3.3 Calcolo di PathUp (P ,b) tramite integrazione di un sistema di equazioni differenziali algebriche

CAPITOLO 3: LA FUNZIONE PathUp

3.1 Introduzione

Sia S una superficie compatta affine non singolare e sia f ( x , y , z )=0 un’equazione polinomiale per S a coefficienti in ; supponiamo che la funzione p : S → che associa a un punto M =(x_M ,y_M ,z_M)∈S la sua terza coordinata affine, i.e. p( M )=z_M, sia una funzione di Morse e che le immagini di distinti punti critici per p siano distinti valori critici di p (si rimanda ai paragrafi 2.1 e 2.2 per le definizioni di funzione di Morse, di punto critico per p e di valore critico di p). In questo capitolo affrontere- mo il seguente problema (si veda pag. 30):

Costruzione di PathUp ( bP, ) Dato un punto P nel piano δ₁ di equazione

−

z a =0 e appartenente a una componente connessa di {(x,y, z )∈ ³ | a≤z ≤ b}\S che interseca il piano δ₂ di equazione z−b=0, determinare il punto finale di un cammino di connessione in tra i livelli a e b, di punto iniziale P e punto finale in , nel caso in cui [a,b] non contenga valori critici di p oppure ne contenga uno solo di indice 0 o 1 non sulla frontiera.

Come anticipato nella prefazione, descriveremo due soluzioni del sud- detto problema: nella prima (paragrafo 3.2), PathUp( P ,b) è il punto finale di un cammino di connessione in lineare a tratti, unione di un numero fi-

nito di segmenti verticali e orizzontali; nella seconda (paragrafo 3.3), ve- dremo come calcolare PathUp( P ,b) utilizzando tecniche numeriche per l’integrazione di equazioni differenziali algebriche. Quest’ultima strategia costituisce la proposta originale del presente lavoro.

Per approfondimenti sui cammini di connessione, si consulti [7], [9], [22] e [23].

Nei prossimi paragrafi, indicheremo con g_u la derivata rispetto alla va- riabile u di una funzione g e con (x_M ,y_M ,z_M) le coordinate affini di un punto M ∈ ³. Prima di proseguire, ricordiamo la seguente:

Definizione 3.1.1 Se una retta r′ interseca S in un punto M e non appar- tiene al piano tangente a S in M , diciamo che r′ è “trasversale a S”.

Osservazione 3.1.1 Se un punto M ∈S non è critico per p, allora la retta r′ di equazione parametrica M + r ( f_x( M ), f_y( M ),0), r∈ , ben defini- ta perché f_x( M )≠0 oppure f_y( M )≠0, è trasversale a S. Infatti, poiché

M non è critico per p, il piano tangente a S in M non è orizzontale e la retta u′ di {(x,y, z )∈ ³ | z = z_M} tangente a C_zM in M , di equazione parametrica M + u( f_y( M ),− f_x( M ),0), è perpendicolare a r′.

3.2 Costruzione di un cammino di connessione lineare a tratti

In questo paragrafo, nel caso in cui [a,b] non contenga valori critici di p oppure ne contenga uno solo di indice 0 o 1 non sulla frontiera, mostre-

remo come individuare una successione finita di punti in ³, ={ P =P₁, Q1,…,P_i,Q_i,…,X_m = PathUp( P ,b)}, dotata delle seguenti proprietà:

1) P_i∈ ; 2) Q_i∈S;

3) i segmenti chiusi [P_i,Q_i] (verticali) e [Q_i,P_i+1] (orizzontali) appar- tengono a ;

4) se il punto che precede X_m è Q_m−1, il segmento [Q_m−1,X_m] appartie- ne a ed è orizzontale; se il punto che precede X_m è P_m, il seg- mento [P_m,X_m] appartiene a ed è verticale.

La strategia che descriveremo è essenzialmente la stessa esposta in [15].

Osservazione 3.2.1 Determinare permette di calcolare PathUp( P ,b) come punto finale di un cammino di connessione in lineare a tratti, di punto iniziale P e punto finale in , nel caso in cui [a,b] non contenga valori critici di p oppure ne contenga uno solo di indice 0 o 1 non sulla frontiera.

