TEMA D’ESAME 04-03-2015
Scrivere gli assiomi di Poisson
Sia N una v.a poissoniana di parametri : scriverne la legge di probabilità nonché calcolare E(N) e Var(N)
Di quali proprietà gode N?
Sia ora N il numero di difetti microstrutturali presenti in una porzione di filo metallico lunga metri. Qual è l’unità di misura di e quella di E(N)?
Come si distribuisce la v.a. D che misura la distanza fra un difetto e il successivo?
Se =20 qual è la lunghezza minima del filo metallico suddetto affinchè la probabilità di contare almeno un difetto nella porzione di filo sia maggiore o uguale allo 0,999?
TEMA D’ESAME 23/09/2011
Sia Xi il tempo, misurato in ore, che intercorre fra l’arrivo di spam successivi ad un indirizzo e-mail durante il mese di agosto. Le Xi siano indipendenti ed equidistribuite come delle esponenziali di parametro . Indicare l’unità di misura di
Calcolare E(Xi) e var(Xi) Calcolare la densità di X1+X2.
Come si distribuisce (esattamente) la v.a. Sn=X1+X2+…+Xn. Quale proprietà caratterizza la v.a. esponenziale?
Riportiamo alcuni valori del c.c. di dimensione 89 osservato relativo alle attese fra spam successive misurate in ore: 2,16666666 2,8666666 17,45 16,65 1,2666666 ….
La frequenza assoluta delle attese osservate maggiori di 5 è 35, quella per le attese maggiori di 3 è 57 mentre per le attese maggiori di 8 è 19. E’ possibile utilizzando i dati sopra riportati, farsi un’idea qualitativa per avere indizi per capire se la proprietà di cui sopra è verificata?
TEMA D’ESAME 10-05-2013
Sia X~unif[-ϑ,0], (ϑ>0) ed X ( X1, … , Xn) un c.c da X.
Scrivere la densità fX(x ;ϑ ) e la funzione di distribuzione cumulativa
FX(x ; ϑ ) .
Calcolare E(X) e var(X).
Calcolare la densità Y2=X1+X2
Indicare, motivando brevemente la densità approssimata di Y12=X1+ … + X12.
Calcolare la densità di W=min{X1,X2}
Scrivere la disuguaglianza di Cebicev per una v.a. D, specificando le ipotesi sotto le quali vale.
Scrivere sulla base di X uno stimatore per la quantità ϑ, dimostrandone le proprietà.
Ricavare un intervallo di confidenza I'γ(X ) di livello γ per ϑ.
Utilizzando la disuguaglianza di Cebicev ricavare un intervallo di confidenza I' 'γ(X ) di livello almeno γ. Per semplicità di calcolo, se si desidera è possibile usare l’espressione asintotica del valore atteso e della varianza dello stimatore di ϑ.
Siao ora A l’evento “l’intervallo I'γ(X ) contiene ϑ” Si definisca la v.a.
C=IA(ω) che prende il valore 1 se si verica A e zero altrimenti. Indicato con ε il parametro che compare nella legge C. Scrivere la legge di probabilità e il contatore di C.
Se γ=0,75 e vengono costruiti 200 intervalli di confidenza. Quali valori ci aspettiamo di osservare probabilmente della v.a. 2001 ∑
i=1 200
Ci .
