COMPITO di ANALISI MATEMATICA 6/10/2020

COMPITO di ANALISI MATEMATICA 6/10/2020

I M 1) Calcolare " $ 3^$.

Dato che "  $ 3 œ # "  $3 œ # cos  3sen si ha:

# # $ $

   

 1 1

" $ 3 $  3 $ œ )  3 œ  )

$ $

$ œ )cos 1 sen 1 cos sen 

1 1 .

Quindi:

" $ 3 œ ) œ )   5  3   5 ß ! Ÿ 5 Ÿ " Þ

# # # #

# #

$ cos 1 1 sen 1 1

Per 5 œ ! si ha D œ!  )  3 œ ## 3à

# #

cos1 sen1

per 5 œ " si ha D œ_"  ) $  3 $  œ  ## 3Þ

# #

cos 1 sen 1

I M 2) Verificare se la funzione può, mediante un sen

0 Bß C œ

B C B

B  C Bß C Á !ß !

5 Bß C œ !ß !

 





   

   

2 2

opportuno valore di , essere resa continua 5 a Bß C −  ‘², determinando poi se essa risulti anche differenziabile in  !ß ! .

Calcoliamo sen passando a coordinate polari ed avremo:

   BßC Ä !ß!lim

B C B

B  C^{2 2}

lim lim lim

   BßC Ä !ß! Ä! Ä!

#

#

B C B

B  Csen Ê cos sen sen cos œ œ !

cos sen sen cos .

2 2 4 4

4 * * 4 *

4   * * 4 *

La convergenza è uniforme in quanto cos sen sen * * 4cos*Ÿ4. Quindi la funzione è continua in  !ß ! se 5 œ !.

Passando al calcolo del gradiente, avremo poi:

`0 0 !  2ß !  0 !ß ! "

`B !ß ! œ lim  2   œ lim † 2 œ ! à

2Ä! 2Ä!

! 2^#

`0 0 !ß !  2  0 !ß ! "

`C !ß ! œ lim  2   œ lim † 2 œ ! Þ

2Ä! 2Ä!

! 2^# Quindi f0   !ß ! œ !ß ! .

Per la differenziabilità in  !ß ! dobbiamo infine verificare se:

   BßC Ä !ß!lim # #

0 Bß C  0 !ß !  !ß ! † B  !ß C  ! B  !  C  !

      œ !

   

f0  ovvero se:

   BßC Ä !ß!lim # #

B C B "

B  Csen B  C œ !

. Passando a coordinate polari si ha:

2 2 † 

lim lim

4Ä! 4Ä!

#

#

# #

cos sen cos sen

cos sen sen cos sen cos

cos

4 * * 4 * 4 *

4   4 4 *  * * * *

† " œ "

œ † † Þ

Dato che il limite è uguale a solo per particolari valori di , la funzione non è differenziabi-! * le in  !ß ! Þ

I M 3) Data l'equazione 0 Bß C œ B  senC  CcosB œ !, verificare che in P! œ !ß !  è possibile definire una funzione implicita avente come variabile dipendente da , e quindiC B calcolare le derivate prima e seconda di C B  in B œ !.

La funzione 0 Bß C  è funzione differenziabile a Bß C −  ‘^#, con 0 !ß ! œ !  ! œ !  . Risulta poi:f0 Bß C œ  senC  CsenBà BcosC cosB Þ Quindi f0 !ß ! œ ! à  ". Dato che 0 !ß ! œ_C^w   1Á ! si può definire una funzione implicita B Ä C B  la cui deriva- ta prima sarà uguale a: C ! œ  0 !ß ! œ  œ ! Þ

0 !ß !

w w

B Cw

   

 

!

 "

Abbiamo poi cos cos sen

cos sen sen

‡Bß C œ  C B C  B ‡ œ ! "

C  B  B C da cui !ß ! " ! e dalla:

C œ  0  #0 C  0 C C ! œ  œ ! Þ

0  "

!  # "  !

ww ww ww w ww w ww

BB BC CC #

Cw

  avremo:   † † !

