2001/02 Prova Intermedia Dicembre 01-Compito  1) Determinare il valore dei seguenti limiti: cos

(1)

COMPITI DI MATEMATICA GENERALE AA. 2001/02 Prova Intermedia Dicembre 01-Compito 

1) Determinare il valore dei seguenti limiti: cos ; 1 . sen 1

lim lim

BÄ B

BÄ ∞

B 0

tg

+ 2

/  B B

B Œ  B 

2) Data la funzione log , dopo averne determinato il campo d'esistenza, si log 4

0 B œ B

 B²

calcolino i limiti della funzione nei punti di frontiera di esso.

3) Data la funzione log 1 , dopo averne determinato il campo d'esistenza,

0 B œ 1 B

 B

È È

si determini l'espressione della sua funzione inversa.

4) Si verifichi, mediante la definizione di limite, se è vero che lim .

BÄ1/ ^k^B^"¹^k œ  ∞

5) Determinare lim sapendo che lim 1 e che per

BÄB01 B BÄB00 B † 1 B œ 0 B œ 9 1 B

B Ä B0.

6) Dopo aver stabilito verità o falsità delle proposizioni:

1 : ∪ ∩œ, e a a

2 : V ∪ œV  ∩V  , e a a

3 : ∪ Ï ∩ §, e a a

stabilire se la proposizione c 1 Ê3 o 1 Ê2 d risulta vera oppure falsa.

Ï indica la differenza tra insiemi e .. il complementareV

7) Esaminare i punti di discontinuità della funzione 1 2 .

5 8 4

0 B œ B  † B  B  B  B 

k k

3 2

Prova Intermedia Dicembre 01-Compito 

1) Determinare il valore dei seguenti limiti: arctg sen ; 1 .

2 1 1

lim lim

BÄ B BÄ ∞

B 0

2 2

+ 2

B  B B 1

 Œ  B 

2

2) Data la funzione log 1 , dopo averne determinato il campo d'esistenza, si log 1

0 B œ  B

B 

ˆ ²‰

calcolino i limiti della funzione nei punti di frontiera di esso.

3) Data la funzione 1 log , dopo averne determinato il campo d'esistenza, si 1 log

0 B œ  B

 B

Ë

determini l'espressione della sua funzione inversa.

4) Si verifichi, mediante la definizione di limite, se è vero che log . lim 1

BÄ1

"

B  œ  ∞

k k

5) Determinare lim sapendo che lim 1 e che per

BÄB01 B BÄB00 B † 1 B œ 1 B œ 9 0 B

B Ä B0, .

6) Dopo aver stabilito verità o falsità delle proposizioni:

1 : V ∩ œV  ∩V  , e a a

2 : ∩ ∪§, e a a

(2)

3 : ∩ Ï ∪ œ g a, e  a

stabilire se la proposizione c 2 Ê3 e 1 Ê2 d risulta vera oppure falsa.

Ï indica la differenza tra insiemi e .. il complementareV

7) Esaminare i punti di discontinuità della funzione 1 2 .

4 5 2

0 B œ B  † B  B  B  B 

k k ²

3 2

Gennaio 02 Compito 

1) Determinare il valore del parametro per il quale si ha che 1 3

5 lim 5

BÄ!

 B

#



† B œ " Þ

1 cos

2) Dopo aver calcolato log arctg 3 2 , enunciare, per tale limite, l'op-

2 3

BÄ∞lim

B B #

B    B

  B

portuna definizione.

3) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ B ^& log .B

4) Data 0 B œ /^{B B}^# , dopo aver verificato che la funzione è differenziabile in B œ0, se ne determini l'espressione del polinomio di Mac Laurin di II grado.

5) Data la matrice ed il vettore , si determini per quale val

3 1 1 1

2 4 2

1 4 5 3

œ —œ



â â â â

â 5â â â ore

di è vero che 5  —† œ2†—.

6) Data 0 B œ B /^{) B}, se ne determinino i punti stazionari, se ne studi la natura e si trovino poi tutti i punti di flesso della funzione.

