle normali d’onda e quindi poter dire che allorché delle radiazioni luminose penetrano in un minerale in esso si realizzano, in seguito al fenomeno della birifrazione, due normali d’onda che hanno la medesima direzione ma sono relative a due onde che hanno velocità di propagazione diversa (e quindi indice di rifrazione diverso) e piani di vibrazione fra loro ortogonali.

Semplici considerazioni geometriche da svolgersi su quanto rappresentato in Figura 63 ci permettono anche di dire che i valori degli indici di rifrazione non mutano sia che li riferiamo alle normali d’onda o che li riferiamo ai raggi luminosi.

Da ora in avanti, salvo che non sia espressamente specificato, quando parleremo di raggi luminosi (concetto più familiare allo studente) in effetti ci riferiremo alle normali d’onda: ciò in quanto mentre le loro grandezze descrittive, con riferimento ai fenomeni di birifrazione e a quelli ad essi connessi, non mutano, la loro trattazione risulta notevolmente semplificata.

Precisato quanto sopra torniamo alle “superfici vettoriali degli indici di rifrazione” o più brevemente “indicatrici ottiche” per definire compiutamente cosa sono, come vengono costruite, quali sono le loro proprietà e come vengono adoperate per i nostri scopi.

Diciamo subito che: Si chiama Indicatrice Ottica (I.O.) di un dato minerale la superficie semplice (ossia ad una sola falda) che rappresenta come variano in esso gli indici di rifrazione delle onde piane polarizzate (normali d’onda ≅ raggi luminosi) al variare del piano di vibrazione che il mezzo impone loro di assumere e della loro direzione di propagazione in seno al minerale.

Le Indicatrici Ottiche sono delle superfici ausiliarie che raccordano tutti gli estremi dei vettori che rappresentano, in tutte le direzioni, i valori dell’indice di rifrazione n.

Ogni vettore rappresenta, con la sua direzione, la direzione di vibrazione dell’onda che si propaga nella direzione ad esso normale e con il suo modulo (lunghezza) il valore di n per quella direzione di propagazione e quella direzione di vibrazione.

Costruzione dell’indicatrice ottica. Immaginiamo di fare investire un minerale birifrangente da una radiazione luminosa la cui direzione di propagazione sia comunque orientata rispetto al minerale.

Quanto sinora appreso a proposito della birifrazione, ci dice che all’interno del cristallo si propagheranno due onde (normali d’onda ≅ raggi luminosi) vibranti su piani fra loro ortogonali (V

e V

) e caratterizzate da indici di rifrazione n

ed n

fra loro differenti (Figura 64).

Se immaginiamo un punto C quale origine di tutti i vettori che determineranno la Indicatrice Ottica

Figura 64

del minerale possiamo riportare da detto punto due vettori che, giacenti nel piano di vibrazione di ciascuna delle due onde birifratte, abbiano direzione ortogonale alla direzione di propagazione delle onde birifratte e modulo eguale (o proporzionale) al valore degli indici di rifrazione n

ed n

delle medesime onde.

Se immaginiamo di ripetere la sopra descritta operazione per tutte le infinite direzioni di propagazione di onde che possono investire il cristallo, dal punto C si irraggeranno infinite coppie di vettori costruiti come sopra detto. Se raccordiamo le estremità di tutti questi vettori otteniamo una superficie semplice (ad una sola falda) che sarà la “superficie vettoriale degli indici di rifrazione” cioè la nostra Indicatrice Ottica.

Osservazione. La Indicatrice Ottica è una superficie ausiliaria che rappresenta una proprietà fisica e, di conseguenza, essa non ha una realtà tangibile né va pensata come un oggetto che ha una

“collocazione” fisicamente definita (posizione) in seno al minerale. Ai nostri fini è utile immaginarla interna a ciascun minerale così che sia immediatamente desumibile il comportamento ottico di ogni sua sezione.

