Matematica per Biotecnologie Sanitarie Seconda prova parziale – 17/12/2010
NOME: . . . . COGNOME: . . . . N◦ MATRICOLA: . . . .
• Svolgere gli esercizi in modo sintetico ed accurato negli spazi predisposti o nel foglio bianco sul lato sinistro del ciclostilato aggiungendo il numero dell’esercizio.
• Sono consentiti: libro di testo, formulari e calcolatrici (non programmabili).
Per la commissione:
Es. Giudizio Punti
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Calcolare la derivata delle seguenti funzioni
a) f (x) = ln x2− 2 , b) f (x) = q
2 + sin2(x) Es. 2
Si consideri la funzione
f (x) = (x − 1)x.
a) Scriverla in forma esponenziale e specificarne dominio e segno.
b) Calcolare f′(x).
Es. 3
Determinare la retta tangente alla funzione
f (x) = cos(2x) nel suo punto di ascissa x0= π/12.
Es. 4
Indicare le affermazioni vere e quelle false sbarrando la relativa casella. Fornire, inoltre, per ciascuna affermazione ritenuta falsa un controesempio che ne comprovi la falsità. Non è richiesta, invece, la dimostrazione delle affermazioni ritenute vere.
V F Una funzione continua in x0è derivabile in x0. V F Una funzione derivabile in x0è continua in x0.
V F Ogni punto x0di massimo relativo è caratterizzato da f′(x0) = 0.
V F Se f (x) è strettamente crescente in [a, b] allora ha f′(x) > 0 ∀ x ∈ [a, b].
Es. 5
Fornire il grafico o, preferibilmente, l’espressione di una funzione f : R 7→ R continua che soddisfa a tutte le condizioni a), b), c).
a) f′′(x) < 0 per x < 0, b) f′′(x) ≥ 0 per x ≥ 0 c) f (x) non è derivabile per x = 0
Es. 6
Scrivere la scomposizione in fratti semplici della seguente funzione razionale R(x)
R(x) = x2+ 1
(x − 1)3· (x2+ x + 2)2
NONè richiesto il calcolo delle costanti che compaiono nella scomposizione.
a) Quanto vale il grado del polinomio a denominatore?
b) Esiste ξ ∈ R tale che R(ξ) = 0?
c) E’ possibile stabilire a priori il segno dell’integrale Z 100
2
R(x)dx?
Suggerimento: per x ≥ 2 la funzione R(x) è ... e quindi l’integrale è ...
Si consideri il grafico della funzione f , riportato in Fig. 1, formato da tre rami: una semiretta per x < −2, un segmento per −2 ≤ x ≤ 1 ed una parabola per x > 1.
Figura 1: Grafico della funzione dell’esercizio 7
a) Determinare gli intervalli in cui f è crescente e quelli in cui è decrescente.
b) Determinare le ascisse dei soli, eventuali, punti di massimo specificando se sono relativi o assoluti.
c) Determinare le ascisse degli eventuali punti di non derivabilità.
d) Tracciare la retta tangente al grafico di f nel suo punto di ascissa x0= 3.
e) Fornire un intervallo in cui la funzione è strettamente convessa (ossia, f′′(x) > 0).
f) Rappresentare graficamente in Fig. 1 Z 0
−4
f (x)dx e calcolare il valore.
g) Determinare, se possibile, ξ > 0 tale che Z ξ
−4
f (x)dx < 0.
a) Studiare la funzione (dominio, continuità, segno, limiti, asintoti, monotonia, punti di massimo e/o minimo, concavità e punti di flesso)
f (x) = 5 1 + x2
abbozzandone il grafico nella figura sottostante (x2≥ 0 per cui x2+ 1 è ...).
b) Calcolare
Z 1
0
f (x)dx.
c) Definire e calcolare l’integrale improprio Z +∞
0
f (x)dx
Sia f (t) la funzione il cui grafico è rappresentato in figura 2(a). Rappresentare nel piano cartesiano di Fig. 2(b) il grafico della funzione integrale
F (x) = Z x
0
f (t)dt.
(a) Funzione f (t).
(b) Grafico della funzione integrale F (x).
Figura 2: Grafici dell’esercizio 9.
a) Calcolare
x→+∞lim F (x).
b) Modificare il solo valore assunto dalla funzione nell’intervallo (9, 10] in modo che Z 11
0
f (t)dt = 0.
c) Calcolare l’espressione che dà F (x) per x ∈ (1, 4].
Es. 10
Determinare l’ordine dell’equazione differenziale y′′′− 3y′= 2e2x e dimostrare che f (x) = e2x ne è soluzione.
Calcolare i seguenti integrali a)
Z
3x2−2 x+ 3ex
dx, b)
Z
1 + 5 sin(x) − 4 cos(x) + tg2(x) dx
Es. 12
Calcolare i seguenti integrali
a) Z
(2x + 1) · ln(x + 1)dx , b) Z 1
0
x · exdx
Es. 13
Calcolare i seguenti integrali a)
Z π 0
sin(2x)dx, b) Z 1
−1
( 2x − |x| ) dx
Es. 14
Calcolare i seguenti integrali a)
Z
sin2(x) + 13
· sin(2x)dx , b) Z 2√
x · ex+ 1 2√
x · ex+ 2xdx Es. 15
Ricorrendo anche più volte al teorema di de l’Hopital, calcolare
x→0lim
x sin(x) − x2 cos(x) · ln4(1 + x)
Suggerimento: guardare attentamente il limite prima di iniziare e dopo ogni applicazione della regola di de l’Hopital!
Es. 16
La funzione f , derivabile su tutto R, soddisfa alle seguenti proprietà a) lim
x→+∞f (x) = 0, b) lim
x→+∞f′(x) = 0, c) f (0) = 0, d) f′(0) = 1 Calcolare
x→+∞lim
f ( f (x) ) f (x) .