Cominceremo la nostra analisi dal caso, più semplice, in cui [a,b] non contiene valori critici di p e è limitata. In queste ipotesi, possiamo defi- nire una funzione Findnext: → nel seguente modo:

1) se M è un punto in , consideriamo la semiretta verticale t′ di e- quazione parametrica M + t(0,0,1), t ≥0, e calcoliamo il minimo t,

t, in cui t′ interseca la frontiera di . Se f (x_M ,y_M ,z_M + t)=0 ha soluzioni in [0,b−z_M ], t è la più piccola di esse, altrimenti t = −b

zM. Poniamo Findnext( M )=M + t (0,0,1);

2) se invece M è un punto in \ , sia n( M )=( f_x( M ), f_y( M ),0) se

f ( P )>0, n( M )=−( f_x( M ), f_y( M ),0) se f ( P )<0. Consideriamo la retta orizzontale l′ di equazione parametrica M + l n( M ), l∈ ; notiamo che M ∈S e che l′ è trasversale a S. Calcoliamo il minimo l >0, l, in cui l′ interseca la frontiera di . l esiste in virtù della li- mitatezza di e della scelta del segno di n( M ), ed è la più piccola soluzione positiva dell’equazione f ( M + l n( M ))=0. Se l è un punto di massimo per la funzione | f ( M + l n( M ))| nell’intervallo (0,l), poniamo Findnext( M )=M + l n( M ), ben definita in quan- to, per come è stato costruito, il segmento aperto ( M , M + l n( M )) appartiene a .

Osservazione 3.2.2 Sia M un punto in . Si ha:

1) Findnext( M )=M se e solo se M ∈ δ₂;

2) se M ∈ , allora Findnext( M ) appartiene a \ (e quindi a S) oppure a δ₂;

3) se M ∈ \ , allora Findnext( M )∈ ;

4) se M ∉ δ₂, allora il segmento aperto ( M ,Findnext( M )) (verti- cale se M ∈ , orizzontale se M ∈ \ ) appartiene a .

Indichiamo con ′ la successione {Findnext^{( j)}( P )}_j≥0, con P′_i l’i-esi- mo termine dispari di ′ _{e con} Q′_i l’i-esimo termine pari di ′. Per l’osser- vazione 3.2.2, si ha:

1) ′ è costante per j ≥ j se e solo se Findnext^{( j)}( P )∈ δ₂; 2) Q′_i appartiene a S oppure a δ₂;

3) P′_i ∈ ;

4) se P′_i ∉δ₂, allora il segmento (P′_i ,Q′_i) è verticale (z_Qi′ >z_Pi′) e appar-

tiene a . Se Q′_i ∉ δ₂, allora il segmento (Q′_i ,P_i′₊₁) è orizzontale (z_Pi′+1 = z_Qi′) e appartiene a .

Per raggiungere il nostro scopo, ci è sufficiente dimostrare che esiste j∈ tale che Findnext^{( j)}( P )∈ δ₂. In tal caso, infatti, se ~ è il mi-j nimo indice da cui ′ è costante, possiamo porre, in virtù delle proprietà di

′ sopraelencate, ={Findnext^{( j)}( P )}_{0≤j ~≤j}. In parole povere, ci siamo ridotti a dover verificare che i segmenti (P′_i ,Q′_i ), Q′_i ∉ δ₂, siano “lun- ghi abbastanza” da garantire il raggiungimento di δ₂ componendo un nu- mero finito di volte la funzione Findnext. Per farlo, ci occorre una stima di

i

i P

Q z

z _′ − _′.

Osservazione 3.2.3 Siano p₁: S → e p₂: S → le funzioni che asso- ciano a un punto di S rispettivamente la sua prima e la sua seconda coordi- nata affine e sia N∈ tale che l’intervallo (−N ,N) contenga tutti i valo- ri critici di p, p₁ e p₂. Allora S ⊂ (−N ,N )³.

Poniamo K =[−N ,N ]³e f_{z K} =

K

maxM

∈ | f_z( M )|. Poiché è limitata, si ha ⊂ K . Osserviamo che | f (Q′_i )− f (P′_i )|≤ f_{z K}(z_Qi′ −z_Pi′), da cui si ottiene, se Q′_i ∉ δ₂, z_Qi′ −z_Pi′≥| f (P′_i )|/ f_{z K}.