Forme e geometria delle indicatrici ottiche

Considerato che le proprietà ottiche di un minerale sono proprietà fisiche vettoriali a variazione continua, ogni loro rappresentazione darà luogo a superfici semplici o complesse di tipo continuo

. Nel caso delle Indicatrici ottiche abbiamo detto che si ha a che fare con superfici semplici (ad una sola falda): tali superfici sono riconducibili a quelle dei seguenti solidi:

- la sfera,

- l’ellissoide di rotazione, - l’ellissoide a tre assi.

Con riferimento a ciò la indicatrice ottica di qualsivoglia minerale potrà assumere una delle sopra viste forme geometriche di cui daremo di seguito i lineamenti essenziali utili ai fini della comprensione delle fenomenologie ottiche che dette superfici rappresentano.

La sfera, è un solido geometrico di rotazione (figura 65) che si ottiene facendo ruotare una circonferenza di centro O e raggio r di un angolo giro intorno ad uno qualsiasi dei suoi diametri. La circonferenza che si fa ruotare si chiama circonferenza generatrice della sfera.

Figura 65

Ad ogni raggio vettore

della sfera corrispondono infinite sezioni circolari della sfera, e precisamente tutte quelle determinate dai piani perpendicolari a quel raggio. Considerate le modalità di costruzione delle I.O., se facciamo riferimento al centro O della sfera, essa è caratterizzata da infinite sezioni circolari, tutte eguali alla circonferenza generatrice, e perpendicolari ad un suo raggio vettore. Questa invarianza delle circonferenze passanti per il centro della sfera rispecchia l’invarianza del comportamento ottico dei minerali monometrici (vedi più avanti).

52 Il concetto di continuità qui richiamato è relativo alla funzione matematica di cui la superficie considerata è la rappresentazione geometrica.

53 Si chiama raggio vettore di una sfera o di un ellissoide di centro O ogni segmento che unisce O con la superficie della sfera o dell'ellissoide. Ogni raggio vettore è perpendicolare ad una sezione centrale, ossia alla sezione passante per il centro O della sfera o dell'ellissoide e determinata dalla sua intersezione con il piano ortogonale al raggio vettore considerato.

Dal punto di vista della simmetria la sfera ammette tutti i tipi di elementi di simmetria purché passanti per il suo centro. La simmetria della sfera può essere così riassunta:

- infiniti assi di simmetria di ordine ∞ coincidenti con i suoi diametri: i diametri sono assi di simmetria di ordine ∞ perchè le corrispondenze fra punti della sfera avvengono infinite volte facendo ruotare di 360° la sfera intorno a ciascuno di essi. Tali assi si simboleggiano ∞A

. - infiniti piani di simmetria passanti per il centro: essi intersecano la sfera secondo circonferenze

massime. Tali piani si simboleggiano ∞P.

- Un centro di simmetria (C) coincidente con il centro della sfera: ogni punto della sfera trova il suo corrispondente invertito.

L’ellissoide di rotazione o ellissoide a due assi è un solido geometrico di rotazione (figura 66) che si ottiene facendo ruotare una ellisse con semiassi a e b di un angolo giro intorno ad uno qualsiasi

Figura 66

dei suoi assi (asse b in figura 66).

La ellisse che si fa ruotare si chiama ellisse generatrice dell’ellissoide. All’asse di rotazione dell’ellissoide corrispondono infinite sue sezioni circolari, e precisamente tutte quelle determinate dai piani perpendicolari a detto asse.

Considerate le modalità di costruzione delle I.O., se facciamo riferimento al centro O della sfera (punto di intersezione dei suoi assi), essa è caratterizzata da:

- una sola sezione circolare (cfr. figura 66 – di raggio a e perpendicolare al raggio vettore b ≡ con l’asse di rotazione dell’ellissoide);

- infinite sezioni ellittiche tutte passanti per l’asse di rotazione ed eguali all’ellisse generatrice dell’ellissoide – sezioni principali dell’ellissoide – (queste ellissi con semiassi a e b hanno eccentricità massima (E

) e pari all’eccentricità dell’ellissoide) ciascuna di queste sezioni ellittiche è perpendicolare ad un raggio vettore giacente sulla sezione circolare;

- infinite sezioni ellittiche non passanti per l’asse di rotazione e tutte fra loro diverse (cfr. figura 66 – queste ellissi hanno un semiasse di lunghezza eguale ad a, l’altro di lunghezza compresa fra a e b ed infine eccentricità 0 < E ≤ E

); esse sono ortogonali ai corrispondenti raggi vettori.

