La maggior parte

Elettrostatica

La maggior parte

dei fenomeni fisici

che si verificano attorno a noi sono dovuti a forze elettromagnetiche:

9

forze tra atomi e molecole

9

forze chimiche ⇒

vita

!

9

forze d’attrito

9

forze di resistenza viscosa

9

forze elastiche e di coesione

9

forze legate al magnetismo terrestre

9 luce è onda elettromagnetica

La tecnologia moderna è basata più del 99%

sull’ elettromagnetismo !!

[radio, televisione, motori, calcolatori, apparecchi elettronici, …]

Tutti i fenomeni che avvengono su scale superiori alle dimensioni del nucleo atomico sono

alcuni natura gravitazionale

grandissima parte natura elettromagnetica

natura elettromagnetica dei fenomeni non appare a prima vista

è rimasta ignota fino a 2 secoli fa

Perché ?

r forza elettrica : attrattiva e repulsiva

r materia : cariche negative e positive esattamente uguali

⇓

il mondo dell’elettromagnetismo è stato

completamente scoperto dall’ indagine scientifica

XVI secolo: prime osservazioni sistematiche di fenomeni elettrici e magnetici;

…. : Coulomb, Galvani, Volta, Oersted, Ampère, Faraday

1865: equazioni di J.K. Maxwell

teoria completa dell’ elettromagnetismo classico relativisticamente corretto

descrizione del mondo macroscopico

XX secolo: R.P. Feyman, J. Shwinger e Tamanaga

elettromagnetismo quantistico:

spiega i fenomeni su scala atomica e inferiore, interazione tra particelle cariche e campo em.

Carica Elettrica

[evidenza sperimentale esistenza forze elettrostatiche]

piccoli pezzetti di carta

si attaccano fra loro e al pettine in una giornata secca

strofinando palloncino sui capelli in una giornata secca

palloncino e capelli si elettrizzano

attrazione repulsione

strofinando bacchetta di vetro con seta trasferisco

cariche elettriche da vetro a seta

r esiste carica positiva e negativa

r cariche dello stesso tipo si respingono, di tipo diverso si attraggono

Struttura elettrica della materia

massa:

m

_p

≅ m

_n

≅ 1.67 10

^-27

kg

m

_e

≅ 9.11 10

^-31

kg ≅ 1/1836 m

_p

dimensioni:

d

_e

< 4 10

^-18

m = 4 am [puntiformi]

d

_p

≅ d

_n

≅ 10

^-15

m = fm [formati da quark]

d

_q

< 0.2 10

^-18

m

carica elementare [più piccola carica libera]:

q

_e

≡ q

_p

= 1.602 10

^-19

C q

_n

≡ 0

la carica ^è quantizzata:

q = n

×

q

_e

n = ±1,

±2, ±3, …

3 costituenti elementari:

protone neutrone elettrone

materia:

numero enorme di costituenti elementari carichi (≈10

²³

) globalmente neutra

Coulomb

Conservazione della carica elettrica

non è possibile creare o distruggere carica elettrica ( il valore totale deve rimanere invariante)

posso solo fare trasferimenti di cariche tra corpi

annichilazione

e

^-

+ e+ → ^{2 γ}

massa ⇒ energia [E=mc

²

] carica conservata

decadimenti radioattivi

23892

U →

²³⁴₉₀

^{Th +}

⁴₂

^He

reazioni nucleari

4420

Ca + p →

⁴⁴₂₁

^{Sc + n}

La carica elettrica totale dell’Universo è costante

Isolanti e Conduttori

all’interno di un oggetto posso avere movimento di carica conduttori:

le cariche possono muoversi

relativamente libere:

quando sono caricati in una certa zona, la carica si distribuisce a tutto il materiale [rame, alluminio, argento, …]

isolanti:

le cariche NON si muovono liberamente:

si caricano per strofinio, solo nella zona strofinata [vetro, bachelite, …]

semiconduttori:

materiali di proprietà intermedie:

ci sono meno cariche libere che nel conduttore [silicio, germanio, …]

