Retta, luoghi geometrici e fasci – Svolgimento 1.

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Retta, luoghi geometrici e fasci – Svolgimento

1. Date due rette 𝑟 e 𝑠 rispettivamente di equazioni 𝑟 ∶ 𝑦 = 2𝑥 e 𝑠 ∶ 𝑥 + 𝑦 = 2, condurre una retta 𝑠^′ parallela ad 𝑠 in modo che il triangolo limitato da 𝑟, da 𝑠^′ e dall’asse 𝑥 abbia area 12.

𝑚_𝑠 = 𝑚_𝑠^′ = −1 𝑠^′ ∶ 𝑦 = −𝑥 + 𝑞

𝐴 = 𝑠^′ ∩ 𝑥 ∶ 𝑦 = 0 ⟹ 𝑥 = 𝑞 ⟹ 𝐴(𝑞; 0) 𝐵 = 𝑠^′∩ 𝑟 ⟹ { 𝑦 = 2𝑥

𝑦 = −𝑥 + 𝑞 ⟹ 𝑥 = 𝑞

3 ⟹ 𝐵 (𝑞 3;2

3𝑞) 𝐶 = 𝑟 ∩ 𝑥 ∶ 𝑦 = 0 ⟹ 𝑥 = 0 ⟹ 𝐶 = 𝑂(0; 0)

𝒜 = 1

2det (

𝑞 0 1

𝑞 3

2 3𝑞 1

0 0 1

) = 1 2|2

3𝑞²| = 12 ⟹ 𝑞²

3 = 12 ⟹ 𝑞 = ±6 𝑠^′ ∶ 𝑦 = −𝑥 ± 6

2. Dati i punti 𝐴(1; 0) e 𝐵(5; 0), determinare il luogo dei punti 𝐶 per i quali l’area del triangolo 𝐴𝐵𝐶 è uguale a 6.

𝐴 = 1 2det (

1 0 1 5 0 1

𝑥 𝑦 1) = 1

2|5𝑦 − 𝑦| = 2|𝑦| = 6 ⟹ 𝑦 = ±3

3. Determinare il valore di 𝑘 per il quale la retta di equazione (𝑘 − 1)𝑥 + 2𝑘𝑦 = 𝑘 − 2 a. ha distanza ^4√5₅ dal punto (1; 2);

(𝑘 − 1)𝑥 + 2𝑘𝑦 − (𝑘 − 2) = 0 𝑑 = |(𝑘 − 1) + 4𝑘 − (𝑘 − 2)|

√(𝑘 − 1)² + 4𝑘² = |4𝑘 + 1|

√5𝑘²− 2𝑘 + 1 =4√5 5

√5|4𝑘 + 1| = 4√5𝑘²− 2𝑘 + 1 5(16𝑘²+ 8𝑘 + 1) = 16(5𝑘²− 2𝑘 + 1)

(2)

5(8𝑘 + 1) = 16(−2𝑘 + 1)

40𝑘 + 32𝑘 = 16 − 5 ⟹ 72𝑘 = 11 ⟹ 𝑘 = 11 72 b. è parallela all’asse 𝑦;

2𝑘 = 0 ⟹ 𝑘 = 0 c. è perpendicolare all’asse 𝑦.

(𝑘 − 1) = 0 ⟹ 𝑘 = 1

4. Il vertice 𝐴 di un triangolo ha coordinate (−2; 3); si sa che l’altezza uscente dal vertice 𝐶 ha equazione 3𝑥 − 2𝑦 − 8 = 0 e che l’equazione della mediana uscente dallo stesso vertice 𝐶 è 4𝑥 − 5𝑦 + 1 = 0. Calcolare le coordinate dagli altri due vertici del triangolo e la sua area.

ℎ ∶ 3𝑥 − 2𝑦 − 8 = 0 ⟹ 𝑚_ℎ = 3

2⟹ 𝑚_ℎ^⊥ = −2 3 𝑟_𝐴𝐵 ∶ 𝑦 − 3 = −2

3(𝑥 + 2) ⟹ 𝑦 = −2

3𝑥 +5 3 𝑀_𝐴𝐵 = 𝑟_𝐴𝐵 ∩ 𝑚 ∶ 4𝑥 − 5𝑦 + 1 = 0 𝑀_𝐴𝐵 ∶ {2𝑥 + 3𝑦 − 5 = 0

4𝑥 − 5𝑦 + 1 = 0 ⟹ {

2𝑥 = 5 − 3𝑦

10 − 6𝑦 − 5𝑦 + 1 = 0 → 𝑦 = 1 ⟹ 𝑥 = 1 𝑀_𝐴𝐵(1; 1) ⟹ 𝐵(4; −1)

𝐶 = 𝑚 ∩ ℎ

𝐶 ∶ {4𝑥 − 5𝑦 + 1 = 0 3𝑥 − 2𝑦 − 8 = 0 ⟹ {

4𝑥 −15

2 𝑥 + 20 + 1 = 0 → 7

2𝑥 = 21 → 𝑥 = 6 𝑦 =3

2𝑥 − 4 → 𝑦 = 5 𝐶(6; 5)

𝒜 = 1

2det (−2 3 1

4 −1 1

6 5 1) = 1

2|2 + 18 + 20 + 6 + 10 − 12| = 22

(3)

5. Dati i punti 𝐴(−4; 2), 𝐵(2; −6), determinare il punto 𝐶 della retta di equazione 2𝑥 − 𝑦 − 5 = 0 equidistante da 𝐴 e 𝐵. Dopo aver verificato che 𝐴𝐵𝐶 è rettangolo isoscele, determinare il quarto vertice 𝐷 del quadrato 𝐴𝐵𝐶𝐷. Trovare inoltre le rette parallele alla retta 𝐴𝐵 e aventi distanza 1 da essa.

