Compito di Fisica Matematica, 17/12/2010
Prof. F. Bagarello
Lo studente risolva almeno 6 tra i seguenti quesiti:
(1) Verificare che la mappa
<< f, g >>:=
∫
R
f (x)g(x)e−x2dx,
definisce un prodotto scalare su L2(R). Fornire un esempio di funzione che non appartiene ad L2(R) rispetto al prodotto abituale ma che appartiene adL2(R) con questo nuovo prodotto.
(2) Sviluppare la funzione
f (x) = {
1, x > 0;
−1, x < 0, in serie di Fourier. Verificare l’uguaglianza di Parceval.
(3) Calcolare la trasformata di Fourier della funzione f (x) = x21+9 e verificare che risulta
∫
R
|f(x)|2dx =
∫
R
| ˜f (p)|2dp.
(4) Stabilire se per la funzione f (x) = e−x2 `e applicabile il Lemma di Jordan in una delle sue forme.
(5) Calcolare la trasformata di Laplace della funzione f (x) = sinx, nonch`e la sua antitrasfor- mata.
(6) Studiare la regione di convergenza della serie di Laurent
∑∞ n=−∞
(z− 1)n 3|n|
e calcolarne la somma.
(7) Verificare in che condizioni la funzione f (x) = 2+3πxN 2 `e una densit`a di probabilit`a di una qualche variabile aleatoria per un opportuno valore di N . Trovare i momenti dei primi due ordini ad essa associati.
(8) Facendo riferimento all’esercizio precedente, calcolare la funzione caratteristica e, tramite questa, i primi due momenti della variabile aleatoria. Confrontare con il risultato precedente.
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