Piano inclinato privo di attrito (vincolo liscio)
F = ma = + P R
VP e’ la forza peso e
RV e’ la reazione vincolare del piano
ˆ ˆ
P i
x= mgsen i
ˆ cos ˆ
P j
y= − mg j R j
Vyˆ = N j ˆ = mg cos ˆ j
x
ˆ 0
R i =
V ( condizione di vincolo liscio )ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
x
y
x x x V
y y y V
F i ma i P i R i F j ma j P j R j
= = +
= = +
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ cos ˆ cos ˆ
x x
y y
F i ma i mgsen i
F j ma j mg j mg j
= =
= = − +
0
x y
a gsen a
=
=
N
mg q
h
l
→ il moto lungo l’asse x e’ uniformemente accelerato
→ il moto lungo l’asse y e’ rettilineo uniforme
2 2 2
2
0
d x gsen dt
d y dt
=
=
v
x= gsen t
le equazioni orarie sono
le condizioni iniziali al tempo
t = 0
sono :1
2x = 2 gsen t
e mai moto lungo l’asse
y
→ non c’e’
x(0) = y(0) = 0
ev
x(0) = v
y(0)= 0
esprimendo vx in funzione di
x
→v
x= 2 gsen x
v
x2 ghx
= l
dato cheh
sen = l
ossia
per
x = l v
x= 2 gh
se il piano e’ privo di attrito la velocita’ con cui il corpo giunge al suolo e’ la
2
2 ct l
= gh
il tempo impiegato per giungere al suolo e’
stessa che avrebbe avuto se fosse caduto lungo la verticale
Caduta di un grave lungo un piano inclinato con attrito
q
h
l RV
N piu’ perpendicolare al piano perche’
alla superficie del piano inclinato si manifesta una componente
- parallela -
ma la reazione vincolare
R
V non e’( vincolo scabro)
mg
ˆ ˆ
P i
x= mgsen i
ˆ cos ˆ
P j
y= − mg j ˆ ˆ cos ˆ
Vy
R j = N j = mg j
( condizione di vincolo scabro )
ˆ ˆ ˆ cos ˆ
ˆ ˆ cos ˆ cos ˆ
x x s
y y
F i ma i mgsen i mg i
F j ma j mg j mg j
= = −
= = − +
ˆ
Vx s
R = − N i
Fa
F = ma = + P R
VF
acos ˆ
Vx s
R = − mg i
la componente normale alla superficie vale ancora
dove e’ il coefficiente di attrito statico
sma ora e’ presente anche un componente lungo l’asse
x
pari ay
cos
R
V= N = mg
ˆ
Vx s
R = − N i
ossias
cos
mgsen mg
max
arctg
s =
il corpo non si muovera’ fino a che : angolo limite :
dal momento in cui il corpo si mettesse in moto entrerebbe in gioco l’attrito radente dinamico
ˆ cos ˆ
d d
F = − N i = − mg i
cos
x d
ma = mgsen − mg
a
x= g sen ( −
dcos )
sono possibili tre situazioni a seconda del valore del coefficiente di
( cos ) = 0
x d
a = g sen −
se
a =
0 si ha :cos =
d
sen
= cos
d
sen tg
=
attrito dinamico e della inclinazione del piano
tg =
dtg
dtg
d0
a = a 0
moto rettilineo uniforme:
moto rettilineo uniformemente accelerato lungo il piano
moto rettilineo uniformemente
decelerato lungo il piano
0 a
esprimendo le possibili situazioni in funzione dell’angolo
q
e di
d si hail corpo potrebbe anche fermarsi prima di
giungere al suolo il corpo scendera’
lungo il piano
muovendosi di moto rettilieo uniforme