I M 4) Data la funzione 0 Bß C œ /  ^{B C# #} ed il versore @œcosαßsenα calcolare le sue derivate direzionali W^#_{@ @}0 !ß ! .

La funzione 0 Bß C œ /  ^{B C# #} risulta palesemente differenziabile due volte a Bß C −  ‘^#. Quindi W^#_@ß@0 !ß ! œ @ †‡0 !ß ! † @^X .

Da f0Bß C œ #B /  ^{B C# #}à #C /^{B C# #} otteniamoÀ

‡Bß C œ     ‡ œ

     

# "  #B / %BC / # !

%BC / # "  #C / Ê !ß !

! #

#

#

B C B C

B C B C

# # # #

# # # # per cui:

W α α α α α

α

# # #

@ß@0 !ß ! # ! #  # œ #

! #

 œcos sen †  † cos œ Þ

sen cos sen

II M 1) Risolvere il problema Max/min . s.v. :

 0 Bß C œ B  C  B Ÿ C Ÿ "

# #

#

La funzione obiettivo del problema è una funzione continua, i vincoli definiscono una regione ammissibile che è un insieme compatto, e quindi possiamo applicare il Teorema di Weier- strass. Sicuramente la funzione ammette valore massimo e valore minimo.

Per risolvere il problema utilizziamo le condizioni di Kuhn-Tucker.

Scriviamo il problema nella forma

Max/min s.v.:





 



0 Bß C œ B  C B  C Ÿ !

C  " Ÿ !

# #

#

ABß Cß- -_"ß _#œB  C ^{# #} -_"B  C ^#  -_#C  ". Applicando le condizioni del primo ordine abbiamo:

1) caso -_" œ !ß-_# œ ! À

 

 

 

 

 

 

 

A A

wB wC

œ #B œ ! œ  #C œ !

Ê

B œ ! C œ ! B  C Ÿ !

Ÿ !

! Ÿ ! !  #

Ÿ !

# !

#

C  "  "

Bß C œ œ !ß !

Þ Essendo ‡    ‡  si ha che, globalmente, il punto  !ß ! è un punto di sella. Lo studieremo più precisamente in seguito.

2) caso -_" Á !ß-_# œ ! À

 

 

 

 

 

 

 

A - -

A -

-

wB " "

wC "

"

œ #B  # B œ #B "  œ ! œ  #C  œ !

Ê

B œ ! C œ ! œ !

 

C œ B

C Ÿ " ! Ÿ "

# À lo studieremo più precisamente dopo;

   

   

   

   

   



  

  

  

  

  

  

A - -

A -

- -

wB " "

wC "

#

" "

œ #B  # B œ #B "  œ ! œ  #C  œ !

Ê Ê

B œ C œ

œ

B œ B œ 

C œ C œ

œ

 

C œ B

C Ÿ " Ÿ " Ÿ "

#

"

"#

#

"

#

" "

# #

" "

# #

"

#

1 1

 

∪ -_" œ 1

"

# Ÿ "

Þ

Dato che -"  ! i punti " ß" e " ß " potrebbero essere punti di massimo.

# # # #

    

3) caso -_" œ !ß-_# Á! À

 

 

 

 

 

 

 

A

A -

-

wB

wC #

#

œ #B œ !

œ  #C  œ !

C œ " Ê

B œ ! C œ "

B Ÿ C

œ  #  !

! Ÿ "

#

Þ

Dato che -_#  ! il punto  !ß " potrebbe essere un punto di minimo.

4) caso -_" Á!ß-_# Á! À

  

  

  

  

  

  

  

A -

A - -

- -

- - - -

wB "

wC " #

" "

" # " #

œ #B  # B œ !

œ  #C   œ !

