ESERCIZI DI STATISTICA UNIVARIATA
1) Data la seguente sequenza di osservazioni relativa a una variabile quantitativa discreta X -1 0 1 2 -3 -2 4 3 1 5
si determini: 1) la moda, 2) la mediana, 3) la media, 4) l’ampiezza del campo di variazione, 5) il rango interquartile, 6) la varianza, 7) il coefficiente di variazione, 8) l’indice di asimmetria a3, 9) l’indice di curtosi a4.
Si disegni inoltre il boxplot Soluzione
-3 -2 -1 0 1 1 2 3 4 5 1) Mx = 1
2) 5°posto, x0.5=1 3) 𝑥̅=1
4) 5-(-3)=8
5) 8°posto, x0.75=3; 3°posto, x0.25=-1; x0.75-x0.25=4 6) 𝑚2𝑥 = 7; 𝑠𝑥2 =6
7) Non può essere calcolato perché la variabile assume valori negativi 8) 𝑎3𝑥=0
9) 𝑎4𝑥 = 1.96̅
2) Data la sequenza di osservazioni dell’esercizio 1) si consideri la variabile Y=4-2X e se ne determini
1) la moda, 2) la mediana, 3) la media, 4) l’ampiezza del campo di variazione, 5) il rango interquartile, 6) la varianza, 7) l’indice di asimmetria a3, 8) l’indice di curtosi a4.
Soluzione
1) My = 42Mx = 2
2) Sequenza ordinata delle yi
-6 -4 -2 0 2 2 4 6 8 10 5°posto, y0.5=2
3) 𝑦̅ = 42𝑥̅ = 2 4) 10-(-6)=16
5) 8°posto, y0.75=6; 3°posto, y0.25=-2; y0.75-y0.25=8 6) 𝑠𝑦2 = (−2)2𝑠𝑥2 =24
7) 𝑎3𝑦 = −𝑎3𝑥 = 0 8) 𝑎4𝑦 = 𝑎4𝑥 = 1.96̅
3) Data la seguente sequenza di modalità relative a una variabile qualitativa ordinabile A B B C D A A B A A B B C B C D
a) si determini la distribuzione di frequenza corrispondente espressa mediante frequenze assolute e relative e le corrispondenti frequenze cumulate (sia assolute sia relative),
b) si disegni il grafico a barre utilizzando le frequenze assolute, c) si individui la moda
Soluzione a)
x Frequenza assoluta
Frequenza relativa
Frequenza assoluta cumulata
Frequenza relativa cumulata
A 5 0.3125 5 0.3125
B 6 0.3750 11 0.6875
C 3 0.1875 14 0.8750
D 2 0.1250 16 1.0000
16 1.0000 b)
c) B
4) Data la seguente sequenza di intensità relative a una variabile quantitativa continua Oss x
1 1.6 2 0.4 3 1.4 4 1.1 5 -0.1 6 0.2 7 0.6 8 0.9 9 -1.6 10 -0.5 11 1.3 12 0.0 13 -0.2 14 0.9 15 0.3 16 0.1 17 -0.8 18 1.9 19 1.4 20 -0.5
a) si determini la distribuzione di frequenza nelle classi (-2 0], (0 1] e (1 2] espressa mediante le frequenze assolute e mediante le frequenze relative,
b) si disegni l’istogramma.
Sulla distribuzione in classi si calcoli c) la classe modale
d) la media,
e) la deviazione standard f) l’indice a3 di asimmetria
Soluzione a)
Y Frequenza assoluta
Frequenza relativa
-2 0 7 0.35
0 1 7 0.35
1 2 6 0.30
20 1.00
b)
Y Densità -2 0 0.175 0 1 0.350 1 2 0.300
c) (0, 1]
d) 0.275 e) 1.01827059 f) -0.1609828
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4
-3 -2 -1 0 1 2 3
densità
X
5) Data la seguente sequenza di intensità relative a una variabile quantitativa discreta -2 -1 0 0 2 5 0 -1
a) si determini la distribuzione di frequenza e si disegni il grafico ad aste corrispondente utilizzando le frequenze relative
Si calcoli inoltre b) la media,
c) l’ampiezza del campo di variazione, d) il primo quartile,
e) la varianza
Soluzione a)
x Frequenza assoluta
Frequenza relativa
-2 1 0.125
-1 2 0.250
0 3 0.375
2 1 0.125
5 1 0.125
8 1.000
b) 0.375 c) 7 d) -1
e) 4.234375
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
frequenza relativa
X
6) Data una variabile X di media 6 e varianza 9, si consideri la variabile Y=3+4X e se ne calcoli:
a) la media b) la varianza
c) la deviazione standard d) il coefficiente di variazione
Soluzione a) 27 b) 144 c) 12 d) 0. 4̅
7) Data una variabile X con indice di asimmetria a3x=1.5 e indice di curtosi a4x=2.5, si consideri la variabile Y=3-4X e se ne calcoli:
a) l’indice di asimmetria a3y
b) l’indice di curtosi a4y
Soluzione a) -1.5 b) 2.5