MOLTO utili in elettronica

4 avvicinando corpo carico a conduttore neutro

le cariche si ridistribuiscono

4 collegando conduttore a terra alcune cariche escono

4 rimuovendo collegamento a terra conduttore resta carico

4 allontanando corpo carico

carica su conduttore si distribuisce uniformemente

conduttore neutro si carica per induzione [senza contatto]

isolante neutro si polarizza

[senza contatto]

si forma strato di carica superficiale

Legge di Coulomb ^[1785]

scala graduata:

forzafra sfere cariche è proporzionale ad angolodi torsione

bilancia di torsione

[simile esperimento Cavendish]

2 2 1

r q F ∝ q

validità:

Îcariche puntiformi Î ferme

Î nel vuoto

esperimento difficile:

⇒ poca precisione (≈ qualche %);

⇒ non convince che

esponente sia 2 e non 2+ε validità della legge è stabilita con precisione indirettamente [Teorema di Gauss]

→

→

→

→

−

=

=

21 12

2 12 2 1 0

12 4

1 F F

r r q F q

πε

2 2 9

0

2 2

12 0

/ 10

99 . 4 8

1

/ 10

8542 . 8

C m N

m N C

⋅

×

=

⋅

×

= ⁻

πε ε

azione e reazione

Confronto Coulomb-Newton

attrattiva o repulsiva

2 2 9

0

10 4 9

1

C

k = ≈ × Nm

πε

→

→

=

¹₂² ₁₂

4

0

1 r

r q F

_E

q

πε

→

→

= −

¹ ₂ ²

r

₁₂

r

m G m

F

_G

solo attrattiva

2 2

10

11

67 .

6 kg

G ≈ ×

⁻

Nm

G

E F

F >>

39 27

31

2 19

2 11 2

2 9 2

2

0

) 10 10

67 . 1 10

9 (

) 10

6 . 1 ( 10

67 . 6

10 9

) 4

( 1 )

( ) (

× ≈

×

×

×

= ×

=

−

−

−

− kg kg

C kg

Nm C Nm

m m

q G ep

F

ep F

p e

e G

E

πε

esempio: forze elettrone-protone

C q

q

kg m

kg m

p e

p e

19 27 31

10 6 . 1

10 67 . 1

10 9

−

−

−

×

≈

=

×

≈

×

≈

possibilità di osservare forze gravitazionali:

4

mescolamento cariche positive e negative

4ESATTA

equaglianza fra esse

esempio ^{: se,} per assurdo ^, p ^ed e

NON

avessero carica esattamente uguale

q

_p

= 1.000000001 q

_e

= q

_e

+ 10

^-9

q

_e

calcolare F

_E

con cui si respingono due sfere di ferro di 1 kg alla distanza di 1 m.

2000 10

2

) 10 6

. 4 ( 10 4 9

7

2 2 9

0 2

=

×

≈

×

×

×

≈

=

⁻

N q N

F

_E

πε

Fe : 26 elettroni

26 protoni ⇒ A = 55

29 neutroni

1 mole = 55 gr

N

_A

= 6.02 × 10

²³

atomi in ciascuna sfera:

N_atomi = n_moli × N_A = (m_sfera/M_mole) × N_A

= (1000/55) × N_A = 1.1 × 10²⁵ N_elettroni = 26 × N_atomi =2.8 × 10²⁶

carica sfera:

q = 2.8 × 10²⁶ × q_e× 10^-9 = 4.6 × 10^-2 C

tonnellate !!