Proposizione 3.2.1 Se [a,b] non contiene valori critici di p e è limita- to, esiste ε₀ >0 tale che | f (P_i′₊₁)|≥ε₀ se Q′_i ∉ δ₂.

Dim. Sia S_a,b= S {(x,y, z )∈ ³ | a≤ z ≤ b} e indichiamo con Q un generico punto in S_a,b. La funzione φ: S_a,b× →{(x,y, z )∈ ³ | a≤

z≤ b} definita da φ(Q,t)= Q + t n(Q) è un diffeomorfismo in un intorno

aperto di S_a,b×{0} perché le rette di equazioni parametriche Q + t n(Q), t∈ , sono trasversali a S_a,b (per maggiori dettagli, si rimanda a [24]). Per la compattezza di S_a,b, esiste δ >0 tale che φ(S_a,b×(−δ ,δ )) è un intorno aperto U di S_a,b in {(x,y, z )∈ ³ | a≤ z ≤ b} diffeomorfo a S_a,b×(−δ , δ ) tramite φ. In particolare, esiste ε₀ >0 tale che {(x,y, z )∈ ³ | a≤ z≤ b e | f (x,y, z )|=ε }⊂U per ogni ε , 0≤ε <ε₀. Si deduce che | f ( X )|≥ ε0 per X ∈ \U. Per come U è stato definito, per ogni punto M ∈ \ si ha Findnext( M )∈ \U, e quindi | f (P_i′₊₁)|=| f (Findnext(Q′_i))|≥ε₀ perché Q′_i ∈ \ . qed

Combinando la disuguaglianza z_Qi′ −z_Pi′≥| f (P′_i )|/ f_{z K} (valida se Q′_i∉ δ2) con la proposizione 3.2.1, si può concludere che, se poniamo j = [b/(ε₀/ f_{z K})]+2, allora Q′_j∈ δ₂.

Osservazione 3.2.4 Per realizzare la funzione PathUp non abbiamo alcun bisogno di calcolare ε₀ e f_{z K}: questi elementi, infatti, sono stati introdotti nella nostra discussione solo per dimostrare che la successione ′ si stabi- lizza in un numero finito di passi.

Se non è limitato e [a,b] non contiene valori critici di p, occorre definire in modo opportuno Findnext( M ), M ∈ , nell’unico caso “sco- perto”, i.e. nel caso in cui M ∈ \ e l’equazione f ( M + l n( M ))=0,

l∈ , non abbia soluzioni positive. Per un siffatto M , se M ′∈ è l’uni- co punto di intersezione tra la frontiera di K e la semiretta di equazione parametrica M + l n( M ), l >0, poniamo Findnext( M )= M ′. Deduciamo che:

1) se i termini Q′_i ∈ \ sono tali che l’equazione f (Q′_i + l n(Q′_i ))= 0, l∈ , abbia soluzioni positive, allora valgono le considerazioni del caso limitato, e quindi ′ è definitivamente costante;

2) se invece esiste j∈ tale che Q′_j∈ \ e tale che l’equazione f (Q′_j + l n(Q′_j))=0, l∈ , non abbia soluzioni positive, allora, per come K è stato costruito, si ha Q′_j+1=Findnext⁽²⁾(Q′_j)∈ δ₂.

Osservazione 3.2.5 La strategia descritta per risolvere il caso non limi- tato e [a,b] non contenente valori critici di p ci risparmia la difficoltà di determinare a priori se è limitato o meno.

Osservazione 3.2.6 La proposizione 3.2.1 vale in una forma più forte: sup- poniamo che [a,b] contenga un valore critico di p non sulla frontiera e sia

P′ il relativo punto critico; se nessun termine di ′ (costruibile se, per j ≥ 0, Findnext^{( j)}( P )≠ P′) appartiene a un fissato intorno aperto di P′ e è limitato, esiste ε₀ >0 tale che | f (P_i′₊₁)|≥ε₀ se Q′_i ∉ δ₂ (in particolare, esiste j∈ tale che Findnext^{( j)}( P )∈ δ₂). Deduciamo che, indipen- dentemente dalla limitatezza di e dalla presenza di punti critici in [a,b], se nessun termine di ′ appartiene a un fissato intorno aperto di P′ o se un termine di ′ ha la terza coordinata affine maggiore di z_P′, allora esiste

j∈ tale che Findnext^{( j)}( P )∈ δ₂.

