Exercices de cours du chapitre IV
3
Exercice IV-1: Base modale et pulsations propres
Considérons le système constitué de trois pendules simples identiques de masse m , de longueur A . Les masses sont reliées entre elles par des ressorts identiques de raideur k .
A l’équilibre les ressorts sont non contraints, et les trois pendules sont verticaux.
g G
θ
ik k
m m m
Dans le cadre de l’hypothèse des petits mouvements, déterminez les matrices masse et raideur.
Calculez les fréquences et les modes propres du système.
Pour simplifier les calculs on posera : g = A α et k = β m
Donnez une représentation de chaque mode.
On donne au système une position initiale, et on lâche le système sans vitesse initiale. Quelle est sa réponse en oscillations libres.
Pour ( , θ θ θ
1 2,
3)
o= (0, θ
o, 0) , puis ( , θ θ θ
1 2,
3)
o= − ( θ
o, 0, θ
o) Analysez les résultats.
Corrigé de l’exercice IV-1: triple pendule
Le système est constitué de trois pendules simples identiques de longueur A . A l’équilibre les ressorts sont non contraints, et les trois pendules sont verticaux.
Méthodologie :
Calcul des énergies, cinétique est potentielle : ( Ec Ep , )
g G
θ
ik k
m m m
Développement limité au second ordre et écriture matricielle : 2 2
T T
Ec X MX Ep X KX
⎧ ≅
⎨ ≅
⎩
Calcul des pulsations propres ω
isolution de : det ( [ ] K − ω
2[ ] M ) = 0
Les modes propres { } Z
isont solutions de : ( [ ] K − ω
i2[ ] M ) { } { } Z
i= 0
Ici
2 2 2 2
1 2 3
2 Ec = m A ( θ + θ + θ ) pas de DL à faire
( )
2 2 2
1 2 3 2 1 3 2
(cos cos cos ) 1 ( ) ( )
Ep = − mg A θ + θ + θ + 2 k A θ θ − + θ θ − + Cte
Avec le DL à l’ordre 2 : cos θ ≅ − 1 θ
2/ 2
Î 2 Ep ≅ mg A ( θ
12+ θ
12+ θ
12) + k A
2( ( θ θ
2−
1)
2+ ( θ θ
3−
2)
2) + Cte
Écriture matricielle : on pose { }
1 2 3X
T=< θ θ θ >
Î 2 Ec = X MX
Tavec : [ ]
21 1
1
M m
⎡ ⎤
⎢ ⎥
= ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
A
2 Ep ≅ X KX
Tavec : [ ]
2 2
2 2 2
2 2
0 2
0
mg k k
K k mg k k
k mg k
⎡ + − ⎤
⎢ ⎥
= ⎢ − + − ⎥
⎢ − + ⎥
⎣ ⎦
A A A
A A A A
A A A
Valeurs propres :
Pour simplifier les calculs on pose : g = A α et k = β m
Nous avons tenu compte que les ressorts ne sont pas contraints pour
θ
i= 0
Pour identifier les matrices à partir des énergies il faut penser forme quadratique symétrique définie positive.
Exercices de cours du chapitre IV
4
En mettant mA
2en facteur [ ] [ ]
22 0
0
K M m
α β λ β
λ β α β λ β
β α β λ
+ − −
⎡ ⎤
⎢ ⎥
− = ⎢ − + − − ⎥
⎢ − + − ⎥
⎣ ⎦
A
[ ] [ ]
( )
det K λ M 0
Δ = − =
Î
0
0 0
α β λ β
β α β λ α λ β α β λ
+ − −
− + − − =
− + −
Î ( α β λ α β λ + − ) ( ( + − )
2+ β α λ ( − ) ) − β α β λ
2( + − ) = 0 Î ( α β λ α β λ + − ) ( ( + − )
2− β
2+ β α λ ( − ) ) = 0
Î ( α β λ α λ α + − )( − )( + 3 β λ − ) = 0 D’où les 3 pulsations propres : ω
12= g
A ,
2 2
g k ω = + m
A ,
2
3
g 3 k
ω = + m A
Recherche des modes propres :
Associé à λ α
1= Î
1112{ }
13
0
2 0
0
z z z
α β α β
β α β α β
β α β α
+ − −
⎡ ⎤ ⎧ ⎫
⎢ − + − − ⎥ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ =
⎢ ⎥ ⎪ ⎪
⎢ − + − ⎥
⎣ ⎦ ⎩ ⎭
Î z
11= z
12= z
13Le mode est déterminé à une constante multiplicative près.