[peso di circa

1000

elefanti]

principio di sovrapposizione

[principio di indipendenza delle forze simultanee]

forza risultante

su ogni particella è

somma vettoriale

di forze dovute a tutte le

altre particelle

∑

∑

^{→ →}

→

= =

i

i i

i i

i

u

r q q

F

F

₂

0

0

4

1 πε

4

risultato sperimentale

4

conferma carattere vettoriale legge di Coulomb

Campi Elettrici

q₁

q₀

F₁₀

→

→

→

=

=

r u q q

r u q F q

2 1 0 0

2 1 0 0 10

4 1 4

1

πε πε

q

₁ [sorgente]

esercita su q

₀

una forza proporzionale a:

4

q

₀ [carica esploratrice]

4

termine vettoriale

dipendente da

q₁e da posizione, detto campo elettrico prodotto da q₁

→

→

= = u

r q q

r F

E

def 2

1 0 0

10

4 ) 1

( πε

r

)

0

(

10

q E r

F

^→

=

^→

dimensioni:

[E] = [F]/[q] ⇒

N/C

asimmetria fra le cariche:

q

₁

origina un’entità presente in tutti i punti dello spazio q

₀

sperimenta la forza

⇒ il campo esiste anche quando q

₀

non c’è !!!

telo elastico: modello visivo di campo E

Q+

q -

Q+ [ ^sorgente ] Æ deforma il telo

q – [ carica di prova ] Æ segue curvatura del campo

definizione operativa di campo

il campo elettrico E(r) si manifesta, ponendo in r una carica esploratrice q

₀

,

mediante la forza q

₀

E(r)

⇓

utilizzo una piccola carica q

₀

per non perturbare le cariche responsabili del campo:

→ →

= q

0

E F

def

F

^→

→

C N Q

E ] = [ F ] ⇒ [

0 0

0

lim q E =

q →

se carica di prova q₀è grande distribuzione di carica

sorgente viene ad essere modificata

principio di sovrapposizione:

forza che agisce su q

₀

dovuta ad n cariche puntiformi

E q r u

q q F

F

i

i i

i i

i

r

2 0 0

0

4

1 =

=

= ∑

^→

∑

^→

→

πε

n

E E E E

n

q F q

F q

F q

F q

E F r r r r r r r r r

+ + +

+

= +

+ +

+

=

→

=

...

...

_{1 2 3}

0 0

3 0

2 0

1 0

∑

=

→

→

=

ⁿ

i

i i

i

u r E q

1 2

4

0

1 πε

campo elettrico totale

in un punto è

somma vettoriale

di campi in quel punto dovuti a tutte le

altre particelle

esempio: campo elettrico del dipolo

dipolo elettrico = carica puntiforme positiva q e negativa –q poste a distanza 2a.

a) trovare il campo elettrico E dovuto al dipolo lungo l’asse y nel punto P a distanza y dall’origine.

b) trovare il campo nei punti y >> a lontani dal dipolo.

2 2 2 2

1 a y

k q r k q E

E _{e e}

= +

=

=

a)In P i campi E₁ed E₂generati dalle cariche

hanno uguale intensità, essendo le cariche poste alla stessa distanza da P:

il campo totale

ha componente y nulla, dato che i campi dovuti

alle due cariche hanno componenti y uguali ed opposte.

La componente x del campo E totale è invece pari al doppio della componente x di ciascun campo:

b) A grandi distanze dal dipolo posso trascurare il termine a²nel denominatore, ottenendo:

a grandi distanze il campo del dipolo va ha zero più

velocementedel campo prodotto da una carica puntiforme (E ≈ 1/y²) , dato che i campi prodotti dalle singole cariche (positiva e negativa) tendono ad elidersi

2

1 E

E Er r r

+

=

(

^{2 2}

)

^3/2

2 2 2

2 2

2

2 2 2 2

2 2 cos 2

/ /

cos

cos 2

y a k qa y

a a y

a k q y

a k q E

y a a r a

y a k q E

e e

e e

= + + +

+ =

=

+

=

=

= +

θ θ

θ

3 3

1 2

y y

k qa

E = _e ≈

N.B.molte molecole, come HCl, possono essere descritte come dipoli

permanenti: uno ione positivo (H⁺) è infatti combinato con uno ione negativo (Cl^-).

Inoltre atomi e molecole, quando posti in campi elettrici, si comportano come dipoli.

