Matematica per Biotecnologie Sanitarie Prima prova parziale – 1/12/2010
NOME: . . . . COGNOME: . . . . N◦ MATRICOLA: . . . .
• Svolgere gli esercizi in modo sintetico ed accurato negli spazi predisposti o nel lato sinistro del ciclostilato aggiungendo il numero dell’esercizio.
• Sono consentiti: libro di testo, formulari e calcolatrici (non programmabili).
Per la commissione:
Es. Giudizio Punti
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Siano A = {a, b} e B = {b, c}.
a) Calcolare
A× B = . . . . B× A = . . . . ( A × B ) ∩ ( B × A ) = . . . . b) E’ vero che (c, a) ∈ A × B (Si/No)? . . . . Es. 2
Considerare l’insieme A rappresentato in figura
a) Scrivere una espressione matematica per A . . . . b) Indicare le affermazioni vere e quelle false.
V F A⊂ R
V F Aè un intervallo
V F Aè superiormente limitato V F Aè inferiormente limitato
c) Calcolare, se esistono, il minimo min(A) ed il massimo max(A) di A:
– min(A) (esiste/non esiste) . . . e vale . . . . – max(A) (esiste/non esiste) . . . e vale . . . . d) Qualora A sia un intervallo, aggiungere un solo punto xP alla figura in modo che il
nuovo insieme A ∪ {xP} non sia un intervallo: xP = . . . . Es. 3
Sbarrare la casella relativa alla risposta corretta
p(x − 1)2= |x − 1| p(x − 1)2= x − 1 p(x − 1)2= ± (x − 1) Es. 4
Dimostrare che√
5 è irrazionale.
Es. 5
Fornire due numeri irrazionali x ed y che soddisfano contemporaneamente alle due condizioni a) x + y ∈ Q e b) x · y ∈ Q
Suggerimento: porre x = a − b e y = a + b e scegliere a e b opportuni.
Es. 6
Indicare le affermazioni vere e quelle false sbarrando la relativa casella V F x2> y2 ⇒ x > y ∀x, y ∈ R
V F Siano x e z irrazionali con x < z. Allora, esiste y ∈ Q : x < y < z
V F √
2 e π sono numeri razionali
V F il numero 0, 10100100010000100000100000010... è irrazionale.
Es. 7
Sia F (x, y) = (x − 1)2+ y2− 4.
a) Il punto P = (√
2 + 1,√
2 ) appartiene al grafico di F (x, y) = 0? Perché? Nel caso che P appartenga al grafico, fornire un punto Q che non vi appartiene. Altrimenti, se P non appartiene al grafico, fornire un punto Q che vi appartiene.
b) Disegnare nella figura sottostante il grafico di F (x, y) = 0.
Figura 1: Grafico dell’esercizio 7.
Che tipo di curva rappresenta F (x, y) = 0? Si tratta di una funzione? Giustificare.
c) Dopo aver rappresentato nello stesso sistema cartesiano il grafico della parabola y = x2− 1, indicare il numero di soluzioni del sistema
F(x, y) = 0 y− x2 = −1 Es. 8
a) Sia r : y = 12x+ 1. Trovare una retta s ortogonale a r. Rappresentare le due rette nel piano cartesiano della Figura 2(a).
b) Sia t : 4x − 8 = 0. Trovare una retta p parallela a t. Rappresentare le due rette nel piano cartesiano della Figura 2(b).
(a) Grafici del punto a. (b) Grafici del punto b.
Figura 2: Grafici dell’esercizio 8.
Es. 9
Si considerino le due funzioni f (x) = 2−|x| e g(x) = log2(|x|).
a) Rappresentare i grafici delle due funzioni nella figura.
Figura 3: Grafici dell’esercizio 9.
b) Calcolare, se esistono, i limiti
x→−∞lim f(x), lim
x→0g(x)
c) Determinare il numero di soluzioni del’equazione f (x) = g(x) e trovare un intervallo [a, b] di ampiezza unitaria (ossia, b − a = 1) che contiene la radice positiva.