Dal punto di vista della simmetria l’ellissoide di rotazione presenta i seguenti elementi di simmetria:

- un asse di simmetria di ordine ∞ coincidente con l’asse di rotazione dell’ellissoide: tale asse è asse di simmetria di ordine ∞ perchè le corrispondenze fra punti dell’ellissoide avvengono infinite volte facendoli ruotare di 360° intorno ad esso. Tale asse si simboleggia A

.

- infiniti assi binari (A

) ortogonali all’asse di rotazione dell’ellissoide (A

) e passanti per il suo centro. Tali assi si simboleggiano ∞A

.

- un piano di simmetria perpendicolare all’asse di rotazione (A

): esso interseca l’ellissoide secondo una circonferenza il cui raggio è eguale al semiasse dell’ellisse generatrice intorno a cui non si è effettuata la rotazione. Tale piano si simboleggia P.

- infiniti piani di simmetria passanti per l’asse di rotazione (A

): essi intersecano l’ellissoide secondo ellissi a massima eccentricità. Tali piani si simboleggiano ∞P’.

- Un centro di simmetria (C) coincidente con il centro dell’ellissoide: ogni punto dell’ellissoide trova il suo corrispondente invertito.

L’ellissoide a tre assi o ellissoide generale è un ellissoide determinato dalla diversa lunghezza di tre

semiassi (a, b, c con a<b<c) ortogonali e convergenti nel suo centro O (Figura 67).

Figura 67

Considerate le modalità di costruzione delle I.O., se facciamo riferimento al centro O dell’ellissoide (punto di intersezione dei suoi assi), esso è caratterizzato da:

- due sole sezioni circolari di raggio b

;

- tre sezioni ellittiche principali determinate da due dei tre assi dell’ellissoide (sezioni a – b, a – c, b – c) ed ortogonali al raggio vettore coincidente col terzo asse dell’ellissoide.

- infinite sezioni ellittiche generiche con semiassi a’ e c’ ortogonalmente alle quali si collocano i generici assi vettori dell’ellissoide.

Esso ammette la seguente simmetria:

- 3 assi binari coincidenti con i tre assi principali dell’ellissoide che indicheremo con A

, A'

, A"

poiché essi non sono tra loro equivalenti;

- 3 piani di simmetria non equivalenti tra loro ortogonali (ciascuno contenente due assi principali dell’ellissoide – piani a – b, a – c, b – c) che indicheremo con P. P', P";

- Un centro di simmetria (C) coincidente con il centro dell’ellissoide: ogni punto dell’ellissoide trova il suo corrispondente invertito.

Applicazione dei caratteri degli ellissoidi all’indicatrice ottica

Poiché l’indicatrice ottica rappresenta le proprietà ottiche del cristallo con riferimento alla sua capacità di birifrangere e polarizzare le radiazioni luminose che lo investono, considerare una

Figura 69

qualsiasi sezione Sg, a facce piane e parallele, del minerale investita ortogonalmente lungo la direzione k da radiazioni luminose (figura 69), significa considerare la corrispondente sezione della sua indicatrice ottica (I.O.), rappresentata dall’appropriato ellissoide, e ricavare le informazioni che discendono dalla geometria della suddetta sezione. Ad ogni incidenza normale k corrisponde un raggio vettore della I.O. e ad esso corrispondono conseguentemente i semiassi della sezione ellittica della I.O. ortogonale a k.

Tali semiassi saranno diseguali o inesistenti (eguali → sezione circolare).