Distribuzioni Continue di Cariche

3 2

/ /

/ /

/ /

m C V

Q

m C A

Q

m C l

Q

def def def

⇒

≡

⇒

≡

⇒

≡

σ σ λ

densità di carica

oggetti che ci circondano sono costituiti da enorme quantità (miliardi) di cariche sparse su

4

linea lunghezza l

4

superficie area A

4

volume volume V

campo prodotto

da elemento di carica ∆q_i :

∑

^∆

=

= ∆

∆

→

→

i

i i

i e

i i

i i e

r r k q

E

r r k q E

ˆ ˆ

2 2

campo totale discreto

r r k dq r r

k q

E _e

i

i i

i

q_i e ˆ ˆ

lim _{2 2}

0

∑

^{∆ =}

∫

= ∆ →

→

ds dq = λ ⋅

da dq = σ ⋅

dV dq = ρ ⋅

utilizzando le densità

trovo i campi prodotti

da distribuzioni di cariche continue spaziali

esempio: campo elettrico di un anello carico

Un anello di raggio a ha una densità lineare di carica positiva uniforme, con carica totale Q. Calcolare il campo elettrico lungo l’asse dell’anello, in un punto P posto a distanza x dal centro dell’anello stesso.

r2

k dq dE = _e

Idea chiave:

• calcolo il campo dE prodotto

da un elemento infinitesimo di carica dq, che posso supporre puntiforme

• sommo i contributi dovute alle cariche dq distribuite sull’anello

Tale campo ha componenti

delle quali la componente y si cancella con la

componente y dell’elemento di carica dq posta sul lato opposto dell’anello.

Il campo E in P avrà quindi solo componente x.

Sapendo che

Integro ora su tutto l’anello:

θ θ sin cos dE dE

dE dE

y x

=

=

a dq x

k x r x r k dq dE

dE

r x a

x r

e e

x 2 2 2 3/2

2 / 1 2 2

) cos (

/ cos

, ) (

= +

=

=

= +

=

θ

θ

a Q x k x E

a dq x

k x a dq

x k x dE

E

e x

e e

x x

2 / 3 2 2

2 / 3 2 2 2

/ 3 2 2

) (

) (

) (

= +

= +

= +

=

∫ ∫ ∫

N.B. A grandi distanze E≈1/x² (carica puntiforme)

esempio: campo elettrico di un disco carico

Un disco di raggio R possiede una densità di carica positiva uniforme σ.

Qual è il campo elettrico nel punto P a distanza x dal disco lungo il suo asse?

2 / 3 2 2 0 2

/ 3 2 2 2

/ 3 2

2 ( )

2 4

) (

) 2 ( )

( r x

rdr x

x r

dr r k x

x r k xdq

dE _{e e}

= +

= +

= +

ε σ π

σ

Idea chiave:

• scompongo il disco in sottili anelli concentrici

• calcolo il campo dE prodotto da ciascun anello

• sommo i contributi dovuti a tutti gli anelli

Su un anello di raggio r e spessore radiale de è depositata una carica

la quale genera un campo sull’asse del disco pari a

Integro ora su tutto l’anello:

Tale integrale è della forma

da cui:

∫

∫

^{= + −}

= x ^R x r r dr

dE E

0

2 / 3 2 2 0

) 2 ( ) 4ε (

σ

dr r dX

m r x X m con

dX X X

m

m , (2 )

2 ), 3

( 1,

2 2

1 = + =− =

= +⁺

∫

dr r dA

dq =σ =σ(2π )

x





−

 =

 +

= x (x² r²)^{− 21/} 1 x E

R σ

σ   + 

 

 − _{0 0} ^{2 2}

0 1/2 2

4ε ε x R

N.B. A grandi dimensioni (R>>x), il disco tende ad un piano infinito il cui campo è pari a

2ε0

= σ E

Linee di Campo Elettrico

[Rappresentazione grafica campo elettrostatico]

Il campo elettrico è vettoriale

E

→

Faraday: rappresentazione geometrica dei campi vettoriali mediante linee di forza:

curva orientata

diretta punto per punto

in direzione e verso tangente al campo in quel punto

numero linee

di forza per unità di area è proporzionale ad E

E

è più

intenso

dove linee sono

fitte

E è

debole

dove linee sono

rade:

B

A

E

E r r

>

4

sono infinite

4

non si incrociano mai

4

rappresentano direzione, verso, intensità

4

escono da +q, entrano in -q

4

possono venire o andare a ∞

proprietà linee campo elettrico E:

esempi linee di campo

carica puntiforme

due cariche puntiformi

conduttori carichi

linee di forza

attorno a conduttori carichi:

semi d’erba galleggianti su un liquido isolante

sferette con cariche opposte

piastra

carica

Moto di cariche in campo elettrico

E q F r _e r

forza elettrica su particella =

massa m, carica q in campo elettrico E:

se NON esistono altre forze:

m E a q

a m E

q F

_e

r r r r

r = = ⇒ =

⁴

costante se E uniforme 4 se q > 0

a

è nel verso di E 4 se q < 0

a

^{è opposta ad E}

esempio:

campo E tra

due piastre metalliche è uniforme

rilascio elettrone in tale campo con velocità iniziale

costante m j

e E

ar = − r =

i v v r =

_{i i}

r

applico equazioni cinematica con v_xi = v_i, v_yi = 0

m t t eE

a v

v

costante v

t a v

v

y yi y

i x

xi x

−

= +

=

=

= +

=

2 2

0 0

2 1 2

1 t

m t eE

a y

y

t v t v x x

y f

i x f

−

= +

=

= +

⇒

=

moto parabolico

!!!

[analogo a moto particella in campo gravitazionale]

applicazione: stampante

a getto d’inchiostro

si scrivono le lettere

spruzzando piccolissime gocce d’inchiostro

elettrizzate

G = serbatoio inchiostro C = unità di carica

segnale ingresso = computer [decide la carica q

da immettere sulla goccia]

la goccia carica colpisce la carta

in posizione determinata dai valori di E e q

ogni carattere richiede circa 100 gocce

10

⁵

gocce/sec

Flusso Elettrico

[trattazione quantitativa linee di campo]

flusso elettrico: grandezza proporzionale a numero linee di campo

E uniforme perpendicolare A

E

= EA Φ

E uniforme

NON perpendicolare A

θ cos

E

= EA Φ

in generale:

i i

i i

i E

A E

A E r r

∆

⋅

=

∆

=

∆Φ cos θ

∑ ^{⋅ ∆ =} ∫ ^⋅

=

Φ

∆ →

superficie i

A i

E

E A E d A

i

r r

r r

lim

0

]

2

] [ [

] ] [

][

[ ]

[ m

C A N

Q A F

E

= E = ⇒

dimensioni, Φ

unità di misura:

flusso attraverso superficie chiusa

i i

i i

i E

A E

A E r r

∆

⋅

=

∆

=

∆Φ cos θ

i def

A =

∆ r

vettori area

normali alla superficie verso esterno

< 0

∆Φ

_E

∆Φ

_E

= 0 ∆Φ

_E

> 0

flusso totale attraverso superficie chiusa è proporzionale a numero di linee di forza uscenti dal volume racchiuso

numero di linee di forza entranti

MENO

nel volume

∫

∫ ^{⋅ =}

=

Φ E d A E

_n

dA

superficie E

r r

esempio: flusso attraverso un cubo

dato campo elettrico E parallelo asse x

trovare flusso di E

attraverso cubo di lato l

5

6

flusso attraverso cubo = somma flussi attraverso ogni faccia E è perpendicolare alle facce 3, 4, 5 e 6, quindi:

0 )

6 ( )

5 ( )

4 ( )

3

( = Φ = Φ = Φ =

Φ

_{E E E E}

Il flusso di E si riduce quindi al flusso di attraverso le facce 1 e 2:

0

) 0 cos(

) 180 cos(

2 2

2 1

0 2

0 1

2 1

= +

−

=

+

−

=

+

=

⋅ +

⋅

= Φ

∫

∫

∫

∫

∫

∫

El El

dA E

dA E

EdA EdA

A d E A

d

E

E

r r r

r

ugual numero di linee di campo entranti ed uscenti

Il flusso totale attraverso il cubo è nullo

Teorema di Gauss

conseguenza di:

4 Φ(E) proporzionale linee di campo 4 n. linee campo è proporzionale a carica

4 linee di campo uscenti da q attraversano superficie

conseguenza di:

4 legge di Coulomb E ∝ 1/r² 4superficie sfera ∝ r²

E

∝ q Φ

E

∝ r Φ

teorema di gauss:

flusso elettrico totale attraverso una

qualunque superficie chiusa è uguale alla carica totale contenuta all’ interno della superficie divisa per ε

₀

ε

ⁱⁿ0 E

= q Φ

[legame fra flusso attraverso superficie chiusa e carica al suo interno]

carica

puntiforme

q

al centro di

sfera

raggio

r:

E perpendicolare superficie

i i

i E A E A

A

Er⋅∆r = ∆ cos0⁰ = ∆

0 2

2 0

) 4 4 )(

( 1

π ε πε

r q r

EA q dA

E dA E A

d

E = E⋅ = ⋅ = = = =

Φ

∫

^{r r}

∫ ∫

applicazioni: calcolo di E

[distribuzioni simmetriche di cariche]

carica

puntiforme

q

E perpendicolare

superficie sferica di raggio r con carica al centro

E costante

su tutti punti superficie

2 0

0 2

0

4 1

) 4

(

r E q

r q E

dA E

dA E

A q d

E

ⁱⁿ

E

πε

π ε ε

=

=

=

=

⋅

=

⋅

= Φ

∫

∫

∫ ^{r r}

campo prodotto da

carica puntiforme

come dedotto da

legge di Coulomb

analogamente

: campo E prodotto da:

4

sfera

uniformemente carica 4

filo

uniformemente carico 4

piano

infinito

[vedi esercizi]

applicazioni: conduttore carico isolato

in un conduttore carico isolato la carica si dispone totalmente sulla superficie esterna.

nessuna carica può trovarsi all’ interno

ecceso di carica:

→ campo elettrico E≠0

→ moto di cariche

All’ equilibrio elettrostatico moto di cariche cessa

→

E = 0

→

per ogni Σ

→

Φ E ( q = 0 ) = 0 entro ogni Σ

⇒ la carica deve essere sulla superficie del conduttore Σ

applicazioni: schermo elettrostatico

campo elettrico interno ^a

conduttore cavo è sempre nullo

E=0

N.B. il conduttore può anche avere aperture/struttura a rete [discontinuità che NON si notano a grandi distanze

⇒ utilizzo in laboratorio per proteggere delicati strumenti da campi elettrici]

Energia Potenziale e Potenziale

la forza di Coulomb è conservativa

il lavoro fatto dalla forza elettrostatica per spostare una carica q₀

in presenza di una carica q NON dipende dal percorso

A

B

q q

₀

r

_A

r

_B

rˆ



 



 −

 =

 

−

=

=

=

⋅

=

⋅

=

⋅

=

∫

∫

∫

∫

^{→ → → →}

B A B

A

B

A B

A

B

A B

A e

r r q q

r q q

r dr q q

s d r r

q q

ds E q ds F L

1 1 4

1 4

1 ˆ 4

1 4

0 0

0 0

2 0 2 0

0 0

0

πε πε

πε

πε ^r

energia potenziale U

[funzione di sola posizione carica q]

costante r

q q r

U = 1 +

) 4 (

0

πε

0

B A

B

A

U U

U s

d E q

L =

⁰

∫ ^r ⋅ ^r = − ∆ = −

N.B. nel caso della

forza peso

:

( )

g a

b

b a

g

U y

mg y

mg

j y y

j mg

r g m r

F L

∆

−

=

−

=

−

⋅

−

=

∆

⋅

−

=

∆

⋅

= r r

r r

r r _y

b = posizione iniziale

y_a = posizione finale

q

0

V U

def

≡

potenziale = energia potenziale per unità di carica

4 U ^e V

^sono

^scalari

4 energia potenziale U: proprietà del sistema carica-campo

4 ^potenziale V: proprietà solo del campo se tolgo la carica di prova il potenziale esiste ancora

