a) Secondo le leggi di Keplero, l'orbita di un pianeta è un'ellisse, con il Sole in uno dei due fuochi.

ELLISSE

1) Definizione di ellisse come luogo geometrico.

L’ellisse è il luogo

geometrico dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze di tali punti da due punti fissi dati detti fuochi.

Esempio di utilizzo dell’ellisse:

a) Secondo le leggi di Keplero, l'orbita di un pianeta è un'ellisse, con il Sole in uno dei due fuochi.

Caso particolare: Se i due fuochi coincidono, si ha una circonferenza, che può considerarsi quindi un caso particolare di ellisse (ad eccentricità nulla).

L'eccentricità di un'ellisse è un valore numerico compreso tra zero e uno.

2) Come si determina l’equazione dell’ellisse con i fuochi sull’asse x.

Consideriamo due punti fissi F1 e F2 sull’asse delle x, simmetrici rispetto all’origine, tali che la loro distanza sia uguale a 2c e consideriamo come luogo geometrico l’insieme dei punti

dell’ellisse per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi. Indichiamo con 2a il valore di tale somma.

Dal teorema delle disuguaglianze dei lati di un triangolo che afferma che in un triangolo qualsiasi ogni lato è minore della somma degli altri due, emerge che:

𝐹1𝐹2 ������� < 𝑃𝐹1 ������ + 𝑃𝐹2 ������

2c<2a

Indicando con P(x;y) le coordinate generiche del punto P dell’ellisse e con F1(-c;0) e F2(c;0) le coordinate dei due fuochi, si hanno le seguenti relazioni:

𝑃𝐹1 ������ = �(𝑥 + 𝑐)

+ (𝑦 − 0)

→ �𝑥

+ 2𝑐𝑥 + 𝑐

+ 𝑦

𝑃𝐹2 ������ = �(𝑥 − 𝑐)

+ (𝑦 − 0)

→ �𝑥

− 2𝑐𝑥 + 𝑐

+ 𝑦

Sostituendo tali relazioni nell’uguaglianza 𝑃𝐹1������ + 𝑃𝐹2������ = 2𝑎 ( definizione di ellisse), si ottiene l’equazione irrazionale:

�𝑥²+ 2𝑐𝑥 + 𝑐² + 𝑦²+�𝑥²− 2𝑐𝑥 + 𝑐²+ 𝑦² = 2𝑎

Isoliamo la prima radice ed eleviamo il primo e il secondo membro al quadrato:

��𝑥²+ 2𝑐𝑥 + 𝑐²+ 𝑦²�²=�2a − �𝑥²− 2𝑐𝑥 + 𝑐²+ 𝑦²�² ->

𝑥²+ 2𝑐𝑥 + 𝑐²+ 𝑦² = 4𝑎²− 4𝑎�𝑥²− 2𝑐𝑥 + 𝑐²+ 𝑦²+ 𝑥²− 2𝑐𝑥 + 𝑐² + 𝑦²

Semplificando i termini uguali presenti ad entrambi i membri, sommando i monomi simili si ottiene:

4𝑐𝑥 = 4𝑎²− 4𝑎4𝑎²− 4𝑎�𝑥²− 2𝑐𝑥 + 𝑐²+ 𝑦²

Dividendo entrambi i membri per 4 ( II principio di equivalenza delle equazioni) e isolando la radice si ottiene:

𝑎�𝑥² − 2𝑐𝑥 + 𝑐²+ 𝑦² = 𝑎²− 𝑐𝑥

Eleviamo il primo e il secondo membro al quadrato e si ottiene:

𝑎²(𝑥²− 2𝑐𝑥 + 𝑐²+ 𝑦²) = 𝑎⁴− 2𝑎²𝑐𝑥 + 𝑐²𝑥²

Svolgiamo il prodotto, portiamo tutti i termini contenenti le incognite x e y al I membro e i termini noti a II membro, semplifichiamo termini uguali ad entrambi i membri:

𝑎²𝑥²− 𝑐²𝑥²+ 𝑎²𝑦² = 𝑎⁴− 𝑎²𝑐²

Raccogliendo si ha: (𝑎²− 𝑐²)𝑥² + 𝑎²𝑦² = 𝑎²(𝑎²− 𝑐²)

Poiché 𝑎² > 𝑐², affermazione che si deduce direttamente dal fatto che 2c<2a ( vedi pagina precedente), per semplificare il testo possiamo porre: 𝑏² = 𝑎² − 𝑐²