Supponiamo ora che [a,b] contenga un valore critico di p di indice 0 non sulla frontiera; sia P′ il relativo punto critico e S′ la componente con- nessa di S_a,b a cui P′ appartiene. In virtù dell’osservazione 3.2.6, ci è suffi- ciente analizzare solo il caso in cui P′∈ \ . In questa ipotesi, la funzio-

ne Findnext è ben definita in \P′ e il nostro obiettivo è quello di esten- derla in modo opportuno anche in P′. Se l’equazione f (P′+ l(1,0,0))=0 ha soluzioni positive, indichiamo con l la più piccola di esse, altrimenti de- terminiamo l in maniera che P′+ l (1,0,0) appartenga alla frontiera di K .

Notiamo che, poiché P′ è l’unico punto di minimo assoluto per p in S′, il segmento aperto (P′,P′+ l (1,0,0)) è contenuto in . Possiamo allo- ra porre Findnext(P′)= P′ + ₂¹ l(1,0,0) se P′+ l (1,0,0) non appartiene al- la frontiera di K ; Findnext(P′)= P′ + l(1,0,0), altrimenti.

Se K′ è un cubo aperto centrato in P′, con gli spigoli paralleli agli assi coordinati e tale che Findnext( M )∈S′ per ogni M ∈ K′, si conclude che:

1) se nessun termine di ′ appartiene a K′, allora, per l’osservazione 3.2.6, esiste j∈ tale che Findnext^{( j)}( P )∈ δ₂;

2) se invece esiste j∈ tale che Findnext^{( j)}( P )∈K′, allora, per co- me K′ è stato definito, la terza coordinata affine di Findnext^(j+3)( P ) è maggiore di z_P′; quindi, per l’osservazione 3.2.6, si raggiunge δ₂ componendo un numero finito di volte la funzione Findnext.

Osservazione 3.2.7 Come già ε₀ e f_{z K}, anche K′ è un artificio teorico u- tilizzato per dimostrare che ′ è definitivamente costante, e dunque non deve essere determinato esplicitamente.

La situazione è più delicata se [a,b] contiene un valore critico di p di indice 1 non sulla frontiera. Infatti, se indichiamo con P′ il relativo punto critico e supponiamo P′∈ \ , la funzione Findnext (definita in \P′) non ci garantisce che esista j∈ tale che la terza coordinata affine di

)

Findnext( j ( P ) sia maggiore di z_P′ o uguale a z_P′, quindi la strategia di e- stendere la funzione Findnext in P′ in maniera opportuna (utilizzata con successo nel caso indice 0) non è applicabile nel caso indice 1. L’idea vin- cente consiste nel sostituire ′ con la successione ~ ={B_j}_j≥0 costruita ri- corsivamente nel seguente modo (con P~_i e Q~_i indichiamo rispettivamente l’i-esimo termine dispari e l’i-esimo termine pari di ~_):

1) P~₁ =P;

2) dato P~_i, individuiamo il punto E′= P~_i + t (0,0,1) di massima terza coordinata affine nell’insieme dei punti che sono estremi di segmenti chiusi verticali contenuti in e aventi un estremo in P~_i (se il poli- nomio f (

Pi

x^~,

Pi

y^~,

Pi

z^~ +t ) ha zeri positivi in [0,b

Pi

z^~

− ] in cui cambia segno, t è il più piccolo di essi, altrimenti si ha t = b

Pi

z^~

− ). Poniamo

Q~i _{= E′;}

3) se Q~_i∈

δ2, poniamo ~ ₁

+

Pi = Findnext (Q~_i);

4) se Q~_{i∈ S \}

δ2, Q~_i ≠ P′ e l’equazione f (Q~_{i + l n (}

Q~i₎₎=0 non ha so- luzioni positive, poniamo ~ ₁

+

Pi = Findnext (Q~_i);

