➁ - Esercizi di riepilogo e di complemento
Serie di funzioni
In tutti gli esercizi si intenda sempre x ∈ R.
1. Determinare il raggio di convergenza delle serie di potenze:
a) X∞ n=0
(n + 1)xn, b) X∞ n=0
xnlog(1 + n), c) X∞ n=0
n!xn, d) X∞ n=0
(2n+ 3n)xn.
2. Determinare il raggio di convergenza delle serie di potenze:
a) X∞ n=1
xn
nn, b) X∞ n=0
1 · 3 · 5 . . . (2n + 1)
n! xn, c)
X∞ n=0
[2 + (−1)n]xn.
3. Determinare il raggio di convergenza delle serie di potenze:
a) X∞ n=0
f (n)xn, b) X∞ n=0
f (n)
n! xn, c) X∞ n=0
n!
f (n)xn, dove f (n) indica un polinomio nella variabile n privo di zeri interi non negativi.
4. Determinare la somma della serie X∞ n=0
(na + b)xn.
5. Determinare il comportamento delle seguenti serie di potenze agli estremi dei rispettivi intervalli di convergenza:
a) X∞ n=2
(−1)n xn
n log n, b) X∞ n=2
(−1)n−1 x2n n −√
n, c) X∞ n=0
(−1)nx2n+1 2n + 1.
6. Determinare, per ciascuna delle seguenti serie, un intervallo [a, b] in cui la convergenza `e uniforme:
a) X∞ n=1
n!(x − 4)n
1 · 3 · 5 . . . (2n − 1), b) X∞ n=1
(n!)2(x + 1)n
(2n)! , c) X∞ n=1
xn
(n + 1) log(n + 1).
7. Dire per quali x ∈ R convergono le serie seguenti, e si determinino intervalli in cui la convergenza `e uniforme:
a) X∞ n=0
1 2n(n + 1)
µex+ 1 ex− 1
¶n
, b)
X∞ n=0
1 n
µx + 1 x2+ 1
¶n