7) Dopo aver trovato le primitive della funzione 0 B œ3  " , calcolare 0 B d .B

B (

B

#

∞

1

8) Data , si determini il valore di per il quale la funzione risulta tg :

:

0 B œ

B

B B Á !

B œ ! 5

5

continua in B œ ! e si verifichi poi, mediante la definizione, che in tale punto la funzione è anche derivabile.

9) Data 0 Bß C œ B /^{C B}^# , determinarne l'espressione del polinomio di Taylor di II grado nel punto 1 1 , sia in forma analitica che in forma vettoriale.ß

10) Dati gli insiemi œ B À˜ log 1ˆ  B^#‰ 1 e ™ œ B À B  B œ !˜ ^# 2 ™, si determini se l'insieme  Ï è aperto.

Gennaio 02 Compito 

1) Determinare il valore del parametro per il quale si ha che 2 1

5 lim 5

BÄ!

B

# cos 1

B œ " Þ

2) Dopo aver calcolato log arctg 3 2 , enunciare, per tale limite, l'op-

3 2

BÄ∞lim

B B #

B B #

B    B

  B

portuna definizione.

3) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œlog B  B⁴.

4) Data 0 B œ /^BB^#, dopo aver verificato che la funzione è differenziabile in B œ0, se ne determini l'espressione del polinomio di Mac Laurin di II grado.

(3)

5) Data la matrice ed il vettore , si determini per quale valor

3 1 1 1

2 2 2

1 4 5 3

œ —œ

â â â â

â 5 â â â e di

5 è vero che  —† œ 8†—.

6) Data 0 B œ B /^{7 B}, se ne determinino i punti stazionari, se ne studi la natura e si trovino poi tutti i punti di flesso della funzione.

7) Dopo aver trovato le primitive della funzione 0 B œ " 2 , calcolare 0 B d .B

B3 (

1

B ∞

8) Data , si determini il valore di per il quale la funzione arctg

: 0

0 B œ

B

B B Á

B œ 5

5

risulta continua in B œ 0 e si verifichi poi, mediante la definizione, che in tale punto la funzione è anche derivabile.

9) Data 0 Bß C œ C /^{B C}, determinarne l'espressione del polinomio di Taylor di II grado nel punto 1 1 , sia in forma analitica che in forma vettoriale.ß

10) Dati gli insiemi œ B À˜ log 1ˆ  B^#‰1 e ™ œ B À B  B œ !˜ ^# ™, si determini se l'insieme  Ï è aperto.

Febbraio 1-02

1) Data la funzione 0 B œ /^{B  B}^# ^{k k}, determinare i punti in cui non risulta derivabile.

2) Data la funzione 0 B œ B⁷log , verificare che esistono intervalli in cui risulta applica-² B bile alla funzione data il Teorema di Rolle, senza determinare esattamente gli estremi di tali intervalli.

3) Data la funzione 0 B œlog B  " , determinare dove essa risulta invertibile nonchè B  "

Œ ²2

l'espressione della sua funzione inversa.

4) Date le funzioni 0 B œ /^B e 1 B œlog , determinare se e dove è vero cheB 0 B œ 9 1 B e se e dove è vero che 1 B œ 9 0 B .

5) Dopo aver calcolato il valore del log 1 sen , enunciare l'opportuna definizio-

BÄ!lim

B   B

B² ne di limite.

6) Dati gli insiemi , e , determinare la relazione che sussiste tra gli insiemi:  ‚

∩V  ∪ ∩V ‚ ∪ ‚∩V  e ∪V  ∩ ∪V ‚ ∩ ‚∪V  , avendo indicato con .. il complementare.V

7) Dopo aver trovato le primitive della funzione 0 B œ / , calcolare 0 B d .B

"  /^B B (

∞

2 !

8) Dati —_" œ "ß "ß " e —2 œ "ß  "ß " , determinare il vettore —−‘3 sapendo che

— —† _" œ2, che e — —₂ sono perpendicolari, e che l l É— œ ^$_#.

9) Determinare i punti di massimo e di minimo della funzione 0 Bß C œ B  C  B  C⁴ ⁴ ² ². 10) Data 0 B œlog , verificare che la retta tangente al grafico della funzione nel punto² B

B œ "

/ è situata tutta al di sotto del grafico della funzione stessa.

