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ANALISI MATEMATICA II- 13 gennaio 2010. Il numero del compito `e dato dalla costante nell’esponente di

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Academic year: 2021

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ANALISI MATEMATICA II- 13 gennaio 2010.

Il numero del compito `e dato dalla costante nell’esponente di e dell’esercizio 6.

COMPITO 1

1. ∂f ∂x (0, 0) = 0, ∂f ∂y (0, 0) non esiste; f `e continua in (0, 0).

2. m = √ 3

2 in (− 3 2 , 3 2 ), M = 3 √

5 in (3, 0).

3. α = 4, ϕ(x, y, z) = 1 2 log(x 2 + y 2 + 1) + 3xz + y arctan z 4. 9 2 √

2π

5. converge puntualmente a f (x) ≡ 0, ma non uniformemente in R e vale la relazione.

6. cos y e −(y+1)

2

`e C 1 (R 2 ) e limitata, quindi esistenza ed unicit`a globali; per β = π 2 + kπ , k ∈ Z, u(t) ≡ π 2 + kπ soluzioni stazionarie; se − π 2 < β < π 2 soluzione u crescente, se π 2 < β < 3 2 π decrescente; asintoti orizzontali sia per t → −∞ sia per t → +∞.

7. a 1 + b 1 = 3 + π 2 . 8. 2 4

COMPITO 2

1. ∂f ∂x (0, 0) = 0, ∂f ∂y (0, 0) non esiste; f `e continua in (0, 0).

2. m = √ 5

2 in (− 5 2 , 5 2 ), M = 5 √

5 in (5, 0).

3. α = 6, ϕ(x, y, z) = 1 2 log(x 2 + y 2 + 1) + 5xz + y arctan z 4. 25 2 √

2π

5. converge puntualmente a f (x) ≡ 0, ma non uniformemente in R e vale la relazione.

6. cos y e −(y+2)

2

`e C 1 (R 2 ) e limitata, quindi esistenza ed unicit`a globali; per β = π 2 + kπ , k ∈ Z, u(t) ≡ π 2 + kπ soluzioni stazionarie; se − π 2 < β < π 2 soluzione u crescente, se π 2 < β < 3 2 π decrescente; asintoti orizzontali sia per t → −∞ sia per t → +∞.

7. a 1 + b 1 = 5 + π 2 . 8. 2 5

COMPITO 3

1. ∂f ∂x (0, 0) = 0, ∂f ∂y (0, 0) non esiste; f `e continua in (0, 0).

2. m = √ 7 2 in (− 7 2 , 7 2 ), M = 7 √

5 in (7, 0).

3. α = 8, ϕ(x, y, z) = 1 2 log(x 2 + y 2 + 1) + 7xz + y arctan z 4. 49 2 √

2π

5. converge puntualmente a f (x) ≡ 0, ma non uniformemente in R e vale la relazione.

(2)

6. cos y e −(y+3)

2

`e C 1 (R 2 ) e limitata, quindi esistenza ed unicit`a globali; per β = π 2 + kπ , k ∈ Z, u(t) ≡ π 2 + kπ soluzioni stazionarie; se − π 2 < β < π 2 soluzione u crescente, se π 2 < β < 3 2 π decrescente; asintoti orizzontali sia per t → −∞ sia per t → +∞.

7. a 1 + b 1 = 7 + π 2 . 8. 2 6

COMPITO 4

1. ∂f ∂x (0, 0) = 0, ∂f ∂y (0, 0) non esiste; f `e continua in (0, 0).

2. m = √ 9

2 in (− 9 2 , 9 2 ), M = 9 √

5 in (9, 0).

3. α = 10, ϕ(x, y, z) = 1 2 log(x 2 + y 2 + 1) + 9xz + y arctan z 4. 81 2 √

2π

5. converge puntualmente a f (x) ≡ 0, ma non uniformemente in R e vale la relazione.

6. cos y e −(y+4)

2

`e C 1 (R 2 ) e limitata, quindi esistenza ed unicit`a globali; per β = π 2 + kπ , k ∈ Z, u(t) ≡ π 2 + kπ soluzioni stazionarie; se − π 2 < β < π 2 soluzione u crescente, se π 2 < β < 3 2 π decrescente; asintoti orizzontali sia per t → −∞ sia per t → +∞.

7. a 1 + b 1 = 9 + π 2 . 8. 2 7

COMPITO 5

1. ∂f ∂x (0, 0) = 0, ∂f ∂y (0, 0) non esiste; f `e continua in (0, 0).

2. m = √ 11

2 in (− 11 2 , 11 2 ), M = 11 √

5 in (11, 0).

3. α = 12, ϕ(x, y, z) = 1 2 log(x 2 + y 2 + 1) + 11xz + y arctan z 4. 121 2 √

2π

5. converge puntualmente a f (x) ≡ 0, ma non uniformemente in R e vale la relazione.

6. cos y e −(y+5)

2

`e C 1 (R 2 ) e limitata, quindi esistenza ed unicit`a globali; per β = π 2 + kπ , k ∈ Z, u(t) ≡ π 2 + kπ soluzioni stazionarie; se − π 2 < β < π 2 soluzione u crescente, se π 2 < β < 3 2 π decrescente; asintoti orizzontali sia per t → −∞ sia per t → +∞.

7. a 1 + b 1 = 11 + π 2 . 8. 2 8

COMPITO 6

1. ∂f ∂x (0, 0) = 0, ∂f ∂y (0, 0) non esiste; f `e continua in (0, 0).

2. m = √ 13 2 in (− 13 2 , 13 2 ), M = 13 √

5 in (13, 0).

3. α = 14, ϕ(x, y, z) = 1 2 log(x 2 + y 2 + 1) + 13xz + y arctan z

(3)

4. 169 2 √ 2π

5. converge puntualmente a f (x) ≡ 0, ma non uniformemente in R e vale la relazione.

6. cos y e −(y+6)

2

`e C 1 (R 2 ) e limitata, quindi esistenza ed unicit`a globali; per β = π 2 + kπ , k ∈ Z, u(t) ≡ π 2 + kπ soluzioni stazionarie; se − π 2 < β < π 2 soluzione u crescente, se π 2 < β < 3 2 π decrescente; asintoti orizzontali sia per t → −∞ sia per t → +∞.

7. a 1 + b 1 = 13 + π 2 .

8. 2 9

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