Diagonalizzabilit` a di un endomorfismo

(1)

Diagonalizzabilit` a di un endomorfismo

Due matrici A, B ∈ M_n(K) si dicono simili, se esiste C ∈ GLn(K) tale che B = C⁻¹AC.

Osservazione 0.1. Matrici simili hanno lo stesso determinante.

Il prossimo risultato mostra che matrici associate ad un endomorfismo sono simili.

Proposizione 0.2. Sia V un K–spazio vettoriale tale che dim(V ) = n, siano E = {e₁, . . . , e_n}, F = {f₁, . . . , f_n} due basi di V e sia F : V −→ V un endomorfismo. Se M è la matrice di passaggio da E ad F , AE,E è la matrice associata ad F rispetto alla base E e AF ,F è la matrice associata ad F rispetto alla base F , allora AF ,F = M⁻¹AE,EM Proof. Sia v ∈ V . Allora esistono (e sono uniche) le n–uple (x₁, . . . , x_n), (y₁, . . . , y_n) ∈ Kⁿ tali che v = x₁e₁+ . . . + x_ne_n = y₁f₁+ . . . + y_nf_n. Inoltre





 x₁ x₂ ... x_n







= M





 y₁ y₂ ... y_n





 ,





 y₁ y₂ ... y_n







= M⁻¹





 x₁ x₂ ... x_n





 .

Poich`e F (v) ∈ V , allora esistono (e sono uniche) le n–uple (x⁰₁, . . . , x⁰_n), (y⁰₁, . . . , y⁰_n) ∈ Kⁿ tali che F (v) = x⁰₁e1+ . . . + x⁰_nen= y₁⁰f1+ . . . + y_n⁰fn. Inoltre





 x⁰₁ x⁰₂ ... x⁰_n







= M





 y₁⁰ y₂⁰ ... y⁰_n





 ,





 y⁰₁ y⁰₂ ... y⁰_n







= M⁻¹





 x⁰₁ x⁰₂ ... x⁰_n





 .

Dalla Proposizione ?? si ha che





 y⁰₁ y⁰₂ ... y⁰_n







= M⁻¹





 x⁰₁ x⁰₂ ... x⁰_n







= M⁻¹AE,E





 x₁ x₂ ... x_n







= M⁻¹AE,EM





 y₁ y₂ ... y_n





 .

Esempi 0.3. 1. Sia F : (x, y, z) ∈ R³ 7−→ (2x + y, y − z, 2y + 4z) ∈ R³. La matrice associata ad F rispetto alla base canonica B = {e₁, e₂, e₃} di R³ `e

AB =





2 1 0

0 1 −1

0 2 4



.

Si consideri la seguente base di R³: B⁰ = {v1 = (0, 0, 1), v2 = (0, 1, 1), v3 = (1, 1, 1)}. Sia M ∈ M3(R) la matrice di passaggio da B a B⁰, allora

(0, 0, 1) = 0e1 + 0e2+ 1e3, (0, 1, 1) = 0e1+ 1e2+ 1e3, (1, 1, 1) = 1e1+ 1e2+ 1e3,

(2)

M =





0 0 1 0 1 1 1 1 1



. Mentre la matrice di passaggio da B⁰ a B risulta

M⁻¹ =





0 −1 1

−1 1 0

1 0 0



. Allora la matrice associata ad F rispetto alla base B⁰ `e

AB⁰ = M⁻¹ABM =





5 6 6

−1 −1 −3

0 1 3



.

Infatti

F (v1) = (0, −1, 4) = 5v1−1v2+0v3, F (v2) = (1, 0, 6) = 6v1−1v2+1v3, F (v3) = 6v1−3v2+3v3. Sia V un K–spazio vettoriale tale che dim(V ) = n e sia F : V −→ V un endomorfismo.

F si dice diagonalizzabile se esiste una base E di V tale che la AE,E, matrice associata ad F rispetto alla base E , risulti diagonale.

AE,E =







λ₁ 0 . . . 0 0 λ₂ . . . 0 ... ... . .. ...

0 0 . . . λ_n





 ,

Se questo accade, allora E `e detta base diagonalizzante per F . Analogamente, una matrice A ∈ M_n(K) si dice diagonalizzabile se `e simile ad una matrice diagonale.