(4)

Febbraio 2-02 Compito 

1) Determinare il valore dei seguenti limiti: log 1 arctg ; 1 .

lim sen lim

BÄ0 BÄ ∞+

 B

B  B ^"^B

2) Studiare gli eventuali punti di discontinuità della funzione 1 . 0 B œ B † B 

B  #B  B k k

% $ #

3) Determinare l'equazione della retta tangente alla funzione 0 B œsen log nel punto^# B B œ 1, e stabilire la natura (massimo, minimo, flesso...) di tale punto per la funzione 0 B . 4) Determinare l'andamento del grafico della funzione 3.

0 B œ / 2 / 

B B

5) Data la funzione 3 se ne determini il codominio, dove risulta invertibile, 0 B œ / 2

/ 

B B

nonchè dominio, codominio ed espressione della relativa funzione inversa.

6) Calcolare 2 d . ( 4

3

1 2

B 

B  B B

7) Dati i vettori •" œ 0 Bß C œ Bß Cß B" ˆ $‰ e •# œ 0 Bß C œ Bß Cß C# ˆ #‰, determinare per quali valori Bß C risulta minimo il prodotto •_"†•_#.

8) Considerate le matrici 1 0 1 e 1 0 1 0 , ed i vettori 2 1

1 1 1 1 1 1 1

œºº ºº œºº ºº —œ ß ß 7

e 1 2 1 , trovare il valore di ed per cui risulta: 7 .

˜œ ß ß ß 5 5 7  —† ^T ˜† ^T œºº º12 º

9) Dopo aver determinato verità o falsità delle proposizioni:

: la retta 2B  C œ3 1 ha coefficiente angolare 7 œ  ²₃;

: la retta 3 1 è perpendicolare alla retta 1 1 ;

C œ B  C œ 3B 

‚: la retta 1 passa per i punti 1 0 e 2 ;

C œ /B  ß ß /

Œ/

determinare se risulta vera o falsa la proposizione Ê Ê Ê‚ Í Ê‚ Þ 10) Rappresentare graficamente il campo d'esistenza della funzione : 0 ‘^# Ä‘ß

0 Bß C œ C  Þ ÊB 3

2

B C

Febbraio 2-02 Compito 

1) Determinare il valore dei seguenti limiti: log 1 tg ; .

1 1

lim lim

BÄ B BÄ ∞

B

0  B + Œ "

/   B

2) Studiare gli eventuali punti di discontinuità della funzione . 0 B œ B  #B  B1

B † B  k k

% $ #

#

3) Determinare l'equazione della retta tangente alla funzione 0 B œcos log nel punto^# B B œ 1, e stabilire la natura (massimo, minimo, flesso...) di tale punto per la funzione 0 B . 4) Determinare l'andamento del grafico della funzione 2.

0 B œ / 4 / 

B B

5) Della funzione 2 si determini il codominio, dove risulta invertibile, nonchè 0 B œ / 4

/ 

B B

dominio, codominio ed espressione della relativa funzione inversa.

(5)

6) Calcolare 1 d . ( ⁴ 2

3 2

B 

B  B B

7) Dati i vettori •_" œ 0 Bß C œ B ß Bß C_" ˆ ^# ‰ e •_# œ 0 Bß C œ C ß  Bß  C_# ˆ ^$ ‰, determinare per quali valori Bß C risulta massimo il prodotto •_"†•_#.

8) Considerate le matrici 1 2 1 e 1 1 1 0 , ed i vettori 1 2 3

0 1 0 1 1 1

œ œ —œ ß ß

ºº 7ºº ºº ºº

e 1 1 2 , trovare il valore di ed per cui risulta: 12 .

˜œ ß 5ß ß 5 7  —† ^T ˜† ^T œºº º10 º

9) Dopo aver determinato verità o falsità delle proposizioni:

: la retta 2 1 è perpendicolare alla retta 2 1 ;

C œ B  C œ  B2

: la retta 3C  B œ2 1 ha coefficiente angolare 7 œ  ²₃;

‚: la retta passa per i punti 1 0 e 2 ;

C œ /B  / ß ß /

Œ/

determinare se risulta vera o falsa la proposizione Ê Ê Ê‚ Í Ê‚ Þ 10) Rappresentare graficamente il campo d'esistenza della funzione : 0 ‘^# Ä‘ß

0 Bß C œ B  Þ ËC 3

2

C B

Marzo 02

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ B ^# log B  B.

