4x+ 2y+ 5z) trovare: a) la matrice associata (rispetto alle basi canoniche)

Istituzioni di Matematiche II per Sc. Geologiche A.A. 1998{99

2 marzo 1999

1) Dire se i seguenti 3 vettori di ^R3 sono linearmente indipendenti (e giusticare la risposta):

a) ^u1 = (3^;2^;0)^{; u2} = (^,2^;0^;1)^{; u3} = (0^;2^;1);

b) Trovare un vettore ^v= (^a;b;c) ortogonale ad ^u1 e ad ^u2 e di lunghezza ^p30.

2) Data la funzione ^f :^{R3 ,!R3} denita da:

f(^x;y;z) = (^,4^x,2^y,5^z; 3^x+ 2^y+ 3^z; 4^x+ 2^y+ 5^z) trovare:

a) la matrice associata (rispetto alle basi canoniche);

b) gli autovalori ed autovettori di ^f.

3) Sia ^f(^x;y) = ^x3exy. Calcolare:

a) il gradiente di ^f;

b) la matrice Hessiana di ^f.

4) Risolvere le seguenti equazioni dierenziali:

y

0 = (^y,1)cos(^x); 3^y0 = 1 (^x,3)^y2:

5) Risolvere il seguente sistema di equazioni dierenziali:

(

y 0

1 = 3^y1,y2+ 5^x

y 0

2 = 2^y1+^y2,1