Osservazione 0.4. Sia B una base di V e sia F : V −→ V un endomorfismo. F `e diagonalizzabile se e solo se la matrice associata ad F rispetto alla base B `e diagonalizzabile.

Osservazione 0.5. Si noti che F : V −→ V `e un endomorfismo digonalizzabile ed E = {e₁, . . . , e_n} `e una base diagonalizzante per F se e solo se esistono λ_i ∈ K tali che F (e_i) = λ_ie_i, 1 ≤ i ≤ n.

Sia V un K–spazio vettoriale e sia F : V −→ V un endomorfismo. Un vettore 0 6= v ∈ V si dice autovettore di F se esiste uno scalare λ ∈ K tale che F (v) = λv. Lo scalare λ si dice autovalore di F (relativo all’autovettore v).

Sia A ∈ M_n(K) e sia F : Kⁿ −→ Kⁿ l’endomorfismo la cui matrice associata rispetto alla base canonica è A. Un autovettore di A è un autovettore di F , mentre un autovalore di A è un autovalore di F .

Lemma 0.6. L’autovalore relativo ad un autovettore `e univocamente determinato.

(3)

Proof. Siano λ, µ ∈ K autovalori relativi all’autovettore v. Allora F (v) = λv = µv e quindi (λ − µ)v = 0. Poich`e v 6= 0, si ha che λ − µ = 0 e pertanto λ = µ.

Sia V_λ(F ) = {0 6= v ∈ V | F (λv) = λv} l’insieme degli autovettori di F relativi all’autovalore λ ∈ K. Il prossimo risultato mostra che Vλ(F ) ∪ {0} `e un sottospazio vettoriale di V .

Proposizione 0.7. V_λ(F ) ∪ {0} `e un sottospazio vettoriale di V .

Proof. Siano v₁, v₂ ∈ V autovettori dell’endomorfismo F : V −→ V relativi allo stesso autovalore λ e siano c₁, c₂ ∈ K. Se c1v₁+ c₂v₂ 6= 0, allora il vettore c₁v₁+ c₂v₂`e ancora un autovettore di F relativo all’autovalore λ. Infatti F (c₁v₁+ c₂v₂) = c₁F (v₁) + c₂F (v₂) = c1λv1+ c2λv2 = λ(c1v1+ c2v2).

Vλ(F ) `e detto autospazio relativo all’autovalore λ. Inoltre autovettori relativi ad autovalori distinti risultano linearmente indipendenti, come mostrato dal prossimo risultato.

Proposizione 0.8. Se λ₁, . . . , λ_n ∈ K sono a due a due distinti e v1, . . . , v_n ∈ V sono autovettori relativi agli autovalori λ₁, . . . , λ_n, rispettivamente, allora v₁, . . . , v_n sono linearmente indipendenti.

Proof. Per induzione su n. Base d’induzione. Per n = 1, v₁ `e linearmente indipendente, in quanto v₁ 6= 0.

Ipotesi d’induzione: la tesi `e vera per n − 1.

Tesi d’induzione. Siano v₁, . . . , v_n ∈ V autovettori relativi agli autovalori λ₁, . . . , λ_n, rispettivamente. Siano c1, . . . , cn∈ K tali che c¹v1+ . . . + cnvn= 0, allora

λ₁c₁v₁+ . . . + λ₁c_nv_n = λ₁0 = 0 (0.1) e

F (c₁v₁+. . .+c_nv_n) = c₁F (v₁)+. . .+c_nF (v_n) = c₁λ₁v₁+. . .+c_nλ_nv_n= F (0) = 0. (0.2) Sottraendo la (0.1) dalla (0.2), si ha

c₂(λ₂− λ₁)v₂+ . . . + c_n(λ_n− λ₁)v_n= 0.

Per ipotesi d’induzione v₂, . . . , v_n sono linearmente indipendenti, quindi c₂(λ₂ − λ₁) = . . . = c_n(λ_n− λ₁) = 0. Poich`e λ_i − λ₁ 6= 0, per ogni i = 2, . . . , n, si ha che c₂ = . . . = c_n = 0. Quindi otteniamo che c₁v₁ = 0 e pertanto anche c₁ = 0, essendo v₁ 6= 0, come volevasi.

Sia A ∈ M_n(K) e sia X un’indeterminata. Il determinante della matrice A − XIn `e un polinomio di grado n, p_A(X) = |A − XI_n|, a coefficienti in K nell’indeterminata X, detto polinomio caratteristico di A.