2) Determinare il valore dei seguenti limiti: 1 cos log ; log .

lim lim sen

BÄ

$ #

# BÄ ∞

0 +

 B B  B  $ B

B B  B

3) Data 0 B œ # sen 3B  B †6 cos 2 , determinarne l'espressione del Polinomio di MacB Laurin di terzo grado e verificare con questo che 0 B µ B3 ^$ per B Ä 0.

4) Verificare se alla funzione 0 B œ B  $B^$ ^# è applicabile il Teorema di Lagrange (o del Valor medio) nell'intervallo c "ß $d, traendo poi le opportune conclusioni.

5) Determinare massimi e minimi, assoluti e relativi, di 0 B œ B † B  " † B  # Þ^# ^$ 6) Dato l'insieme œe1, 2, 3, 4 , si studino le proprietà della relazione : f e Ä, costituita dalle coppie: e œ e 1, 1 ß # # ß $ $ ß, , 1, $ ß 1, # ß #, 1 .f

7) Data la funzione 0 Bß Cß D œ B †sen C  D †log C  B , se ne calcoli il gradiente nel D

#

punto P_! œ  "ß !ß " Þ

8) Data la matrice 1 2 1 , determinare tutti i vettori per i quali 2 1 2

œºº ºº —

 —† œ 1,  " , e verificare che questi sono tutti perpendicolari al vettore P œ "ß ß "1 . 9) Considerate le seguenti proposizioni:

a) : a b& $ B & Ê 0 B $ b) : a b& $ B $ Ê 0 B &

c) : a b$ & B & Ê 0 B $

determinare quali, se ce ne sono, corrispondono ad una definizione di limite, specificando anche di quale limite si tratti.

(6)

10) Dati due insiemi e , si determini la relazione insiemistica che intercorre tra l'insieme  c V  ∩ ∪ V  ∩ d e l'insieme c V  ∪ ∩ V  ∪ d, dove V ÞÞ indica il complementare.

Giugno 1-02

1) Determinare dove la funzione 0 B œlog B log log risulta convessa, sapendo cheB presenta un solo punto di flesso.

2) Determinare il valore dei seguenti limiti: ; .

sen cos 3 sen

lim lim

BÄ

 B B

# BÄ ∞ B #

0 1 cos

+

/  "  B  B

B %  B  B

3) Data la funzione , se ne determini l'espressione del Polinomio di Taylor di 0 B œ 1 "

 B^#

secondo grado in quel punto nel quale la retta tangente alla funzione risulta orizzontale.B!

4) Si applica il Teorema di Lagrange (o del Valor Medio) alla funzione 0 B œ B  B ^# 4 3 nell'intervallo c d"ß , , ottenendo, come Valor Medio, 0 - œ^w 1. Determinare i valori di e ., - 5) Data la matrice œ , sia un vettore di — ‘ avente tutte le componenti uguali

5 ! "

! " 5

" 5 !

â â

$

e non nulle. Determinare il valore di in modo che risulti 5  —† œ2 .—

6) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ B  5 † /^#B, con 5 −‘, sapendo che la funzione ha il suo unico punto di massimo in B œ! 4.

7) Calcolare 1 d .

( ²

1

B  $B 

B B

#

8) Determinare i punti di massimo o minimo per la funzione 0 Bß C œ B  B † C  C^# ^$ ^#. 9) Date 0 B œlog e B 1 B œ /^B, determinare se e quando è vero che 0 B µ 1 B , oppure , 0 B œ 9 1 B oppure .1 B œ 9 0 B

10) Dati due insiemi e , determinare la relazione insiemistica che sussiste tra gli insiemi 

∩ Ï‚ e Ï ∩‚ .