Pertanto l’equazione dell’ellisse diventa: 𝑏²𝑥²+ 𝑎²𝑦² = 𝑎²𝑏²

Dividendo tutti i termini dell’equazione per l’espressione 𝑎²𝑏² si ottiene l’EQUAZIONE CANONICA DELL’ELLISSE CON I FUOCHI SULL’ASSE X:

𝒙^𝟐 𝒂^𝟐+𝒚^𝟐

𝒃^𝟐= 𝟏 Osservazioni:

• Il valore di a² è SEMPRE DIVERSO E MAGGIORE di b², quindi l’equazione di una ellisse si riconosce dall’equazione di una circonferenza perché nell’equazione di una ellisse i fattori numerici che moltiplicano x² e y² sono sempre diversi ma con lo stesso segno.

• Inoltre i termini a², b², c² si ricordano perché possono essere visti come misure dei lati di un triangolo rettangolo di ipotenusa di lunghezza a². Questo triangolo che ha come vertici:

uno dei due fuochi, l’origine del piano cartesiano e uno dei due vertici dell’iperbole con l’asse y.

Osservazione:

Per una ellisse con i fuochi sull’asse y, l’equazione assume la seguente formula canonica:

𝒚^𝟐 𝒂^𝟐+𝒙^𝟐

𝒃^𝟐= 𝟏 In questo caso il termine maggiore a² si trova sotto y^2.

3) Determina l’equazione canonica dell’ellisse con i fuochi sull’asse delle x e simmetrici rispetto all’origine, sapendo che la distanza focale è 5 e la somma delle distanze dei punti dell’ellisse dai due fuochi è pari a 6.

L’esercizio ha soluzione, perché la distanza dei due fuochi (5) è minore della somma delle distanze dei punti dell’ellisse dai due fuochi (6).

Quindi 2𝑐 = 5 → 𝑐 = ⁵₂→ 𝑐² = ²⁵₄ 2𝑎 = 6 → 𝑎 = 3 → 𝑎² = 9

Pertanto 𝑏² = 𝑎²− 𝑐² = 9 −²⁵₄ = ³⁶⁻²⁵₄ = ¹¹₄ L’equazione sarà : ^𝑥2

9

+

4

= 1 →

+

= 1

Il grafico dell’ellisse trovata sarà:

4) Studio delle principali caratteristiche di una ellisse con i fuochi sull’asse x

.

EQUAZIONE CANONICA:

𝒙^𝟐 𝒂^𝟐+𝒚^𝟐

𝒃^𝟐= 𝟏 Con : a²>b² e b²=a²-c²

Vertici: intersezione asse x:

A1(-a;0) e A2(A;0) ; soluzioni del sistema � 𝑒𝑞𝑢𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑒𝑙𝑙𝑖𝑠𝑠𝑒 𝑦 = 0 ( 𝑒𝑞𝑢𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑥)

intersezione asse y:

B1(0;-b) e B2(0;b) ; soluzioni del sistema � 𝑒𝑞𝑢𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑒𝑙𝑙𝑖𝑠𝑠𝑒 𝑥 = 0 ( 𝑒𝑞𝑢𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑦) Asse maggiore = distanza del segmento di lunghezza maggiore: A1A2= 2a

Asse minore= distanza tra gli altri due vertici : B1B2=2b Fuochi: F1 = �−√a²− b²; 0�F₂ = �+√a²− b²; 0�

Distanza focale = 2√a²− b² Eccentricità: 𝒆 =_𝒂^𝒄

L’eccentricità è un numero compreso tra 0 e 1 e indica di quanto l’ellisse è schiacciata.

𝒆 = 𝑐 𝑎 =

√𝑎²− 𝑏²

𝑎 = �𝑎²− 𝑏²

𝑎² = �𝑎² 𝑎²−𝑏²

𝑎² = �1 −𝑏² 𝑎² Pertanto se :

• b=a, l’asse maggiore e l’asse minore sarebbero uguali, i due fuochi coinciderebbero con l’origine, , l’eccentricità e=0, l’ellisse è una circonferenza.

• b=0 , l’asse minore sarebbe uguale a zero, i fuochi sarebbero uguali ai vertici dell’asse maggiore, l’eccentricità e=1, l’ellisse degenera in un segmento.

Con eccentricità più vicina a 1, l’ellisse è più schiacciata.