Sia F : V −→ V un endomorfismo, sia E una base di V e sia AE,E la matrice associata ad F rispetto ad E . Allora p_A_E,E(X) `e detto polinomio caratteristico di F e si denota con pF(X). Il prossimo risultato mostra che il polinomio caratteristico di F non dipende dalla base E .

(4)

Lemma 0.9. Matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico.

Proof. Siano A, B ∈ M_n(K) matrici simili. Esiste, pertanto, M ∈ GLn(K) tale che B = M⁻¹AM . Allora B − XI_n = M⁻¹AM − XI_n= M⁻¹(A − XI_n)M . Pertanto |B − XI_n| =

|M⁻¹(A − XI_n)M | = |M⁻¹||A − XI_n||M | = |A − XI_n|.

Il prossimo risultato fornisce un metodo pratico per calcolare autovalori ed autovettori di un endomorfismo F .

Teorema 0.10. Sia V un K–spazio vettoriale tale che dim(V ) = n e sia F : V −→ V un endomorfismo. Allora λ ∈ K è un autovalore di F se e solo se λ è radice del polinomio caratteristico di F . In particolare F possiede al più n autovalori distinti.

Proof. Lo scalare λ è un autovalore di F se e solo se esiste 0 6= v ∈ V tale che F (v) = λv se e solo se (F − λI_V)(v) = 0, dove I_V è l’applicazione identica e F − λI_V : V −→ V è un endomorfismo. Inoltre se E = {v₁, . . . , v_n} è una base di V e AE,E è la matrice associata ad F rispetto ad E , allora AE,E − λI_n è la matrice associata ad F − λI_V rispetto ad E . Pertanto se v = x1v1+. . .+xnvn, allora 0 6= (x1, . . . , xn) ∈ Kⁿè soluzione non–banale del sistema omogeneo la cui matrice associata è A − λIn. Allora si ha che det(A − λIn) = 0.

F possiede al più n autovalori distinti poichè un polinomio di grado n a coefficienti in K possiede al più n radici in K.

Sia λ un autovalore dell’endomorfismo F : V −→ V . Se λ è radice del polinomio caratteristico di F con molteplicità uguale ad m, si dice che l’autovalore λ ha molteplicità algebrica pari ad m. La molteplicità algebrica di λ viene indicata con ma(λ).

Osservazione 0.11. Se λ `e un autovalore di F , dal Teorema 0.10 si ha che m_a(λ) ≤ n.

La dimensione dell’autospazio V_λ(F )∪{0} relativo all’autovalore λ, viene detta molteplicit`a geometrica di λ. La molteplicit`a geometrica di λ viene indicata con m_g(λ). Vale il seguente risultato.

Proposizione 0.12. Se λ `e un autovalore dell’endomorfismo F : V −→ V , allora 1 ≤ m_g(λ) ≤ m_a(λ).

Proof. Sia B = {v₁, . . . , v_n} una base di V e sia A la matrice associata ad F rispetto alla base B. Si noti che un vettore 0 6= v = x1v1 + . . . + xnvn ∈ V appartiene a Vλ∪ {0} se e solo se (x1, . . . , xn) ∈ Kⁿ `e soluzione non–banale del sistema omogeneo di n equazioni nelle n incognite X = (X₁, . . . , X_n)^t

(A − λI_n) X = 0.

Poich`e det(A − λI_n) = 0, si ha che rg(A − λI_n) = r < n. Allora m_g(λ) = dim(V_λ∪ {0}) = n − r ≥ 1.

(5)

Sia d = mg(λ) e sia {e1, . . . , ed} una base di Vλ∪ {0}. Dal Teorema del completamento ad una base esistono n − d vettori di V \ (V_λ∪ {0}), e_d+1, . . . , e_n, tali che E = {e₁, . . . , e_n}

`

e una base di V . Se M `e la matrice associata ad F rispetto alla base E , allora M = λI_d B

0 C

,

dove 0 ∈ M_n−d,d(K) `e la matrice nulla, B ∈ Md,n−d(K) e C ∈ Mn−d(K). Allora il polinomio caratteristico di F risulta

p_F(X) = det(M − XI_n) = (λ − X)^ddet(C − XI_n−d) = (λ − X)^dp_C(X),

dove p_C(X) `e il polinomio caratteristico di C che `e quindi un polinomio di grado n − d in X. Pertanto m_a(λ) ≥ d = m_g(λ).