5) se Q~_{i∈ S \}

δ2, Q~_i ≠ P′ e l’equazione f (Q~_{i + l n (}

Q~i₎₎=0 ha soluzio- ni positive, sia l la più piccola di esse e sia E l’insieme dei segmen- ti chiusi verticali contenuti in e aventi un estremo (quello con la terza coordinata affine minore) nel segmento [Q~_i,

Q~i _{+ l n (}

Q~i_{)]. In-}

dividuato l ∈[0,l ] tale che un segmento dell’insieme E con un e- stremo in Q~_{i + l n (}

Q~i) abbia lunghezza massima tra i segmenti di E, poniamo ~ ₁

+

Pi =Q~_{i + l n (}

Q~i) (alla fine di questo paragrafo mo-

streremo come calcolare l );

6) se Q~_i = P′, sia n ( P′) un autovettore di H ( P′ ) di autovalore positi-_p vo. Se l’equazione f ( P′ + q n ( P′))=0 ha soluzioni positive, indi- chiamo con q la più piccola di esse, altrimenti determiniamo q in maniera che P′+ q n ( P′) appartenga alla frontiera di K . Notiamo che il segmento aperto ( P′ , P′+ q n ( P′)) è contenuto in . Ponia- mo ~ ₁

+

Pi = P′ + ₂¹ q n ( P′ ) se P′+ q n ( P′) non appartiene alla fron- tiera di K , ~ ₁

+

Pi = P′ + q n ( P′), altrimenti.

Per come ~ è stata definita, si ha:

1) ~ è costante per j ≥ j se e solo se B_j∈ δ₂; 2) Q~_i appartiene a S oppure a δ₂;

3) P~_{i∈ ;} 4) se P~_i∉

δ2, allora il segmento [P~_i,

Q~i] è verticale (

Qi

z^~ >

Pi

z^~) e appar- tiene a . Se Q~_i∉

δ2, allora il segmento [Q~_i,

~ 1 +

P ] è orizzontale i

( ~ 1 +

Pi

z =

Qi

z^~ ) e appartiene a .

Per raggiungere il nostro scopo, ci è sufficiente dimostrare che esiste j∈ tale che B_j∈ δ₂. In tal caso, infatti, se j~ è il minimo indice da cui ~ è costante, possiamo porre ={B_j}_{0≤j ~≤j} in virtù delle proprietà di

~ sopraelencate. Una stima di

Qi

z^~

Pi

z^~

− , i.e. della lunghezza del segmento [P~_i,

Q~i], è ancora una volta ciò che ci occorre.

Osservazione 3.2.8 Se Q~_i ≠ P′, la lunghezza del segmento [ Findnext (Q~_i),

) 2

Findnext (( Q~_i)] non supera la lunghezza del segmento [ ~ ₁

+

P ,i ~ ₁

+

Q ]. Com-i

binando la proposizione 3.2.1 con l’osservazione 3.2.6, deduciamo che, se nessun termine di ~ appartiene a un fissato intorno aperto di P′ o se un termine di ~ ha la terza coordinata affine maggiore di z_P′, allora esiste j∈

tale che B_j∈ δ₂.

Osservazione 3.2.9 Poiché f ( P′ )_z ≠ 0, si possono utilizzare le variabili x e y come coordinate locali di S in un intorno aperto U di P′ sufficiente- mente piccolo. A meno di una trasformazione affine delle coordinate, pos- siamo supporre P′=(0,0,0) e p ( x , y , z ) = x² − y² +o (x² + y ) in U . ²

Grazie all’osservazione 3.2.9, non è difficile dimostrare l’esistenza di un intorno aperto di P′, U'⊂ U , tale che la terza coordinata affine di B sia _j+5 maggiore di 0, e quindi di z_P′, se B_j∈U per qualche j' ∈ . Invocando l’osservazione 3.2.8, si può concludere che ~ è definitivamente costante.