54

Figura 68a Figura 68b Figura 68c Figura 68d

La figura 68 mostra come muovendosi sulla superficie di una ellissoide a tre assi lungo l’ellisse a – c (fig. 68a) si troverà un punto che ha una distanza dal centro pari a b. Essendo l’ellissoide una superficie centrosimmetrica di detto punto dovrà esistere il suo simmetrico e pertanto la sezione passante per detti punti e per l’asse b sarà una circonferenza (i suoi raggi vettori sono eguali a b (Fig. 68b). In modo analogo e simmetrico si ritrova la seconda sezione circolare dell’ellissoide (Fig. 68c) e conseguentemente si individuano le due sezioni circolari che caratterizzano l’ellissoide (Fig. 68d).

Da tali possibilità discende la previsione del comportamento ottico della specifica sezione del minerale:

a) i semiassi dell’ellisse sezione dell’I.O. sono inesistenti (eguali). Ciò significa che la sezione dell’I.O. ortogonale al raggio vettore (k) che individua la direzione d’incidenza dei raggi (n.o.), ortogonali alla sezione del minerale, è una circonferenza. Poiché le lunghezze degli infiniti raggi vettori dell’I.O. sono proporzionali agli infiniti indici di rifrazione del minerale, nello specifico per la sezione considerata avremo indici eguali. Da ciò discende che:

- la sezione esaminata non presenta il fenomeno della birifrazione;

- la birifrangenza della sezione esaminata è nulla;

- la sezione esaminata si comporta da monorifrangente;

- il minerale, per la specifica direzione di propagazione k (ortogonale alla sezione esaminata), si comporta da monorifrangente;

- la direzione k di propagazione delle onde (ortogonale alla sezione esaminata) coincide con una direzione di asse ottico.

b) i semiassi dell’ellisse sezione dell’I.O. sono diseguali. Ciò significa che la sezione dell’I.O.

ortogonale al raggio vettore (k) che individua la direzione d’incidenza dei raggi (n.o.), ortogonali alla sezione del minerale, è una ellisse. Poiché le lunghezze degli infiniti raggi vettori dell’I.O. sono proporzionali agli infiniti indici di rifrazione del minerale, nello specifico per la sezione considerata il minerale presenterà due indici di rifrazione differenti proporzionali ai semiassi dell’ellisse sezione dell’I.O. ortogonale al raggio vettore k. Da ciò discende che:

- la sezione esaminata presenta il fenomeno della birifrazione;

- la birifrangenza della sezione esaminata è proporzionale alla differenza dei semiassi dell’ellisse;

- la sezione esaminata si comporta da birifrangente;

- il minerale, per la specifica direzione di propagazione k (ortogonale alla sezione esaminata), si comporta da birifrangente;

- ed infine dato che la birifrazione comporta la polarizzazione le due onde birifratte sono polarizzate e ciascuna di esse vibra nel piano definito dalla direzione k e, corrispondentemente, da ognuno dei due semiassi dell’ellisse sezione dell’I.O (cfr.

modalità di costruzione dell’I.O.).

Orientazione delle Indicatrici Ottiche nei minerali

Come abbiamo detto le caratteristiche geometriche di ogni sezione dell’I.O., rappresentativa delle proprietà ottiche della corrispondente sezione del minerale, consentono di definire univocamente il comportamento di ciascuna sezione del minerale allorché essa viene investita ortogonalmente da radiazioni luminose.

Per poter utilizzare quanto appreso ai fini della previsione del comportamento ottico di sezioni di minerali di cui sia nota l’orientazione, occorre conoscere:

a) quale è l’indicatrice ottica appropriata (sferica, ellissoidica di rotazione, ellissoidica a tre assi) al minerale che si intende studiare in relazione al suo gruppo morfologico-strutturale d’appartenenza;

b) quale è l’orientazione che assumono gli elementi dell’indicatrice ottica rispetto agli elementi

morfologici del minerale.

