(a) se il corpo scivola lungo il piano inclinato;

PROBLEMA 15

E’ dato il sistema di piani inclinati della figura qui sotto dove α = 35,0°, β = 40,0°, AB = 2,00 m e BC = 1,50 m. Un corpo di massa m = 2,00 kg è posto in A e tra il corpo e il piano, lungo tutto il tratto ABCD, c’è attrito (coefficiente di attrito statico 0,500; coefficiente di attrito dinamico = 0,300). Stabilire

(a) se il corpo scivola lungo il piano inclinato;

(b) se il corpo riesce a salire lungo il tratto CD e in caso affermativo a che altezza arriva;

(c) in che punto il corpo si ferma definitivamente.

ATTENZIONE: nelle figure gli angoli e i segmenti non sono in scala con i valori assegnati, ma ciò

non pregiudica la soluzione.

SOLUZIONE

Poiché il problema è abbastanza complesso ed è bene fare uno schema della soluzione:

no si

si - 1 -

Il corpo ha un peso sufficiente a vincere la forza di attrito

statico con il piano?

no

- 2 - Il corpo

non si muove.

- 3 -

Studio del moto nel tratto AB e calcolo della velocità in B.

- 4 -

Studio del moto nel tratto BC.

Il corpo arriva in C?

- 5 -

Determino il punto in cui si ferma.

no - 6 -

Determino la velocità in C e studio del moto nel tratto CD.

Determino l’altezza a cui arriva.

- 7 -

In D il peso è sufficiente a vincere la forza di attrito

statico con il piano?

- 8 - Il corpo si ferma.

- 9 -

Il corpo scende lungo il tratto DC.

Calcolo della velocità in C.

si

- 10 - Studio del moto nel

tratto CB.

Il corpo arriva in B?

- 11 -

Determino il punto in cui si ferma.

no

- 12 -

Determino la velocità in B e studio il moto nel tratto BA.

Determino l’altezza a cui arriva.

Riprendo dal punto 3 fino a quando non si riesce a determinare il punto in cui il corpo

si ferma. Non è necessario ripetere i punti 1 e 7 in quanto sappiamo che sono soddisfatte le condizioni di scivolamento.

si

Fine

problema

1) Vediamo se la massa ha un peso sufficiente per vincere la forza di attrito statico con il piano inclinato; affinché ciò avvenga deve essere P
≥ f _A,S da cui segue, essendo P
= mg sen ⋅ α e

A,S S

f = µ ⋅ mg cos ⋅ α ,

mg ⋅ sen α ≥ µ ⋅ _S mg ⋅ cos α

e quindi la condizione tgα ≥ µ _S . Essendo tg35, 0 ° ≈ 0, 7 il corpo inizia a scivolare lungo il tratto AB.

3) Applicando il secondo principio della dinamica si ha F = − P
f _A da cui segue:

m a = m g sen ⋅ α − µ ⋅ D m g cos ⋅ α e quindi:

( ^D )

a = sen α − µ cos α = g 3, 21 ^{m/s 2 .}

Lungo il tratto AB il moto è uniformemente accelerato e scegliendo un sistema di riferimento la cui l’origine coincida con A e il verso sia da A verso B, si hanno le seguenti equazioni del moto

1 2

s at

2 v at

 =

 

 =



da cui

s 1, 61t 2

v 3, 21t

 =

 

 = .

Posto s uguale alla lunghezza del tratto AB, dalla prima equazione si ricava 2 1, 61t = ² e quindi il tempo per arrivare in B: t = 1,12 s. Quando la massa arriva in B, dalla seconda equazione, si ricava che la sua velocità è: v _B = 3, 21t = 3, 21 1,12 ⋅ = 3, 60 m/s.

4) Sul tratto orizzontale BC il moto è decelerato per effetto dell’attrito e applicando il secondo principio della dinamica si ha che F = − f _A da cui segue:

m a = −µ ⋅ _D m g e quindi:

a = −µ D g = − 2, 94 m/s ² .

Scegliendo un sistema di riferimento la cui l’origine coincida con B e il verso sia da B verso C, si hanno le seguenti equazioni del moto

2 B

B

s v t 1 at 2

v v at

 = +

 

 = +



da cui

x 3, 60t 1, 47t 2

v 3, 60 2, 94t

 = −

 

= −

 .

Quando il corpo arriva nel punto C, s = 1,50 m, quindi la prima equazione diventa:

1, 5 = 3, 60t 1, 47t − 2 , ovvero

(*) 1, 47t ² − 3, 60t 1, 5 + = 0 risolvendo

2 1

2

t 0, 534s 3, 60 3, 60 4 1, 47 1, 5

t 2 1, 47 t 1, 91s

± − ⋅ ⋅ =

= =

⋅ =

Si osservi che la seconda soluzione non è accettabile perché quando il corpo arriva in C, cioè dopo 0,534 s, il moto cambia e quindi le equazioni utilizzate perdono di significato.