Dedichiamo l’ultima parte del paragrafo all’unica questione rimasta in sospeso, i.e. la determinazione di l ∈[0,l ] tale che un segmento dell’insie- me E con un estremo in Q~ +_i l n (Q~_i) abbia lunghezza massima tra i seg- menti di E . Il problema del calcolo di un punto di “massima altezza” può essere riformulato come segue:

Problema della massima altezza Sia C una curva affine e sia g (t , s )=0 un’equazione polinomiale per C . Supponiamo che esista t >0 tale che g (0,0)=g (t ,0)=0 e tale che g (t ,0)>0 per t ∈(0,t ). Dato s >0, indichia- mo con l (t ), t∈[0,t ], la massima lunghezza di un segmento verticale I che ha un vertice in (t ,0), giace in {(t , s )∈ ² | 0≤s ≤s} e tale che g_|I sia non negativa. Si chiede allora di individuare un punto t ∈[0,t ] tale che

l (t )=

] , 0 [ t tmax

∈ l (t ).

Una soluzione del problema della massima altezza è la seguente:

1) considerando g , g e _s g come polinomi nella variabile s a coeffi-_t cienti in [t ], determiniamo la lista [t ,…,₁ t ] dei numeri reali in _m (0,t ), indicizzati in ordine crescente, che sono radice di R ( g ,g ) _s oppure di R ( g ,g ). Ponendo _t t₀=0 e t_m+1=t , osserviamo che, per 0≤i ≤m , C {(t , s )∈ ² | t_i < t <t } è un insieme vuoto oppure è _i+1 l’unione di un numero finito di archi che sono grafici di funzioni mo- notone da (t ,_i t ) in . Deduciamo che possiamo limitare la ricerca _i+1 di un punto di massima altezza ai punti t ,…,₀ t_m+1;

2) per 0< i < m +1, se il polinomio g (t , s ) ha zeri in (0, s ] in cui cam-_i bia segno, l (t ) è il più piccolo di essi, altrimenti l (_i t )_i =s;

3) per i =0 oppure i =m +1, se il polinomio g (t , s ) ha zeri in (0, s ] in _i cui cambia segno, indichiamo con k (t ) il più piccolo di essi e con _i j (t ) il più piccolo zero di g (_i t , s ) in (0, s ], altrimenti poniamo _i k (t )_i = j (t )_i =s. Se g (t ,_{i 2}¹ j (t ))_i >0, si ha l (t )_i =k (t ), altrimenti _i l (t )_i =0;

4) se i∈{0,…,m +1} è tale che l (t )_i =

1

0≤ mmaxi≤ + l (t ), poniamo t_i =t . _i

3.3 Calcolo di PathUp (P ,b) tramite integrazione di un sistema di equazioni differenziali algebriche

La strategia per determinare PathUp ( P ,b ) che descriveremo in questo

paragrafo è concettualmente semplice, ma numericamente molto interes- sante. Consideriamo la funzione τ : S× → ³ così definita: dato M ∈ S e t∈ , τ( M ,t )=( x ( M ,t ), y ( M ,t ), z ( M ,t )) è la proiezione ortogona- le di M + t (0,0,1) sul piano π( M ) tangente a S in M . Vediamo come calcolare esplicitamente τ( M ,t ).

Osservazione 3.3.1 Un’equazione polinomiale per π( M ) è f ( M )(_x x − x )M + f ( M )(_y y− y )_M + f ( M )(_z z− z )_M =0, ben definita perché il vettore

∇f ( M )=( f ( M ),_x f ( M ),_y f ( M )) non è nullo. _z

Notiamo che τ( M ,t ) è l’unico punto di minimo assoluto per la funzio- ne d ( x , y , z )_M =( x −x_M )²+( y − y_M )²+( z−( z_M +t ))² con vincolo ( x ,

y , z )∈π( M ). Utilizzando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange (si ve- da [20]), otteniamo:

1) x ( M ,t )= x_M −t ₂ )) ( (

) ( ) (

M f

M f M

f_{x z}

∇ ^;

2) y ( M ,t )= y_M −t ₂ )) ( (

) ( ) (

M f

M f M

f_{y z}

∇ ;

3) z ( M ,t )=z_M −t −

∇ 1

)) ( (

)) ( (

2 2

M f

M

f_z .