Il prossimo teorema fornisce un criterio di diagonalizzabilit`a per un endomorfismo.

Teorema 0.13. Sia V un K–spazio vettoriale tale che dim(V ) = n e sia F : V −→ V un endomorfismo. Allora F `e diagonalizzabile se e solo se

i) la somma delle molteplicit`a algebriche degli autovalori di F `e pari ad n,

ii) per ogni autovalore la molteplicit`a geometrica coincide con la molteplicit`a algebrica.

Proof. Siano λ₁, . . . , λ_r, r ≤ n, gli autovalori distinti di F , siano m₁, . . . , m_r le rispettive molteplicità algebriche e Vλ1, . . . , Vλr i rispettivi autospazi. Si supponga che valgano le proprietà i) e ii), quindi m₁+ . . . + m_r = n e dim(V_λ_j) = m_j, 1 ≤ j ≤ r. Siano rispettivamente B₁ = {v₁, ..., v_m₁} una base di V_λ₁∪ {0}, B₂ = {u₁, . . . , u_m₂} una base di V_λ₂∪ {0}, . . . , B_r = {w₁, . . . , w_m_r} una base di V_λ_r∪ {0}. Allora B = B₁∪ . . . ∪ B_r è un insieme di n autovettori di F . Per concludere la dimostrazione, basta provare che B è una base di V , in tal caso, infatti B sarà una base diagonalizzante per F . A tal fine, mostriamo che i vettori di B sono linearmente indipendenti. Siano α₁, . . . , α_m₁, β₁, . . . , β_m₂, . . . , γ₁, . . . , γ_m_r ∈ K tali che

α₁v₁+ . . . + α_m₁v_m₁ + β₁u₁+ . . . + β_m₂u_m₂ + . . . + γ₁w₁+ . . . + γ_m_rw_m_r = 0.

Posto

e₁ = α₁v₁+ . . . + α_m₁v_m₁, e₂ = β₁u₁+ . . . + β_m₂u_m₂, . . . , e_r = γ₁w₁+ . . . + γ_m_rw_m_r, (0.3) si ha che

e₁+ . . . + e_r = 0. (0.4)

Inoltre dalla Proposizione 0.7, si ha che e_i ∈ V_λ_i ∪ {0}, mentre dalla Proposizione 0.8, i vettori e₁, e₂, . . . , e_r sono linearmente indipendenti. Allora, da (0.4), necessariamente e₁ = e₂ = . . . = e_r = 0. Infine, tenendo conto delle (0.3) e del fatto che i vettori di B_i,

(6)

1 ≤ i ≤ r, sono linearmente indipendenti, si ha che α1 = . . . = αm1 = β1 = . . . = βm2 = γ₁ = . . . = γ_m_r = 0, come volevasi.

Viceversa, se F è diagonalizzabile e B è una base diagonalizzante per F , allora gli n vettori di B sono autovettori di F . Inoltre, la matrice M ∈ M_n(K) associata ad F rispetto a B è una matrice diagonale e gli elementi della diagonale principale di M sono autovalori di F . Ne segue che la somma delle molteplicità geometriche degli autovalori di F è maggiore o uguale ad n. D’altro canto, dalla Proposizione 0.12 e dall’Osservazione 0.11, si ha che la somma delle molteplicità geometriche degli autovalori di F è esattamente n. Allora, necessariamente valgono le proprietà i) e ii).

Corollario 0.14. Sia V un K–spazio vettoriale tale che dim(V ) = n e sia F : V −→ V un endomorfismo. Se F possiede n autovalori distinti, allora F `e diagonalizzabile.

Osservazione 0.15. Una base diagonalizzante per un endomorfismo si ottiene scegliendo un base per ogni autospazio e prendendone l’unione.

Esempi 0.16. 1. Sia F : (x, y, z) ∈ R³ 7−→ (2x + y, y − z, 2y + 4z) ∈ R³. La matrice associata ad F rispetto alla base canonica di R³ `e

A =





2 1 0 0 1 −1 0 2 4



.

Il polinomio caratteristico di F `e pA(X) = (2 − X)(X²− 5X + 6) = −(X − 3)(X − 2)². Pertanto F possiede due autovalori distinti: 2, 3. In particolare ma(2) = 2 e ma(3) = 1.

