(Suggerimento:sistudibrevemente f disegnandoneungraﬁcoqualitativo.) f ( x )= − x + x + x + . z − 2 iz +3=02.Determinarequantizerihalafunzione 1.Risolvereincampocomplessol’equazione ESERCIZIO1.(5punti) A EsamediANALISIMATEMATICA-18Gennaio2010 COGNOME......

(1)

COGNOME ... NOME ... Matricola ... Prof. Camporesi Esame di ANALISI MATEMATICA - 18 Gennaio 2010

A

ESERCIZIO 1. (5 punti)

1. Risolvere in campo complesso l’equazione

z⁴− 2iz²+ 3 = 0

2. Determinare quanti zeri ha la funzione

f (x) = −x³+ x²+ x + ¹₉. (Suggerimento: si studi brevemente f disegnandone un grafico qualitativo.)

(2)

ESERCIZIO 2. (5 punti) 1. Studiare la convergenza della serie

∞

X

n=1

3ⁿ+ πⁿ n eⁿ .

2. Determinare il raggio di convergenza della serie di potenze

∞

X

n=1

3ⁿ+ πⁿ n eⁿ xⁿ.

3. Determinare l’insieme di convergenza della serie di potenze del punto 2.

(3)

ESERCIZIO 3. (8 punti) Data la funzione

f (x) = e^x− 4 e^2x− 1

1. Determinare il dominio e calcolare i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti. Studiare il segno di f .

2. Calcolare la derivata prima di f e determinare gli intervalli di monotonia e i punti di massimo e di minimo relativo.

(4)

3. Tracciare un grafico qualitativo di f .

4. Calcolare l’immagine di f .

(5)

1. Calcolare l’ordine di infinitesimo e la parte principale per x → 0 della funzione f (x) = −2x²+ 5x − log(1 + 2x) − arctan(3x).

2. Stabilire se x = 0 `e un punto di massimo, minimo o flesso per f (x).

3. Calcolare il limite

lim

x→0

f (x) x³+ 2x⁴.

(6)

ESERCIZIO 5. (5 punti) 1. Calcolare l’integrale indefinito

Z log(2x) (x + 3)² dx.

2. Calcolare l’integrale improprio

Z +∞

−∞

e^2x

e^4x+ 4e^2x+ 8 dx.

(7)

1. Calcolare l’integrale generale dell’equazione differenziale

y⁰⁰− 4y⁰+ 5y = 0.

2. Determinare una soluzione particolare dell’equazione differenziale y⁰⁰− 4y⁰+ 5y = 8 cos x.

(8)

B

z⁴+ 4iz²+ 5 = 0

f (x) = x³+ x²− x +¹₉. (Suggerimento: si studi brevemente f disegnandone un grafico qualitativo.)

(9)

∞

X

n=1

3ⁿ+ eⁿ n πⁿ .

∞

X

n=1

3ⁿ+ eⁿ n πⁿ xⁿ.

(10)

f (x) = e^x− 5 e^2x− 1

(11)

(12)

1. Calcolare l’ordine di infinitesimo e la parte principale per x → 0 della funzione f (x) = −2x²− 5x − log(1 − 2x) + arctan(3x).

lim

x→0

f (x) 2x³+ 3x⁴.

(13)

Z log(3x) (x + 4)² dx.

Z +∞

−∞

e^3x

e^6x+ 4e^3x+ 8 dx.

(14)

y⁰⁰+ 4y⁰+ 5y = 0.

2. Determinare una soluzione particolare dell’equazione differenziale y⁰⁰+ 4y⁰+ 5y = 8 sin x.

(15)

C

z⁴+ 2iz²+ 3 = 0

f (x) = −x³+ x²+ x + ²₉. (Suggerimento: si studi brevemente f disegnandone un grafico qualitativo.)

(16)

∞

X

n=1

eⁿ+ πⁿ n 3ⁿ .

∞

X

n=1

eⁿ+ πⁿ n 3ⁿ xⁿ.

(17)

f (x) = e^x− 2 e^2x− 1

(18)

(19)

1. Calcolare l’ordine di infinitesimo e la parte principale per x → 0 della funzione f (x) = 2x²− 5x + log(1 + 2x) + arctan(3x).

lim

x→0

f (x) 3x³+ 4x⁴.

(20)

Z log(4x) (x + 5)² dx.

Z +∞

−∞

e^4x

e^8x+ 4e^4x+ 8 dx.

(21)

y⁰⁰− 4y⁰+ 5y = 0.

2. Determinare una soluzione particolare dell’equazione differenziale y⁰⁰− 4y⁰+ 5y = 8 sin x.

(22)

D

z⁴− 4iz²+ 5 = 0

f (x) = x³+ x²− x +²₉. (Suggerimento: si studi brevemente f disegnandone un grafico qualitativo.)

(23)

∞

X

n=1

2ⁿ+ eⁿ n πⁿ .

∞

X

n=1

2ⁿ+ eⁿ n πⁿ xⁿ.

(24)

f (x) = e^x− 3 e^2x− 1

(25)

(26)

1. Calcolare l’ordine di infinitesimo e la parte principale per x → 0 della funzione f (x) = 2x²+ 5x + log(1 − 2x) − arctan(3x).

lim

x→0

f (x) 4x³+ 5x⁴.

(27)

Z log(5x) (x + 6)² dx.

Z +∞

−∞

e^5x

e^10x+ 4e^5x+ 8 dx.

(28)

y⁰⁰+ 4y⁰+ 5y = 0.

2. Determinare una soluzione particolare dell’equazione differenziale y⁰⁰+ 4y⁰+ 5y = −8 cos x.