[è dovuto a carica sorgente]

 

 



 −

=

⋅

−

∆ =

≡

−

=

∆ ∫

A B

e

B

def A A B

r q r

k

s d q E

V U V

V

1 1

0

r r

per carica puntiforme

differenza

di potenziale

il potenziale è definito a meno di una costante

0 ) (

) (

0

0

=

⋅

−

=

∫

^{→ →}

r V

dr E P

V

P

r

di solito si pone r₀=∞

V q U

s d E q L

B

A

∆

−

=

∆

−

=

⋅

=

⁰

∫ ^{r r}

⁰

dimensioni:

[V] = [U]/[q] ⇒ 1 Volt = 1 V = 1 J/C

[E] =

[ ∆ V] / L ⇒ 1 N/C = 1 V/m

applicazioni

campo elettrico uniforme

campo elettrico

Ed ds

E ds

E

s d E V

V V

B

A B

A

B

A A B

−

=

−

=

−

=

⋅

−

=

−

=

∆

∫

∫

∫

00

cos

r r

linee di campo puntano da potenziale maggiore a potenziale minore

A

B

V

V <

carica puntiforme

Q+: repulsivo Q-: attrattivo

r V q

4

0

1

= πε

la forza elettrica fa muovere le cariche

positive

da punti a potenziale maggiore verso punti a potenziale minore

Ricavare Campo elettrico da Potenziale

campo

E

e potenziale V sono determinate dalla

distribuzione delle cariche

∫ ^⋅

−

=

∆

B

A

s d E

V r r

s d E dV r r

⋅

−

=

il potenziale V NON varia

in direzioni perpendicolari al campo E

⇓

z E V

y E V

x E V

z y x

∂

− ∂

=

∂

− ∂

=

∂

− ∂

=

le componenti del campo elettrico

si ottengono dalle

derivate di parziali

di

V

, cambiate di segno

N.B. il calcolo di E come derivata del potenziale (funzione scalare) è

più semplice

che non vettorialmente

⇒ in Fisica i potenziali sono molto usati !

esempio:

...

...,

) 6 3 (

) 3 ( )

3 ( 3

2 2

2 2

2 2

∂ =

−∂

=

∂ =

−∂

=

−

∂ =

− ∂

∂ =

−∂

∂ = + +

−∂

∂ =

−∂

=

+ +

=

z E V

y E V

x xy y x

x y x x

yz y

y x x

E V

yz y

y x V

z y

x

insieme di cariche puntiformi

date n cariche puntiformi, per il principio di sovrapposizione

∑

∑

= =

=

=

ⁿ

i i

n i i

i

r

V q V

0 1

1

4

1 πε

N.B. è una somma algebrica e non vettoriale !!!

esempio: potenziale dovuto ad un dipolo a)

potenziale elettrico in punto P

dell’asse del dipolo:

2 2 0 0

2

0 1 2

1

2 4

1 4

1

4 1

a x

qa a

x q a

x q

r V q

V

i i

i i

i

= −



 





+ + −

= −

=

=

∑ ∑

=

=

πε πε

πε

b)

potenziale elettrico in punto P molto lontani dal dipolo:

2 0 2

2 0

2 4

1 2

4 1

x qa a

x V qa

a

x πε

πε − ^→>>

=

c)

campo elettrico in P per x>>a:

3 0 2

0

1 4

4 1

4 2

x qa x

dx d qa dx

E_x dV

πε

πε ^_ ⁼

 



− 

=

−

=

Superfici equipotenziali

= 0

⋅

−

=

∆

−

=

∆

−

= ∫

^B

A

s d E q V

q U

L r r

s d E r r

⊥

luogo geometrico dei punti con

medesimo

potenziale

⇓

E

NON compie lavoro su tali superfici

L

_I

= L

_II

= 0 L

_III

= L

_IV

sono perpendicolari alle linee di campo

[altrimenti E avrebbe componente sulla superficie e si compirebbe lavoro per muovere una carica di prova

su tale superficie !!!]

carica puntiforme conduttore carico