Test di Geometria (versione corretta) Ing. Meccanica a.a. 2017/18
Il test consiste di sei esercizi, e ha la durata di tre ore. Rispondere negli spazi predisposti, e giustificare le risposte in modo chiaro e conciso (se occorre, usare il retro del foglio).
Esercizio 1 `E data la conica γk: 2x2+ 5y2+ 4xy + 2kx = 0, dipendente dal parametro k.
a) Determinare i valori di k ∈ R per i quali γk `e generale, e in corrispondenza di tali valori trovare la sua forma canonica.
b) Determinare i valori di k per i quali la conica `e contenuta in una striscia di piano di ampiezza 5. (Nota: una striscia di piano `e la regione compresa tra due rette parallele).
c) Dopo aver verificato che per k = 6 la conica `e un’ellisse reale, si determinino le equazioni della circonferenza σ1, inscritta a γ6, e della circonferenza σ2, circoscritta a γ6.
Esercizio 2
a) Nello spazio `e data la retta r di equazioni cartesiane
(2x − 2y + z = 0
y − 1 = 0 . Determinare l’equazione cartesiana della retta s per l’origine, perpendicolare ed incidente la retta r.
b) Determinare l’equazione della sfera passante per i punti A = (2, 0, 0), B = (0, 2, 0) e C = (0, 0, 2) e avente centro sul piano π : x + 2y + z − 8 = 0.
c) Determinare tutti i punti P tali che {A, B, C, P } sia l’insieme dei vertici di un tetraedro regolare dove A, B e C sono come al punto precedente. Ricordiamo che un tetraedro regolare `e un poliedro le cui quattro facce sono triangoli equilateri.
Esercizio 3 a) Sia (v1, v2, v3, v4) una base di uno spazio vettoriale V . Dato un parametro reale k, si consideri l’unico endomorfismo f di V tale che
f (v1) = v2
f (v2) = kv1+ v3
f (v3) = kv1+ v4
f (v4) = 2v1+ kv2+ kv3+ kv4. a) Determinare i valori di k per i quali f risulta iniettivo.
b) Determinare una base del nucleo di f in corrispondenza dei valori di k per i quali esso non
`
e iniettivo.
c) Si fissi ora k = 0. Stabilire se esiste una base di V rispetto alla quale la matrice associata a f risulta diagonale.
Esercizio 4 a) Sia A una matrice m × n e X = (x1, . . . , xn)t∈ Rn. Si consideri il sottospazio E = {X ∈ Rn: AX = O}. Esprimere la dimensione di E in funzione di m, n e rkA. Dimostrare poi che, se m < n, allora dim E ≥ 1.
b) Sono dati i sottospazi F, F, G di R4, aventi equazioni rispettive:
E : x1+ x2+ 2x3+ x4= 0 F : x1+ 2x2+ x3+ 5x4= 0 G : x1− x2+ 4x3+ kx4= 0
(si noti che G dipende dal parametro k). Determinare, se possibile, una base di E formata da vettori le cui componenti sono numeri interi, e poi una base ortonormale di E ∩ F .
c) Per i sottospazi di cui al punto precedente, calcolare dim(F ∩ G) e dim(E ∩ F ∩ G) al variare di k.
Esercizio 5 `E data la matrice A =
1 0 1
−1 0 −1
2 0 2
.
a) Determinare gli autovalori di A.
b) Determinare, se possibile, una matrice diagonale D e una matrice invertibile M tali che D = M−1AM .
c) Sia ora B una matrice n × n non diagonalizzabile, che ammetta un autovalore nullo. `E vero che BBt`e diagonalizzabile ? `E vero che BBt`e invertibile ? (Rispondere motivando la risposta, e chiarire se la verit`a o la falsit`a dell’affermazione dipende dalla scelta della matrice B).
Esercizio 6
a) Sono date le matrici A1=1 0 0 0
, A2 =1 1 0 0
, A3 =1 1 1 0
, A4 =1 1 1 1
. Stabilire se A1, A2, A3, A4, in quanto vettori di Mat(2 × 2), formano una base di Mat(2 × 2), e in tal caso calcolare le coordinate di B = 3 1
−1 4
rispetto a tale base.
b) Dato il punto A = (1, 0, 1), determinare il punto B sul piano π : x + y + 2z = 0 tale che il vettore ~AB abbia lunghezza minima.
c) Trovare, se possibile, un endomorfismo f di R2 avente autovalori 1, 3 e tale che dim Kerf = dim Imf .
