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Academic year: 2021

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(1)

Esame di Geometria 1 — 19 Settembre 2018

NOME, COGNOME e MATRICOLA...

Autorizzo la pubblicazione in rete del risultato dell’esame. Firma...

1. Si consideri, in dipendenza dal parametro reale h, l’endomorfismo F

h

: R[x]

≤3

→ R[x]

≤3

,

definito da F

h

(p

i

(x)) := q

i

(x), i = 1, . . . , 4, con

p

1

(x) = 1 + 3, p

2

(x) = x + x

2

, p

3

(x) = x

2

− x

3

, p

4

(x) = x

3

; q

1

(x) = 1 + hx + (h + 1)x

2

, q

2

(x) = h + x + (1 − h)x

3

, q

3

(x) = h − x

2

, q

4

(x) = x

2

. Al variare di h :

(a) si determini la matrice rappresentativa di F

h

rispetto alla base K = {1, x, x

2

, x

3

};

(b) si determinino gli autovalori di F

h

, si stabilisca se F

0

e F

1

sono diagonalizzabili, e, in caso affermativo, si determini una base di autovettori;

(c) si stabilisca se esiste e, qualora esista, se ` e unico, un endomorfismo G

h

: R[x]

≤3

→ R[x]

≤3

, tale che

G

h

(q

1

(x)) = 1 + x + x

3

, G

h

(q

2

(x)) = 1 + x − x

3

, G

h

(q

3

(x)) = x

2

, G

h

(q

4

(x)) = x

3

.

2. QUESTA E’ LA NUOVA VERSIONE DELL’ESERCIZIO 2 Si consideri l’applicazione lineare

Φ

k

: M

2

(R) → M

2

 a b c d



7→  2c + kd (k + 1)c + kd ka + c ka + 3c + kd

 .

(a) Al variare di k ∈ R si determini una base di ker(Φ

k

) e una di Im(Φ).

(b) Al variare di k ∈ R, si determini una base di ker(Φ

k

)∩Im(Φ) e una di ker(Φ

k

)+Im(Φ).

(c) Per k = 1 si determini la dimensione di ker(Φ

1

◦ Φ

1

), dove Φ

1

◦ Φ

1

´ e l’usuale compo- sizione di applicazioni.

3. QUESTA E’ LA VERSIONE VECCHIASi consideri l’applicazione lineare Φ : M

2

(R) → R

2

 a b

c d



7→  2c + d a + c

 .

(a) Si determini una base di ker(Φ) e una di Im(Φ).

(b) Al variare di k ∈ R, si stabilisca se esiste e, qualora esista, se `e unica, un’applicazione lineare Ψ

k

: M

2

(R) → R

2

, tale che ker(Ψ

k

) = ker(Φ) e Ψ

k

(A

j

) = v

j

, j = 1, 2, con A

1

=

 2k k

−4 8



, A

2

=  0 0 1 −1



, e v

1

=  2k 2



, v

2

=  1 0



.

(c) Si determini una base di Im(Ψ

3

).

(2)

4. Nello spazio affine reale A

4

, si considerino i punti

P

1

= (0, 1, 0, 0), P

2

= (1, ` + 1, 0, 1), Q

1

= (0, 0, 1, 0), Q

2

= (`, 1, 2 − `, `),

con ` parametro reale, e siano r

`

la retta passante per P

1

e P

2

, e s

`

quella passante per Q

1

e Q

2

.

(a) Al variare di `, si determini la posizione relativa di r

`

e s

`

.

(b) Si determini, tramite la sua rappresentazione cartesiana, il sottospazio affine r

−1

∪ s

−1

.

(c) Si consideri ora il punto A = (3, −1, −3, 3); si stabilisca, per i valori ` = 1 e ` = −1,

se esiste una retta t

`

, passante per A e secante entrambe le rette r

`

e s

`

; in caso

affermativo, si determini la direzione di una tale t

`

; in caso negativo, si dimostri che

non esiste una retta suffatta.

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