Gruppi morfologico-strutturali e corrispondenti indicatrici ottiche.

Minerali del gruppo Monometrico

Come abbiamo visto tutti i minerali del gruppo monometrico sono otticamente isotropi cioè monorifrangenti. Ciò in altre parole significa che qualsivoglia sezione di un minerale monometrico se investita ortogonalmente da onde luminose dà luogo al fenomeno della rifrazione normale con creazione di una sola onda rifratta il cui indice di rifrazione è costante ed indipendente dall’orientazione della sezione.

Fra le varie forme che possono assumere le indicatrici ottiche abbiamo contemplato quella sferica ed abbiamo constatato che essa è caratterizzata dal fatto che tutte le sue sezioni passanti per il centro sono circolari e che tutti i suoi raggi vettori hanno eguale lunghezza. Considerato il significato che assume la geometria delle sezioni delle I.O. in termini di possibile birifrazione o monorifrazione manifestati della sezione dal minerale che essa rappresenta, appare evidente che l’indicatrice ottica dei minerali del gruppo monometrico ha forma sferica (Figura 70).

Figura 70

Gli infiniti raggi vettori di detta indicatrice ottica, tutti eguali fra loro ed eguali ad n (indice di rifrazione del minerale) rappresentano il comportamento ottico monorifrangente del minerale; le infinite sezioni circolari di detta indicatrice (passanti per il suo centro) ortogonali a qualsivoglia direzione di propagazione di onde (k), tutte identiche fra loro (cfr. pag. 56 invarianza della sezione circolare) e tutte di raggio eguale ad n rendono conto della costanza dell’indice di rifrazione del minerale al variare della sezione che di esso viene esaminata. La geometria costantemente circolare delle infinite sezioni (passanti per il centro) di detta indicatrice rende parimenti conto del fatto che le onde rifratte dal minerale non saranno da esso polarizzate

.

Minerali del gruppo Dimetrico

Abbiamo già constatato che tutti i minerali del gruppo dimetrico sono otticamente anisotropi e più specificatamente birifrangenti uniassici. Cioè: essi presentano infiniti indici di rifrazione tutti compresi nell’intervallo ε − ω; ogni generica sezione di un minerale dimetrico presenta due specifici indici di rifrazione ε’ ed ω (ω costante, ε’ variabile); esiste una unica direzione, l’asse ottico, tale che se la luce li attraversa secondo tale direzione il minerale presenta il fenomeno della monorifrazione o rifrazione normale; l’ indice di rifrazione che il minerale manifesta quando la luce lo investe lungo l’asse ottico è ω.

Fra le varie forme che possono assumere le indicatrici ottiche abbiamo contemplato quella dell’ellissoide a due assi o ellissoide di rotazione ed abbiamo constatato che essa è caratterizzata dal fatto che:

- tutte le sue sezioni generiche passanti per il centro sono ellittiche e presentano un semiasse costante e l’altro variabile in funzione della posizione della sezione (cfr. pag. 57);

55 La circonferenza può esser considerata un’ellisse ad eccentricità nulla: cioè in cui i due semiassi sono fra loro eguali (si potrà pertanto dire o che non ha semiassi o che ne ha infiniti tutti eguali fra loro). Poiché i piani di vibrazione delle onde birifratte vengono definite dalla direzione dei semiassi dell’ellisse sezione dell’I.O. e dal raggio vettore ad essa ortogonale (cfr. pag. 58), la non esistenza nella circonferenza di semiassi ortogonali, fra loro differenti per lunghezza, comporta che non può essere individuato alcun piano preferenziale di vibrazione della luce e pertanto essa non viene polarizzata nel passaggio attraverso il minerale. Si noti parimenti che se la radiazione che investe la sezione considerata fosse già polarizzata, essa, nel passaggio attraverso il minerale, manterrebbe inalterato il proprio piano di vibrazione.

