Doppio piano inclinato con attrito

Doppio piano inclinato con attrito

Una massa m `e appoggiata su un piano inclinato di un angolo α<sub>1</sub> sul quale pu`o strisciare con attrito dinamico µ1. Al termine del piano inclinato vi `e una sezione orizzontale liscia seguita da un secondo piano inclinato di un angolo α₂ che la massa percorre in salita. Il coefficiente di attrito dinamico vale µ2.

Se la massa parte da una altezza h1

1. con che velocit`a percorre il tratto orizzontale?

2. a che altezza h₂ del secondo piano arriva?

Soluzione 1

Possiamo utilizzare il teorema delle forze vive per risolvere questa parte.

Rivediamo il teorema:

LA→B= Z

γ

F · d~~ s (1)

Dove γ indica il percorso compiuto dal corpo per andare da A a B.

La forza ~F pu`o essere scritta come ~F = m~a e l’accelerazione pu`o essere scomposta nelle sue componenti tangenziali e radiali:

~a = d v(t)

dt ˆe_t+ v²

ρ eˆ_n (2)

Essendo d~s = dsˆe_t, si ha:

LA→B =R_B

A m^dv_dtds =R_B

A m^dv_ds^ds_dtds

=RB

A mv^dv_dsds =RvB

v_A mvdv

= ¹₂v_B² −¹₂v_A² = ECB− EC_A

In questo caso la forza ~F `e data da ~F = m~g + ~Fd, essendo ~Fd la forza di attrito dinamico. Il lavoro fatto dalle due forze per percorrere il primo tratto `e:

L₁ =R (m~g + ~F_d) · d~s

=Rh1/ sin θ1

0 mg(sin θ₁− µ₁cos θ₁)ds

= mgh₁(1 − µ_dcotanθ₁)

(3)

1

Usando il teorema delle forze vive si trova la velocit`a nel tratto orizzon- tale:

mgh1(1 − µdcotanθ1) = 1 2mv²

Soluzione 2

La altezza alla quale risale la massa si trova in maniera equivalente, con la differenza che, in questo caso, sia il lavoro della forza di attrito che quello della forza peso sono negativi:

L₂ = −mgh₂(1 + µ_dcotanθ₂) (4) Siccome il corpo `e fermo sia alla partenza che all’arrivo, il lavoro totale

`e nullo:

L1+ L2 = 0 da cui:

h2 = h1

1 − µdcotanθ1

1 + µ_dcotanθ2

(5)

2