Giugno 2-02

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œÈB † / Þ^B 2) Determinare il valore dei seguenti limiti: tg ; .

lim lim

BÄ # BÄ ∞ #

BB

0 +

B  B /

B B  B

#

3) Data la funzione 0 B œ B  " , determinarne il campo d'esistenza nonchè la specie B  "

k k

#

degli eventuali punti di discontinuità.

4) Sia 0 B œ /^B. Sapendo che il differenziale d0 B_! è pari a 1,5 per un incremento d pariB a 0,5, determinare il valore .B_!

5) Sia 0 B œ B  B^# . Sapendo che la perpendicolare alla tangente ad 0 B in passa per iB_! punti 1 2 e  ß 2ß 1 , determinare B!.

6) Siano dati 1 0 1 0 , 0 e . Determinare i vettori

0 1 0 1 2

œºº ºº œºº ºº ˜œ "ß "ß "ß !

—−‘⁴ che risultano perpendicolari a , che hanno modulo pari a 6, e tali che ˜ È  —† œ.

(7)

7) Calcolare ( ^/ ^# log d .

1 B † B B

8) Data la funzione 0 Bß C œ B †^# e , se ne scriva l'espressione del Polinomio di Taylor di^C II^ grado nel punto B ß C_! _! œ "ß0 .

9) Siano 0 B e 1 B due funzioni derivabili; determinare l'espressione della funzione derivata della funzione J B œ 0 1 B  1 0 B .

0 0 B

10) Dati i tre insiemi œe1 2 3 4 5 , ß ß ß ß f œe1 2 3 , ß ß f ‚œe3 4 5 , si determini se l'ugua-ß ß f glianza: œ  Ï ∪  ‚Ï ∪ ∩‚ è vera solo per i tre insiemi dati oppure, in generale, anche per tre insiemi qualsiasi.

Luglio 02

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 2. 0 B œ / 1

/ 

B B

2) Studiare, sempre per la funzione 2, esistenza ed espressione della funzione 0 B œ / 1

/ 

B B

inversa.

3) Determinare il valore dei seguenti limiti: sen cos 1; 2 3 .

2 3

lim lim

BÄ

# B B

# BÄ ∞ B B

0 +

B  B  

B 

4) Date le funzioni 0 B œ B  B^# e 1 B œ B  B³ ^#, determinare se esistono punti neiB0

quali le due funzioni hanno la stessa retta tangente oppure rette tangenti fra loro parallele.

5) Data 0 B œ / ^B cos 2 , determinarne l'espressione del polinomio di Mac Laurin di IVB grado.

6) Determinare i punti di massimo e/o di minimo relativo della funzione 0 B œ /^{B B}^# ^%, stabilendo poi se si tratti di estremi relativi o anche assoluti.

7) Calcolare ( ¹ sen sen 2 cos 3 d .

0

B  B  B B

8) Date le matrici 1 1 , e , deter-

1 1 7

1 2 1

1

œ  5 œ ‚œ 5  "  "

5  5  "

5  5

ºº ºº 5 ºº ºº

â â

minare se esistono valori del parametro per i quali risuti 5  † œ ‚.

9) La matrice rappresenti l'Hessiana calcolata in un certo punto stazionario P

‡ œ +2 ,

"

ºº ºº ^!

della funzione 0 Bß C . Esprimere opportune condizioni sui parametri e affinchè P risulti,+ , _! se possibile, punto di massimo, di minimo o di sella.

10) Si consideri la relazione : e ‘Ä‘ così definita: B Ce sse C  B 1. Stabilire se tale relazione risulta riflessiva, simmetrica, antisimmetrica e transitiva.

Settembre 1-02

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œlog B  " .

"  B Œ

(8)

2) Studiare, sempre per la funzione 0 B œ log B  " , esistenza ed espressione della fun-

"  B Œ zione inversa, e tracciarne il grafico.

3) Determinare il valore dei seguenti limiti: log 1; 2 .

1 2 3

lim lim

BÄ BÄ∞

B 1 B

B  B 

B   B 

4) Dopo aver determinato i punti di massimo e/o di minimo relativo della funzione 0 B œ B † B  "^# ^$, si stabilisca poi se si tratti di estremi relativi o anche assoluti.