- presentano una sola sezione circolare passante per il centro e perpendicolare all’asse di rotazione dell’ellissoide – cfr. figura 66;

- presentano infinite sezioni ellittiche tutte passanti per l’asse di rotazione e con eccentricità massima pari all’eccentricità dell’ellissoide;

Considerato il significato che assume la geometria delle sezioni delle I.O. in termini di possibile insorgenza del fenomeno di birifrazione o di monorifrazione in funzione della sezione dal minerale che essa rappresenta, appare evidente che l’indicatrice ottica dei minerali del gruppo dimetrico ha la forma di un ellissoide di rotazione (ellissoide a due assi) (Figura 71a e 71b).

Figura 71a Figura 71b

Gli assi principali di detta indicatrice saranno pertanto ε ed ω dove l’asse ε rappresenterà sempre l’asse di rotazione dell’ellissoide e coinciderà sempre con la direzione dell’unico Asse Ottico (A.O.) del minerale – la sezione ad esso perpendicolare essendo una circonferenza indicherà le condizioni di monorifrangenza.

Alle infinite possibili direzioni di propagazione di onde (k) corrisponderanno sempre sezioni ortogonali dell’ellissoide, passanti per il suo centro, di forma ellittica i cui semiassi saranno ε’ ed ω (ω costante, ε’ variabile in funzione della direzione di k) – tali sezioni rappresentano il comportamento generalmente birifrangente del minerale. Infine, dato che la birifrazione comporta la polarizzazione le due onde birifratte sono polarizzate e ciascuna di esse vibra nel piano definito dalla direzione k e da ognuno dei due semiassi dell’ellisse sezione dell’I.O: cioè il piano k – ω ed il piano k – ε’ (cfr. Figura 71). Si nota che l’onda a comportamento straordinario – di indice ε’ – vibra nel piano k – ε’ che, contenendo ε, è una sezione principale dell’ellissoide che chiameremo sezione principale ottica: pertanto data una generica direzione k di propagazione di onde che investe il cristallo dimetrico se per tale direzione esso si comporta da birifrangente al suo interno si genereranno due onde polarizzate (una straordinaria ed una ordinaria) con indici rispettivamente eguali ad ε’ ed ω e tali che l’onda straordinaria, con indice ε’, vibra nella sezione determinata dall’Asse Ottico (≡ con ε) e dalla direzione di propagazione k (sezione principale ottica), mentre l’onda ordinaria, con indice ω, vibra nel piano perpendicolare a questo e passante per la direzione di propagazione k. Le figure 71a e 71b rappresentano le indicatrici ottiche per i cristalli uniassici rispettivamente positivi (ε’ > ω) e negativi (ε’ < ω).

Minerali del gruppo Trimetrico

Abbiamo già constatato che tutti i minerali del gruppo trimetrico sono otticamente anisotropi e più specificatamente birifrangenti biassici. Essi presentano pertanto infiniti indici di rifrazione tutti compresi nell’intervallo α − γ; ogni generica sezione di un minerale dimetrico presenta due specifici indici di rifrazione α’ e γ’ (entrambi variabili al variare della sezione considerata); esistono due direzioni (assi ottici), tali che se la luce attraversa il minerale secondo una di tali direzioni il minerale presenta il fenomeno della monorifrazione o rifrazione normale; l’indice di rifrazione che il minerale manifesta quando la luce lo investe lungo uno dei due assi ottici è β (α < β < γ).

Fra le varie forme che possono assumere le indicatrici ottiche abbiamo contemplato quella dell’ellissoide a tre assi o ellissoide generico ed abbiamo constatato che essa è caratterizzata dal fatto che presenta:

- due sole sezioni circolari di raggio compreso fra il semiasse minore e quello maggiore;

- tre sezioni ellittiche principali determinate da due dei tre assi dell’ellissoide;

- infinite sezioni ellittiche generiche con semiassi compresi fra il semiasse minore e quello maggiore ed i cui valori variano in funzione della posizione di ciascuna specifica sezione.

