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l Piano inclinato privo di attrito (vincolo liscio)

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Academic year: 2021

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(1)

Piano inclinato privo di attrito (vincolo liscio)

F = ma = + P R

V

P e’ la forza peso e

RV e’ la reazione vincolare del piano

ˆ ˆ

P i

x

= mgsen i

ˆ cos ˆ

P j

y

= − mgj R j

Vy

ˆ = N j ˆ = mg cosˆ j

x

ˆ 0

R i =

V ( condizione di vincolo liscio )

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

x

y

x x x V

y y y V

F i ma i P i R i F j ma j P j R j

 = = +

 

= = +



ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ cos ˆ cos ˆ

x x

y y

F i ma i mgsen i

F j ma j mg j mg j

 

 = =

 

= = − +

 0

x y

a gsen a

 =

 =

N

mg q

h

l

(2)

il moto lungo l’asse x e’ uniformemente accelerato

il moto lungo l’asse y e’ rettilineo uniforme

2 2 2

2

0

d x gsen dt

d y dt

 

 =

  =



v

x

= gsen   t

le equazioni orarie sono

le condizioni iniziali al tempo

t = 0

sono :

1

2

x = 2 gsen   t

e mai moto lungo l’asse

y

non c’e’

x(0) = y(0) = 0

e

v

x

(0) = v

y

(0)= 0

(3)

esprimendo vx in funzione di

x

v

x

= 2 gsen   x

v

x

2 ghx

= l

dato che

h

sen  = l

ossia

per

x = l v

x

= 2 gh

se il piano e’ privo di attrito la velocita’ con cui il corpo giunge al suolo e’ la

2

2 c

t l

= gh

il tempo impiegato per giungere al suolo e’

stessa che avrebbe avuto se fosse caduto lungo la verticale

(4)

Caduta di un grave lungo un piano inclinato con attrito

q

h

l RV

N piu’ perpendicolare al piano perche’

alla superficie del piano inclinato si manifesta una componente

- parallela -

ma la reazione vincolare

R

V non e’

( vincolo scabro)

mg

ˆ ˆ

P i

x

= mgsen i

ˆ cos ˆ

P j

y

= − mgj ˆ ˆ cos ˆ

Vy

R j = N j = mgj

( condizione di vincolo scabro )

ˆ ˆ ˆ cos ˆ

ˆ ˆ cos ˆ cos ˆ

x x s

y y

F i ma i mgsen i mg i

F j ma j mg j mg j

  

 

 = = −

 

= = − +



ˆ

Vx s

R = −  N i

Fa

F = ma = + P R

V

F

a

(5)

cos ˆ

Vx s

R = −  mgi

la componente normale alla superficie vale ancora

dove e’ il coefficiente di attrito statico

s

ma ora e’ presente anche un componente lungo l’asse

x

pari a

y

cos

R

V

= N = mg

ˆ

Vx s

R = −  N i

ossia

(6)

s

cos

mgsen    mg

max

arctg

s

 = 

il corpo non si muovera’ fino a che : angolo limite :

dal momento in cui il corpo si mettesse in moto entrerebbe in gioco l’attrito radente dinamico

ˆ cos ˆ

d d

F = −  N i = −  mgi

(7)

cos

x d

ma = mgsen   − mg

a

x

= g sen (   −

d

cos ) 

sono possibili tre situazioni a seconda del valore del coefficiente di

( cos ) = 0

x d

a = g sen   − 

se

a =

0 si ha :

cos =

d

sen

  

= cos

d

sentg

 

=

attrito dinamico e della inclinazione del piano

(8)

tg   =

d

tg   

d

tg   

d

0

a = a  0

moto rettilineo uniforme:

moto rettilineo uniformemente accelerato lungo il piano

moto rettilineo uniformemente

decelerato lungo il piano

0 a 

esprimendo le possibili situazioni in funzione dell’angolo

q

e di

d si ha

il corpo potrebbe anche fermarsi prima di

giungere al suolo il corpo scendera’

lungo il piano

muovendosi di moto rettilieo uniforme

(9)

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