5) Data la funzione 0 B œ /^5†BB^#, determinare il valore del parametro sapendo che il suo5 polinomio di Mac Laurin di II grado ha espressione P_# B œ 1 B  B2 ^#.

6) Data 0 B œ B  5B , determinare il valore del parametro sapendo che per essa vale la5

"  B

#

seguente definizione di limite: a & 0 b$ & : B  $ & Ê 0 B k 1k&.

7) Calcolare d .

cos (

1

%

0 B  " B

# B

8) Data 0 Bß C œ B  C  7 † B † C^# ^# , determinare per quali valori del parametro la fun-7 zione ammette punti di massimo o di minimo relativo.

9) Dati tre generici insiemi , e , determinare sotto quali ipotesi si ha che:  ‚

∪  ‚Ï œ ∪ Ï ∪‚ .

10) Data 6 8 , determinarne il campo d'esistenza e dire se esso è un in- 0 B œ B  B 9

Ë k^% B  k

#

sieme aperto, chiuso o altro.

Settembre 2-02

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ B  B, tenendo presente che

"  B

$

#

la funzione presenta tre punti di flesso.

2) Si trovino le equazioni dell'asintoto obliquo e delle rette tangenti nei punti di flesso della funzione precedente, e si determinino le relazioni che intercorrono tra alcune di queste rette.

3) Determinare il valore dei seguenti limiti: 1 ; 2 3 4 .

sen 4 2

lim lim

BÄ

$

BÄ∞

B B B

B B B

0

 B  "  

B  # 

4) Dire se risulta applicabile il Teorema di Rolle alla funzione 0 B œ B  B nell'intervallo

"  B

2

#

c d0 1 , traendo, nel caso, le opportune conseguenze.ß

5) Date due generiche proposizioni e , trovare una proposizione molto semplice in  — modo che la proposizione non o   Í non Ê— risulti una tautologia.

6) Calcolare ( d .

2

1

" " "

B  B_#  B_$ B

7) Dati i vettori —_" œ 1 2 1 e ß ß —2 œ 2 1 2 , trovare tutti i vettori ad essi perpendicolariß ß — e di modulo pari a 2 È Þ

8) Data la funzione 0 Bß C œ B  C  B C³ ³ 3 , determinarne gli eventuali punti di massimo e/o di minimo.

9) Date le funzioni 0 B œ B  5B^# e 1 B œ B, determinare per quale valore del parametro 5 risulta 0 B µ 1 B per B Ä  ∞ e per quale valore risulta 0 B œ 9 1 B per B Ä1.

(9)

10) Determinare i punti di discontinuità e la loro specie per la funzione 1 .

3 2

0 B œ B 

B  B ^# Dicembre 02

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ /^#B /^B. 2) Determinare l'andamento del grafico della funzione 1 B œ /^#B /^B.

3) Verificare se esistono punti nei quali le rette tangenti ai grafici delle funzioni B_! 0 B e 1 B degli ES. 1 e 2 risultano coincidenti o almeno parallele.

4) Determinare il valore dei seguenti limiti: sen sen ; log .

lim lim sen

BÄ

$ $B #B

$ BÄ∞ #B

0

B  B /  B  /

B  B /  B

5) Data la funzione 0 B œlog^#B 2 log , relativamente a dove risulta invertibile, se neB trovi l'espressione dell'inversa.

6) Data la funzione 0 Bß C œ B  B  C³ ², determinarne gli eventuali punti di massimo e/o di minimo.

7) Data 0 B œarctgˆ ‰B^$ , determinarne l'espressione del polinomio di Mac Laurin di terzo grado.

8) Dati due generici insiemi e , determinare sotto quali condizioni un elemento appartiene  all'intersezione tra l'insieme V  Ï e l'insieme V  ÏV  .

9) Data la matrice 1 2 1 ed il vettore 0 , si determini se esistono

1 1 2 1

œ  œ

ºº  ºº ºº ºº

vettori —œ B ß B ß B" # $ tali che  —† œ e che l l È— œ 2Þ

10) Date 0 B œ1 B² e 1 B œ /^B, determinare se e dove è vero che 0 B µ 1 B , oppure , 0 B œ 9 1 B oppure .1 B œ 9 0 B