Considerato quanto già detto in generale sul significato della geometria dell’I.O. (cfr. pagg. 58-59), appare evidente che l’indicatrice ottica dei minerali del gruppo trimetrico ha la forma di un ellissoide generico (ellissoide a tre assi). Gli assi principali di detta indicatrice saranno pertanto α, β e γ − Figura 72 ( α < β < γ ). Perpendicolarmente alle due sezioni cicliche dell’ellissoide, che come abbiamo detto rappresentano per il minerale le sezioni monorifrangenti, sono indicati i due assi ottici formanti fra loro l’angolo 2V e definenti il “Piano degli Assi Ottici” (P.A.O) – si noti come il P.A.O. coincide con la sezione principale α – γ dell’indicatrice ed è ⊥ a β. Dalla figura 72 si può notare come i due A.O., giacenti sul piano α – γ siano simmetricamente disposti rispetto ai semiassi α e γ e come, pertanto, detti semiassi siano le bisettrici dell’angolo 2V (cfr. pag. 52 – Fig. 61). Il semiasse dell’I.O. coincidente con β prende il nome di “Normale Ottica”.

Figura 72a Figura 72b

Figura 72: Indicatrici Ottiche dei minerali trimetrici.

a: minerali otticamente positivi;

b: minerali otticamente negativi.

Nel caso della Figura 72a la bisettrice dell’angolo 2V è γ, mentre nel caso della figura 72b detta bisettrice è α. Quanto sopra dipende dal valore di β (Ν.Ο.): precisamente tanto più β è prossimo ad α tanto più l’angolo 2V sarà piccolo e la sua bisettrice sarà γ; tanto più β è prossimo a γ tanto più l’angolo 2V sarà piccolo e la sua bisettrice sarà α. Quanto detto (cfr. pag. 53) trova riscontro nel valore delle birifrangenze principali γ −−−− β e β −−−− α e, conseguentemente, nel segno ottico del minerale a cui l’indicatrice si riferisce. Pertanto, ricordando che se (γ −−−− β) > (β −−−− α) – il che significa che β è più prossimo ad α di quanto non lo sia a γ e quindi l’angolo 2V sarà bisecato da γ – noi abbiamo definito il minerale otticamente positivo, potremo parimenti dire che se l’angolo 2V (angolo acuto formato dagli assi ottici) è bisecato da γ il minerale sarà otticamente positivo. Questa espressione viene comunemente riassunta dicendo che se γγγγ è la bisettrice acuta – bisettrice dell’angolo acuto formato dagli assi ottici – il minerale è otticamente positivo (2V γ < 90°). In caso contrario se ( γ −−−− β ) < ( β −−−− α ) , – il che significa che β è più prossimo a γ di quanto non lo sia ad α e quindi l’angolo 2V sarà bisecato da α – avendo definito il minerale otticamente negativo, potremo parimenti dire che se l’angolo 2V è bisecato da α il minerale sarà otticamente negativo.

Questa espressione viene, ancora una volta, comunemente riassunta dicendo che se αααα è la bisettrice acuta – bisettrice dell’angolo acuto formato dagli assi ottici – il minerale è otticamente negativo (2V α < 90°). La direzione di vibrazione dell’onda con indice di rifrazione α oppure γ che non coincide con quella della bisettrice acuta prende il nome di “bisettrice ottusa” (bisettrice dell’angolo ottuso formato dagli assi ottici). Ne consegue che se αααα è la bisettrice acuta – bisettrice dell’angolo acuto formato dagli assi ottici – γγγγ è la bisettrice ottusa – bisettrice dell’angolo ottuso formato dagli assi ottici; viceversa se γγγγ è la bisettrice acuta – bisettrice dell’angolo acuto formato dagli assi ottici – αααα è la bisettrice ottusa – bisettrice dell’angolo ottuso formato dagli assi ottici.

Alle infinite possibili direzioni di propagazione di onde (k) corrisponderanno sempre sezioni

ortogonali dell’ellissoide, passanti per il suo centro, di forma ellittica i cui semiassi saranno α’ e γ’