C œ "

Ê ∪ Ê

B œ " B œ  "

C œ " C œ "

#  # œ ! #  # œ !

 œ #  œ #

C œ B^# 

Ê ∪

B œ " B œ  "

C œ " C œ "

œ " œ "

œ  " œ  "

 

 

 

 

 

 

 

   

- -

- -

" "

# #

. I punti "ß " e  "ß " non sono né di massimo né di mi-

nimo.

Studiamo la funzione obiettivo sul vincolo C œ B^#.

Risulta 0 Bß B ^#œ B  B Ê 0 B œ #B  %B œ #B "  #B^{# % w}  ^$  ^#  ! . Si ha "  #B   ! B Ÿ "

#

# Ê # Ê  " Ÿ B Ÿ "

# #

  per cui:

I punti  " "  e " " sono punti di massimo con  " " .

#ß #ß #ß

# # #

   0 „ œ "

% Studiamo la funzione obiettivo sul vincolo C œ ".

Risulta 0 Bß " œ B  " Ê 0 B œ #B   !  ^{# w}  per B   !.

Il punto  !ß " è un punto di minimo con 0 !ß " œ  "  .

Infine studiamo il punto  !ß ! . Si ha 0 !ß ! œ !  . Poi 0 Bß C œ  B  C  ^{# #} ! per C Ÿ B^{# #} che risulta soddisfatta per  B Ÿ C Ÿ B   . In ogni intorno del punto  !ß ! abbiamo valori sia positivi che negativi e quindi  !ß ! è un punto di sella.

II M 2) Data la funzione 0 Bß Cß D œ B  BC  C  D  ^{# # #} determinare esistenza e natura degli eventuali punti stazionari.

Determiniamo i punti stazionari della funzione. Applicando le condizioni del primo ordine

abbiamo: f0 Bß Cß D œ   Ê Ê Þ

0 œ #B  C œ ! 0 œ  B  #C œ ! 0 œ #D œ !

B œ ! C œ ! D œ !

 

 

 

Bw Cw Dw

Quindi applichiamo le condizioni del secondo ordine:

‡Bß Cß D œ œ‡

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 #  " !  

 " # !

! ! #

!ß !ß ! . Dato che:





  

 ‡  

‡

‡

"

#

$

œ #  ! œ $  ! œ '  !

!ß !ß !

il punto è un punto di minimo.

II M 3) Determinare la soluzione generale dell'equazione differenziale lineare non omogenea C  C  C  C œ B Þ^{www ww w}

Risolviamo anzitutto l'equazione omogenea associata determinando le radici del polinomio caratteristico. Essendo -^$-^#- " œ- "-^# " abbiamo le tre soluzioni - œ " ß

-œ 3 ß - œ  3 e quindi la soluzione generale C B œ - /  -  " B #senB  -$cosB Þ

Per trovare una soluzione particolare dell'equazione non omogenea, usiamo la C œ +B  , Þ!

Da cui C œ + ß C œ C œ !_!^w _!^ww _!^www e quindi sostituendo avremo: !  !  +  +B  , œ B da cui ricaviamo   + œ " e quindi per cui . Per cui la soluzione

+  , œ ! + œ , œ  " C œ  B  "_! generale dell'equazione differenziale lineare non omogenea sarà:

C B œ - /  -  " B #senB  -$cosB  B  ".

II M 4) Data œBß C − ‘²: "  B Ÿ CŸ "  B^#ßcalcolare   BC B C d d .



Vista la regione di integrazione:

avremo:

      



BC B C œ BC C B œ B "C B œ

d d d d # d

! !

" "B "

#

"B

"B "B

# #

œ "B "  B  B œ " B  $B  #B B œ

# #

      

! !

" "

# # # & $ #

"  B d d

œ " " B  $B  #B œ " "  $  # œ " † " œ "

#' ^' % ^% $ ^$ #' % $ # "# #%

"

!

.