In particolare, si ha τ( S ,0)= S e:

1) x ( M ,0) _t =− ₂ )) ( (

) ( ) (

M f

M f M

f_{x z}

∇ ;

2) y ( M ,0) _t =− ₂ )) ( (

) ( ) (

M f

M f M

f_{y z}

∇ ;

3) z ( M ,0) _t = −1 ²₂ )) ( (

)) ( (

M f

M f_z

∇ .

Poniamo g₁= ₂ ) ( f

f f_{x z}

− ∇ , g₂ = ₂

) ( f

f f_{y z}

− ∇ e g₃= ²₂ ) (

) 1 (

f f_z

− ∇ .

Osservazione 3.3.2 Poiché l’operatore ( f∇ ) è non nullo in S e S è com-² patta, esistono un intorno aperto limitato U di S e un numero reale ε₀ >0 tali che ( f∇ ) è una funzione definita in U a valori in e ( f² ∇ )_|²_U >ε₀. Deduciamo che g , ₁ g e ₂ g sono funzioni lipschitziane a valori in defi-₃ nite in un intorno aperto di U e ivi infinitamente differenziabili.

Ricordiamo il seguente risultato classico (per la dimostrazione, si con- sulti [20]):

Teorema 3.3.1 Indichiamo con (t ,Y ) un generico punto in × ⁿ. Se g è una funzione continua a valori in ⁿ definita in un intorno aperto D ⊂

+1

n del punto (t ,₀ Y ) e ivi lipschitziana nella variabile Y , allora esiste un ₀ intorno aperto I di t tale che il sistema di equazioni differenziali: ₀

(1) Y (t )_t = g (t ,Y (t )), Y (t )₀ =Y , ₀ ha un’unica soluzione in I .

In virtù dell’osservazione 3.3.2 e del teorema 3.3.1, se poniamo Y (t )= ( x (t ), y (t ), z (t )) e g (t ,Y (t ))=(g (Y (t )),₁ g (Y (t )),₂ g (Y (t ))), per ogni ₃ punto Q∈U il sistema di equazioni differenziali:

(2) Y (t )_t = g (t ,Y (t )), Y (0)= Q ,

ha un’unica soluzione in un intorno aperto di 0 dipendente da Q . In parti- colare, esiste t >0, dipendente da Q , tale che il sistema di equazioni diffe- renziali:

(3) Y (t )_t = g (t ,Y (t )), Y (0)= Q , t ≥0,

ha un’unica soluzione in [0,t ).

Definizione 3.3.1 Siano Y (t ) e ₁ Y (t ) soluzioni di (1) rispettivamente negli ₂ intervalli aperti I e ₁ I . Diciamo che ₂ Y (t ) è un “prolungamento” di ₂ Y (t ) ₁ se:

1) I₁⊂ I ; ₂

2) Y (t )₂ =Y (t ) per t₁ ∈I . ₁

Una soluzione di (1) si dice “massimale” se non ammette prolungamen- ti.

Osservazione 3.3.3 Si può dimostrare (si veda di nuovo [20]) che una solu- zione massimale di (1) esiste.

Definizione 3.3.2 Chiamiamo “curva integrale di (3) in U ”, e la indichia- mo con Y (t ), la soluzione massimale di (3) in U . _Q

Osservazione 3.3.4 L’intervallo di definizione di Y (t ) è della forma [0, _Q t ), Q t_Q >0. Notiamo che può essere t_Q = + ∞ .

Osservazione 3.3.5 Sia S ={( x , y , z )∈U | f ( x , y , z ) =ε }. Se Q∈ S , allora Y (t ) giace in S . Per convincersi di questo fatto, è sufficiente nota-_Q re che si ha f (_x Y (t ))_Q x (t )_t + f (_y Y (t ))_Q y (t )_t + f (_z Y (t ))_Q z (t )_t =0 per t ∈ [0,t ), da cui, integrando rispetto alla variabile t , si ottiene che f (_Q Y (t )) è _Q costante per t∈[0,t ). _Q

Definizione 3.3.3 Sia J ⊂ un intervallo e α : J → ⁿ una curva diffe- renziabile. Chiamiamo “velocità di α nel punto t∈ J ” la norma euclidea di α (t ), che indichiamo con α (t) . Si dice che α è “regolare” se la sua