Per t = 0, 534 s si ha: v _C = 3, 60 2, 94 0, 534 − ⋅ = 2, 03 m/s.[ ¹ ]

Poiché in C il corpo ha ancora una velocità, inizierà a salire su per il secondo piano inclinato.

6) Applicando il secondo principio della dinamica al tratto CD, si ha che F = − − P
f _A da cui segue:

m a = − m g sen ⋅ β − µ ⋅ D m g cos ⋅ β e quindi:

( D )

a = − sen β + µ cos β = − g 8,55 ^{m/s 2 .}

Lungo il tratto CD il moto è quindi uniformemente decelerato e scegliendo un sistema di riferimento la cui l’origine coincida con C e il verso sia da C verso D, si hanno le seguenti equazioni del moto

2 C

C

s v t 1 at 2

v v at

 = +

 

 = +



da cui

1 2

x 2, 03t 8, 55t 2 v 2, 03 8, 55t

 = − ⋅

 

 = −



.

Il corpo si ferma quando v = 0, quindi dopo un intervallo di tempo 2, 03

t 0, 237

8, 55

= = s, ed ha percorso 0,241 m. L’oggetto arriva quindi ad un’altezza h = ⋅ s sen β = 0, 241 sen40 ⋅ = 0,155 m.

7) A questo punto il corpo potrebbe fermarsi se la componente parallela del peso non superasse la forza di attrito statico, ma ripetendo il ragionamento del punto 1) ed essendo

tg40, 0 ° = 0,839 > µ = S 0, 500 , si deduce che esso scende.

9) Applicando il secondo principio della dinamica al tratto DC, si ha che F = − P
f _A da cui segue:

m a = m g sen ⋅ β − µ ⋅ D m g cos ⋅ β e quindi:

( D )

a = sen β − µ cos β = g 4, 05 ^{m/s 2 .}

Lungo il tratto DC il moto è quindi uniformemente accelerato e scegliendo un sistema di riferimento la cui l’origine coincida con D e il verso sia da D verso C, si hanno le seguenti equazioni del moto

1 2

s at

2 v at

 =

 

 =



da cui 1 2

s 4, 05t 2 v 4, 05t

 = ⋅

 

 =



.

[

] L’equazione (*) è una equazione di secondo grado in t e quindi o ammette due soluzioni reali e distinte, o due soluzioni reali e coincidenti o nessuna soluzione. Nel primo caso la massa arriva in C con velocità maggiore di zero ed inizia a salire lungo il piano inclinato, nel secondo caso arriva in C e si ferma, nel terzo caso NON arriva in C e quindi si ferma prima. In quest’ultimo caso bisogna risolvere l’equazione 0 = v

+ at per determinare l’istante in cui la massa

1

Posto s uguale alla lunghezza del tratto DC, ovvero s = 0, 241 m (vedi punto 6), dalla prima equazione si ricava il tempo che il corpo impiega, per arrivare in C, un tempo t = 0,345 s. In C, dalla seconda equazione, esso ha una velocità v _C = 4, 05t = 4, 05 0, 345 1, 40 ⋅ = m/s.

Il corpo prosegue quindi il suo moto verso B.

10) Per stabilire se arriva in B applichiamo il secondo principio della dinamica nel tratto CB, ma quello che si ottiene anche intuitivamente è che l’accelerazione è la stessa di quando la massa sta attraversando il tratto BC in senso opposto, cioè

a = −µ D g = − 2, 94 m/s ² .

Per determinare se il corpo arriva in B dobbiamo utilizzare le equazioni del moto:

2 C

C

s v t 1 at 2

v v at

 = +

 

 = +



da cui

s 1, 40t 1, 47t 2

v 1, 40 2, 94t

 = −

 

= −



Quando arriva al punto B, s = 1,50 m, quindi la prima equazione diventa: 1, 5 1, 40t 1, 47t = − ² , ovvero

1, 47t 2 − 1, 40t 1, 5 + = 0 risolvendo

1, 40 1, 40 2 4 1, 47 1, 5 1, 06 6,86

t 2 1, 47 2,94

± − ⋅ ⋅ ± −

= =

⋅ che è impossibile.

Ciò significa che il corpo NON arriva in B (vedi nota 1).

11) Per determinare il punto X in cui si ferma la massa nell’equazione v = v _C + at poniamo v = 0.

Si ottiene 1, 40

t 0, 476

2, 94

= = s. Sostituendo nella prima equazione del sistema otteniamo s = 1, 46 0, 476 1, 47 0, 476 ⋅ − ⋅ 2 = 0, 333 m. Ovvero il corpo si ferma a 0,333 m da C.