Doppio piano inclinato con attrito ?

5.20. DOPPIO PIANO INCLINATO CON ATTRITO?

PROBLEMA 5.20

Doppio piano inclinato con attrito ?

Una particella di massa m viene lasciata cadere su un doppio piano inclinato come in Figura (5.10), partendo da fermo e da una altezza h. Se su tutto il piano è presente un at- trito dinamico catatterizzato da un coefficiente µ_dcalcolare sulla base di considerazioni energetiche l’altezza massima raggiunta sul piano a destra. Si supponga che lo spigolo sia regolarizzato e che su di esso non vi sia attrito.

h

θ1 θ2

Figura 5.10.: Il sistema descritto nell’esercizio.

Soluzione

All’inizio e alla fine la particella è ferma, quindi occorre considerare la sola energia potenziale. La differenza tra energia potenziale iniziale e finale deve essere uguale al lavoro fatto dalle forze di attrito. Quindi

mg(h−^h0) =F₁`<sub>1</sub>+F2`2

dove F₁ = µ_dmg cos θ₁e F₂ = µ_dmg cos θ₂sono le forze di attrito sul piano a sinistra e a destra rispettivamente,`<sub>1</sub> = h/ sin θ<sub>1</sub> è il tratto percorso sul piano a sinistra e`2 = h⁰/ sin θ₂quello percorso sul piano a destra. Abbiamo quindi

mg(h−^h0) =µ_dmg

 h

tan θ₁ + ^h0 tan θ₂



da cui

h⁰



1+ ^µd tan θ2



= h



1− ^µd tan θ₁



ed infine

h⁰ =h1−_{tan θ}^µd₁ 1+_{tan θ}^µd

2

<h .

121 versione del 22 marzo 2018