Es. 10
Si consideri il grafico, formato da due semirette, della funzione f , definita su tutto R, riportato in figura
Figura 4: Grafico della funzione dell’esercizio 10.
a) Calcolare f (−4), f(0) e f(4)
f(−4) = f(0) = f(1) =
b) Calcolare, se esistono, i limiti lim
x→0−f(x), lim
x→0+f(x) c) Nel caso esista, calcolare il limite
xlim→0f(x)
oppure, nel caso non esista, giustificare il motivo per cui non esiste
d) Indicare se la funzione è invertibile, motivando la risposta. Inoltre, nel caso in cui non sia invertibile proporre una restrizione del dominio in cui lo è.
e) Calcolare l’immagine di f .
f) Dall’esame del grafico, proporre una possibile legge (ossia, una funzione f (x)) che rappresenta il grafico stesso.
g) Calcolare, se esistono,
x→−∞lim f(x), lim
x→+∞f(x)
h) Determinare un valore di α per cui l’equazione f (x) = α ha infinite soluzioni.
i) Osservando il grafico dato, risolvere le seguenti disequazioni
f(x) < 1 . . . . f(x) ≤ 1 . . . . f(x) ≥ −2 . . . . j) Calcolare f (f (4) − 5) = . . . .
Si consideri la seguente funzione
f(x) =
sin(x) , x≤ 0
2 · cos(x) , x > 0 a) Disegnare il grafico di f (x).
Figura 5: Piano cartesiano per la domanda a) dell’Esercizio 11.
b) Disegnare il grafico di |f(x)|.
Figura 6: Piano cartesiano per la domanda b) dell’Esercizio 11.
c) Trovare tutte le soluzioni negative (ossia, x < 0) dell’equazione f (x) = 1.
d) La funzione f è continua su R? In caso negativo, quali sono le ascisse dei punti di discontinuità?
e) Determinare, se possibile, α ∈ R per cui l’equazione f(x) = α non ha soluzione.
Es. 12
Fornire l’esempio di una funzione f limitata e definita su tutto R che soddisfa alle seguenti condizioni (attenzione: si parla di limiti destro e sinistro!)
xlim→0+f(x) = 1 mentre non esiste lim
x→0−f(x)
Es. 13
Fornire l’esempio di una funzione f definita in R\{0} che soddisfa alle seguenti due condizioni
xlim→0f(x) = +∞, lim
x→+∞f(x) = 0.
Esiste una siffatta funzione dispari? Perché?
Es. 14
Calcolare i seguenti limiti
a) lim
x→0
cos(x2) ·e2x− 1 sin(x)
, b) lim
x→+∞
x· ln
1 + 1
x
, c) lim
x→1−
sin π2x 1 − x Es. 15 (⋆)
Calcolare, nell’ordine (ossia, prima a) e poi b)), i seguenti limiti
a) lim
x→+∞
√x+ 1 −√
x , b) lim
x→+∞
e√x+1− e√x e√x· sin
√1x
Es. 16 (⋆)
Sia f una funzione dispari, continua e definita su R che soddisfa le seguenti condizioni i) f (1) = 1, ii) lim
x→+∞f(x) = 3 a) Dimostrare che f (−1) = −1.
b) Tenendo presente il punto a), dimostrare che esiste ξ ∈ [−1, 1] tale che f(ξ) = 0.
c) E’ vero che esiste η ∈ [−1, 1] tale che f( f(η) ) = 0?
d) E’ possibile trovare ν > 0 tale che
f(x) > 2 ∀ x > ν ? e) Si può dire che Im(f ) ⊂ [−1, 1]? Perché?
f) Calcolare, se possibile,
x→+∞lim
sin( esin(x)· f(x) + cos(x) ) x