𝐶(𝑥; 2𝑥 − 5) 𝐴𝐶 = 𝐵𝐶

(𝑥 + 4)² + (2𝑥 − 7)² = (𝑥 − 2)² + (2𝑥 + 1)²

𝑥²+ 8𝑥 + 16 + 4𝑥²− 28𝑥 + 49 = 𝑥² − 4𝑥 + 4 + 4𝑥²+ 4𝑥 + 1 20𝑥 = 60 ⟹ 𝑥 = 3 ⟹ 𝐶(3; 1)

𝐴𝐶 = 𝐵𝐶 = √(3 + 4)² + (6 − 7)² = √50 = 5√2 𝐴𝐵 = √36 + 64 = √100 = 10

𝐴𝐵² = 𝐵𝐶²+ 𝐶𝐴² ⟹ 100 = 50 + 50

𝑀_𝐴𝐵(−1; −2) ⟹ 𝐷(−2 − 3; −4 − 1) ⟹ 𝐷(−5; −5) 𝑟_𝐴𝐵 ∶ 𝑦 − 2

−8 =𝑥 + 4

6 ⟹𝑦 − 2

−4 =𝑥 + 4

3 ⟹ 3𝑦 − 6 = −4𝑥 − 16

⟹ 4𝑥 + 3𝑦 + 10 = 0 𝑚_𝐴𝐵 = −4

3 𝑟 ∶ 𝑦 = −4

3𝑥 + 𝑞 ⟹ 𝑅_𝑥(𝑥; −4

3𝑥 + 𝑞) ⟹ 𝑅₀(0; 𝑞) 𝑑(𝑅₀; 𝑟_𝐴𝐵) = 1

|3𝑞 + 10|

5 = 1

|3𝑞 + 10| = 5 ⟹ 3𝑞 + 10 = ±5 𝑞 = −5 ∨ 𝑞 = −5

3 𝑦 = −4

3𝑥 − 5 ∨ 𝑦 = −4

3𝑥 −5 3

(4)

6. I punti 𝐴(4; 4), 𝐵(−2; 2) e 𝐶(2; −4) sono i vertici di un triangolo del quale si chiede l’ortocentro. Determinare inoltre i punti della retta 𝐴𝐵 che hanno distanza uguale a 8 dalla retta 𝑥 − 𝑦 = 0. Calcola la distanza di 𝑃(4; 1) dalla retta di equazione 𝑦 = 𝑥 − 2.

Ortocentro = intersezione delle altezze 𝑚_𝐴𝐵 =2

6 =1

3 ⟹ 𝑚_𝐴𝐵^⊥ = −3

𝑟_𝐶 ∶ 𝑦 + 4 = −3(𝑥 − 2) ⟹ 𝑦 = −3𝑥 + 2 𝑚_𝐵𝐶 = −6

4 = −3

2 ⟹ 𝑚_𝐵𝐶^⊥ = 2 3 𝑟_𝐴 ∶ 𝑦 − 4 =2

3(𝑥 − 4) ⟹ 𝑦 = 2

3𝑥 +4 3 𝐻 ∶ {

𝑦 = −3𝑥 + 2 𝑦 =2

3𝑥 +4 3

⟹2

3𝑥 +4

3 = −3𝑥 + 2 2𝑥 + 4 = −9𝑥 + 6 ⟹ 11𝑥 = 2 ⟹ 𝑥 = 2

11 𝑦 = − 6

11+ 2 =16 11 𝐻 ( 2

11;16 11) 𝑟_𝐴𝐵 ∶ 𝑦 − 2

4 − 2 = 𝑥 + 2

4 + 2 ⟹𝑦 − 2

2 =𝑥 + 2

6 ⟹ 𝑦 = 1

3𝑥 +8 3 𝑄 (𝑥;1

3𝑥 +8 3) 𝑑 = |𝑥 −1

3 𝑥 −8 3|

√2 =|2

3 𝑥 −8 3|

√2 = 8

|1

3𝑥 −4

3| = 4√2 ⟹ |𝑥 − 4| = 12√2 ⟹ 𝑥 = 4 ± 12√2 𝑄(4 ± 12√2; 4 ± 4√2)

𝑑 = |4 − 1 − 2|

√2 =√2

2

(5)

7. I punti 𝐴(4; 4), 𝐵(−2; 2), 𝐶(1; −2) sono i vertici di un triangolo. Determina le coordinate del baricentro 𝐺 del triangolo, quelle dell’ortocentro 𝑇 e calcola l’area di 𝐴𝐵𝐶.

