(1)Complementi di Matematica cdl in Informatica modulo Analisi - 8 Aprile 2009 Tema A 1) Data la funzione f (x, y

Complementi di Matematica cdl in Informatica

modulo Analisi - 8 Aprile 2009 Tema A

1) Data la funzione

f (x, y) = (y + 1)²(y + x²− 2x + 1)

a) determinarne gli estremi

b) scrivere la formula di Taylor al secondo ordine col resto di Peano con centro nel punto (0,1)

c) Calcolare la derivata direzionale nella direzione del vettore v = (2, 3), nel punto P = (0, 1).

2) Sia D =

½

(x, y) ∈ R²| 1 ≤ xy ≤ 4, 1 2 ≤ y

x ≤ 5

¾

. Disegnare D e calcolare

l’integrale Z Z

D

4³ log(y

x)´₃ dxdy

3) Risolvere i problemi di Cauchy

C1)





y⁰= y²− 1 (x²− 1) y(0) = 1

C2)





y⁰= y²− 1 (x²− 1) y(0) = 2 precisando l’intervallo di definizione delle soluzioni trovate.

4) Risolvere le seguenti equazioni differenziali

a) y⁰= 2xy − (1 − 2x)e^x ; b) y⁰⁰− 25y = 0

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