1. Esercizio. Studiare la dispensa Formula di Taylor imparando a memoria gli sviluppi delle funzioni ele- mentari e svolgendo gli esercizi proposti: http://www.math.unipd.it/~umarconi/dei/FormulaDiTaylor.

Analisi Matematica 1 – Ingegneria Informatica Gruppo 4, canale 6

Argomenti 14 dicembre 2017

1. Esercizio. Studiare la dispensa Formula di Taylor imparando a memoria gli sviluppi delle funzioni ele- mentari e svolgendo gli esercizi proposti: http://www.math.unipd.it/~umarconi/dei/FormulaDiTaylor.

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2. Esercizio. Studiare la Serie di Taylor al seguente link e scrivere gli sviluppi in serie di potenze delle funzioni elementari:

http://www.math.unipd.it/~umarconi/dei/SerieDiTaylor.pdf.

Sviluppi binomiali

Nel seguito n ` e un numero naturale e α ` e un numero reale.

Per la definizione dei coefficienti binomiali ^α _n

v. il formulario di Analisi 1:

http://www.math.unipd.it/~umarconi/dei/Form.An1.pdf.

Dimostrare che la serie binomiale del seguente teorema ` e convergente per |x| < 1.

Teorema binomiale.Se |x| < 1 si ha:

(1 + x) ^α = 1 + αx + α(α − 1)

2! x ² + · · · +

 α n



x ⁿ + · · ·

• Determinare ⁻¹ _n

. Utilizzare i valori ottenuti per ritrovare lo sviluppo di (1 + x) ⁻¹ .

• Dimostrare che:

√ 1 + x = 1 + 1 2 x + 1

2!

1 2

 1 2 − 1 ‹

x ² + · · · + (−1) ^{n −1} (2n − 3)!!

(2n)!! x ⁿ + · · ·

• Dimostrare che:

√ 1

1 + x = 1 − x 2 + 3

8 x ² + · · · + (−1) ⁿ (2n − 1)!!

(2n)!! x ⁿ + · · ·

• Ponendo −x ² al posto di x nel precedente sviluppo, ottenere:

√ 1

1 − x ² = 1 + 1

2 x ² + 1 · 3

2 · 4 x ⁴ + · · · + (2n − 1)!!

(2n)!! x ²ⁿ + · · ·

• Integrando termine a termine la somma del precedente sviluppo, con primo estremo 0 e secondo estremo x, ottenere per |x| < 1:

arcsin x = x + 1 2

x ³ 3 + 1 · 3

2 · 4 x ⁵

5 + · · · + (2n − 1)!!

(2n)!!

x ²ⁿ⁺¹ 2n + 1 + · · · 3. Esercizio.

• Trovare gli sviluppi di Maclaurin delle seguenti funzioni in due modi: derivando la serie geometrica;

applicando lo sviluppo binomiale.

1 (1 − x) ²

1

(1 − x) ³

1

• Determinare la somma delle seguenti serie di potenze, specificando l’insieme di convergenza:

X ∞ n=1

x ⁿ n

X ∞ n=1

n ² x ⁿ X ∞

n=0

x ²ⁿ⁺¹ 2n + 1

X ∞ n=1

x ^{n −1} n!

X ∞ n=1

nx ⁿ

X ∞ n=1

nx ^{2n −1}

• Ottenere lo sviluppo di Maclaurin della funzione log(x + √

1 + x ² ).

4. Esercizio. Sia a > 0 e sia 0 < r < a. Indicare con S(r) l’area della regione compresa fra le rette x = a − r, x = a + r, il grafico della curva y = √

x e la retta tangente a quest’ultimo grafico nel punto di ascissa a. Dimostrare che:

S(r) = 2 √ ar − 2

3



(a + r)

− (a − r)



Determinare poi il primo termine non nullo dello sviluppo di Maclaurin di S(r).

5. Esercizio. Al variare di α, β > 0 calcolare:

x lim →0

(sin βx)(1 − cos αx) (2 ^βx − 1) ² log(α + βx)

6. Esercizio. Usando gli sviluppi di Taylor/Maclaurin, determinare i seguenti limiti:

x lim →0

e ^x − e ^3x

x lim

x →−1

√

x + 2 − 1 x + 1

x lim →0

sin ² 4x

1 − cos x lim

x →0

sin x − xe ^x + x ² cos x sinh ³ x

x lim →0

x sin x ² − 2 log cos x

x + sin x lim

x →+∞ x

‚ cos 1

√ x −

r x + 1

x

Œ

lim

x →1

tan(x − 1) − sin(x − 1)

x(x − 1) ² + log(2x − x ² ) lim

x →0

log(1 + x sin x) − e ^x

+ 1

√ 1 + 2x ⁴ − 1

2