𝐺 (1;4 3) 𝑚_𝐴𝐵 =2

6 =1

3 ⟹ 𝑚_𝐴𝐵^⊥ = −3

𝑟_𝐶 ∶ 𝑦 + 2 = −3(𝑥 − 1) ⟹ 𝑦 = −3𝑥 + 1 𝑚_𝐵𝐶 = −4

3⟹ 𝑚_𝐵𝐶^⊥ =3 4 𝑟_𝐴 ∶ 𝑦 − 4 =3

4(𝑥 − 4) ⟹ 𝑦 = 3

4𝑥 + 1 𝑇 ∶ {

𝑦 = −3𝑥 + 1 𝑦 =3

4𝑥 + 1 ⟹ −3𝑥 + 1 = 3

4𝑥 + 1 ⟹ 𝑥 = 0 ⟹ 𝑦 = 1 𝑇(0; 1)

𝒜 = 1

2det ( 4 4 1

−2 2 1

1 −2 1

) = 1

2|8 + 4 + 4 − 2 + 8 + 8| = 15

8. Dati i punti 𝐴(1; −2) e 𝐵(3; 4), determinare:

a. l’equazione dell’asse del segmento 𝐴𝐵;

𝑀(2; 1) 𝑚_𝐴𝐵 =6

2 = 3 ⟹ 𝑚_𝐴𝐵^⊥ = −1 3 𝑦 − 1 = −1

3(𝑥 − 2) ⟹ 𝑦 = −1

3𝑥 +5 3

b. l’equazione della retta 𝑟 parallela ad 𝐴𝐵 e passante per 𝐶(−1; 0);

𝑟 ∶ 𝑦 = 3(𝑥 + 1) ⟹ 𝑦 = 3𝑥 + 3 ⟹ 3𝑥 − 𝑦 + 3 = 0 c. la distanza 𝑑 tra la retta 𝑟 e 𝐴𝐵.

𝑑(𝐵; 𝑟) = |9 − 4 + 3|

√10 =4

5√10

(6)

9. Determinare i punti della retta 𝑟 ∶ 3𝑥 − 𝑦 + 1 = 0 che hanno distanza uguale a 3√2 dalla retta 𝑥 + 𝑦 = 0.

𝑃(𝑥; 3𝑥 + 1) 𝑑 = |𝑥 + 3𝑥 + 1|

√2 =|4𝑥 + 1|

√2 = 3√2 ⟹ |4𝑥 + 1| = 6 4𝑥 = 5 ∨ 4𝑥 = −7 ⟹ 𝑥 = 5

4∨ 𝑥 = −7 4 𝑃₁(5

4;19

4 ) ∨ 𝑃₂(−7

4; −17 4)

10. Trova la retta 𝑡 passante per 𝐴(2; 3) e perpendicolare alla retta 2𝑥 − 3𝑦 + 3 = 0.

Determina su 𝑡 il punto 𝑃 di ascissa 𝑥 = −2 e calcola l’area del triangolo 𝐴𝑃𝐶 essendo 𝐶(3; 3).

𝑚_𝑡^⊥ =2

3 ⟹ 𝑚_𝑡 = −3 2 𝑡 ∶ 𝑦 − 3 = −3

2(𝑥 − 2) 𝑡 ∶ 𝑦 = −3

2𝑥 + 6 ⟹ 𝑃(−2; 9) ∈ 𝑡 𝒜 = 1

2det ( 2 3 1

−2 9 1

3 3 1) = 1

2|18 + 9 − 6 − 27 − 6 + 6| = 3

11. Nel triangolo di vertici 𝐴(𝑘; 0), 𝐵(3𝑘; −2), 𝐶(7; 5), il baricentro appartiene alla retta 𝑥 + 𝑦 − 6 = 0. Determina le coordinate del baricentro e l’area del triangolo.

𝐺 (4𝑘 + 7

3 ; 1) ∈ 𝑟 ∶ 𝑥 + 𝑦 − 6 = 0 4𝑘 + 7

3 + 1 − 6 = 0 ⟹ 4𝑘 + 7

3 = 5 ⟹ 4𝑘 + 7 = 15 ⟹ 𝑘 = 2 ⟹ 𝐺(5; 1) 𝐴(2; 0) , 𝐵(6; −2), 𝐶(7; 5)

𝒜 = 1

2det (2 0 1 6 −2 1

7 5 1) = 1

2|−4 + 30 + 14 − 10| = 15

(7)

12. Calcola il luogo geometrico dei punti del piano che hanno distanza ³

√5 dalla retta di equazione 2𝑥 + 𝑦 + 3 = 0 e rappresenta tale luogo.

𝑑 = |2𝑥 + 𝑦 + 3|

√5 = 3

√5⟹ |2𝑥 + 𝑦 + 3| = 3 2𝑥 + 𝑦 = 0 ∨ 2𝑥 + 𝑦 + 6 = 0