Per determinare l’autospazio relativo 3, consideriamo il sistema omogeneo associato a A − 3I₃:







−X₁+ X₂ = 0

−2X₂− X₃ = 0 2X₂+ X₃ = 0

Esso ammette le ∞ soluzioni (t, t, −2t) ∈ R³, t ∈ R. Pertanto V3(F ) = {(t, t, −2t) ∈ R³ | t ∈ R} = h(1, 1, −2)i. Allora mg(3) = dim(V₃(F )) = 1.

Per determinare l’autospazio relativo 2, consideriamo il sistema omogeneo associato a A − 2I₃:







X₂ = 0

−X₂− X₃ = 0 2X₂+ 2X₃ = 0

Esso ammette le ∞ soluzioni (t, 0, 0) ∈ R³, t ∈ R. Pertanto V2(F ) = {(t, 0, 0) ∈ R³ | t ∈ R} = h(1, 0, 0)i. Allora mg(2) = dim(V₂(F )) = 1. F non `e diagonalizzabile in quanto m_a(2) 6= m_g(2).

2. Se

M = 2 1 1 2

, N = 0 0 0 1

,

(7)

si consideri l’endomorfismo F : M2(R) −→ M²(R) definito da F (X) = XM − NX.

Mostreremo che F `e diagonalizzabile e troveremo una base diagonalizzante per F . Se X = x₁₁ x12

x₂₁ x₂₂

, allora

F (X) = 2x₁₁+ x₁₂ x₁₁+ 2x₁₂ x₂₁+ x₂₂ x₂₁+ x₂₂

. La matrice associata ad F rispetto alla base canonica di M₂(R) `e

A =







2 1 0 0 1 2 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1





 .

Il polinomio caratteristico di F `e p_A(X) = det(A − XI₄) = (X²− 4X + 3)(X² − 2X).

Esso ha quattro radici distinte: 0, 1, 2, 3, che sono gli autovalori di F (e di A). Pertanto m_a(0) = m_a(1) = m_a(2) = m_a(3) = 1. Cercare una base per gli autospazi corrispondenti a ciascun autovalore corrisponde a trovare delle basi rispettivamente per V₀(F ), V₁(F ), V₂(F ), V₃(F ). Per l’autovalore 0 il sistema











2X₁+ X₂ = 0 X₁+ 2X₂ = 0 X₃+ X₄ = 0 X₃+ X₄ = 0

ammette le ∞ soluzioni (0, 0, t, −t) ∈ R⁴, t ∈ R. Pertanto V0(F ) = 0 0 t −t

| t ∈ R

=

0 0 1 −1

. Allora m_g(0) = dim(V₀(F )) = 1.

Per l’autovalore 1 il sistema











X₁+ X₂ = 0 X₁+ X₂ = 0

X₄ = 0 X₃ = 0

ammette le ∞ soluzioni (t, −t, 0, 0) ∈ R⁴, t ∈ R. Pertanto V¹(F ) =

t −t 0 0

| t ∈ R

=

1 −1

0 0

. Allora m_g(1) = dim(V₁(F )) = 1.











X₂ = 0 X₁ = 0

−X3+ X4 = 0 X₃− X₄ = 0

(8)

ammette le ∞ soluzioni (0, 0, t, t) ∈ R⁴, t ∈ R. Pertanto V2(F ) = 0 0 t t

| t ∈ R

=

0 0 1 1

. Allora mg(2) = dim(V2(F )) = 1.











−X₁+ X₂ = 0 X₁− X₂ = 0

−2X₃ + X₄ = 0 X₃− 2X₄ = 0

ammette le ∞ soluzioni (t, t, 0, 0) ∈ R⁴, t ∈ R. Pertanto V3(F ) =

t t 0 0

| t ∈ R

=

1 1 0 0

. Allora m_g(3) = dim(V₃(F )) = 1.

Ne segue che una base di M₂(R) rispetto alla quale F ha una matrice diagonale `e data

da

0 0

−1 1

, 1 −1 0 0

, 0 0 1 1

, 1 1 0 0

. La matrice associata ad F rispetto a tale base di M2(R) `e

D =







0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3





 .

Si noti che la matrice

B =







0 1 0 1

0 −1 0 1

1 0 1 0

−1 0 1 0







`

e tale che D = B⁻¹AB