On choisi ici de fixer la première composante = 1 Î { } Z
1 T=< 1 1 1 >
Associé à λ
2= + α β Î
2122{ }
23
0 0
0
0 0
z z z β
β β β
β
⎡ − ⎤ ⎧ ⎫
⎢ − − ⎥ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ =
⎢ ⎥
⎢ − ⎥ ⎪ ⎪
⎣ ⎦ ⎩ ⎭
Î z
22= 0 et z
21+ z
23= 0
Î { } Z
2 T=< 1 0 − > 1
Associé à λ α
3= + 3 β Î
3231{ }
33
2 0
0
0 2
z z z
β β
β β β
β β
− −
⎡ ⎤ ⎧ ⎫
⎢ − − − ⎥ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ =
⎢ ⎥
⎢ − − ⎥ ⎪ ⎪
⎣ ⎦ ⎩ ⎭
Î 2 z
31+ z
32= 0 et 2 z
33+ z
32= 0
Î { } Z
2 T=< 1 − 2 1 >
Représentation des modes, ou signification physique : 1
ermode
θ θ θ
2
ièmemode
θ θ
3
ièmemode
θ θ
2θ
Si on donne au système une position initiale correspondant à l’une des déformées ci-dessus, et qu’on le lâche sans vitesse initiale. Le système oscillera avec la pulsation propre correspondante, en conservant la déformée représentée par le mode propre associé.
Si on donne au système une position initiale différente d’un des modes, sa réponse sera obtenue en combinant ces trois déformées modales. C’est la réponse en oscillations libres.
Pour simplifier les calculs nous avons additionné la troisième ligne à la seconde.
Il est important de les classer dans l’ordre croissant.
Système de rang 2.
Système de rang 2.
Î Choix z21=1
Choix z31=1
Exercices de cours du chapitre IV
5 Oscillations libres :
Posons { } X = [ ] Z { } q avec [ ] 1 1 1 0 1 2
1 1 1 Z
⎡ ⎤
⎢ ⎥
= ⎢ − ⎥
⎢ − ⎥
⎣ ⎦
Le système d'équations [ ] [ ][ ] Z
TM Z { } q t ( ) + [ ] [ ][ ] Z
TK Z { } { } q t ( ) = 0 est découplé
i i2 i
0 i q ω q
∀ + = Î
i( )t i0cos
isin
i0 ii
q q ω t q ω t
= + ω
Les conditions initiales sont déterminées par { } q
0= [ ] Z
−1{ } { } X
0et q
0= [ ] Z
−1{ } X
0Ici { } X
0= { } 0 Î { } { } q
0= 0
[ ]
11 2 3 0 2 3 2
6 1 2 1
Z
−− − −
⎡ ⎤
⎢ ⎥
= − ⎢ − ⎥
⎢ − − ⎥
⎣ ⎦
Pour ( , θ θ θ
1 2,
3)
o= (0, θ
o, 0) Î { }
0[ ]
10 2 2 2 0
1 1
3 0 3 0
6 3
0 1 2 1 0
o
o o
o
q Z
θ
θ θ
θ
−
− − −
⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫
⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
= ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ = − ⎢ ⎢ ⎣ − − − ⎥ ⎥ ⎦ ⎩ ⎭ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ = ⎨ ⎪ ⎩ − ⎬ ⎪ ⎭
Î
1 0cos
1q = θ 3 ω t ; q
2= 0 ;
3 0cos
3q = − θ 3 ω t
Dans { } X = [ ] Z { } q Î
12 0 11 333 1 3
cos cos cos 2 cos 3 cos cos
t t
t t
t t
θ ω ω
θ θ ω ω
θ ω ω
⎧ ⎫ ⎧ − ⎫
⎪ ⎪ = ⎪ + ⎪
⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎪ ⎪ ⎪ − ⎪
⎩ ⎭ ⎩ ⎭
Analyse : on obtient une combinaison des modes 1 et 3 car le second mode n’est pas excité par un déplacement du second pendule dans la position initiale (nœud de vibration du système)
Pour ( , θ θ θ
1 2,
3)
o= − ( θ
o, 0, θ
o) Î { }
0[ ]
12 2 2 0 0
0 1 3 0 3
6 1 2 1 0 0
o
o o
o
q Z
θ
θ θ
θ
−
− − − −
⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫
⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
= ⎨ ⎪ ⎩ ⎬ ⎪ ⎭ = − ⎢ ⎢ ⎣ − − − ⎥ ⎥ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎨ ⎬ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ = − ⎬ ⎪ ⎭
Î
1 3
0
q = q = , et q
2= − θ
0cos ω
2t
Dans { } X = [ ] Z { } q Î
12 0 23 2
cos 0 cos
t
t
θ ω
θ θ
θ ω
⎧ ⎫ ⎧ − ⎫
⎪ ⎪ = ⎪ ⎪
⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎩ ⎭ ⎩ ⎭
Analyse : on vérifie que le système oscille avec la pulsation ω
2en conservant la déformée initiale.
Pour éviter le calcul de Z-1 il aurait été judicieux de normer les modes avec la matrice masse
