(1)Complementi di Matematica cdl in Informatica Primo compitino (Analisi) 26 aprile 2010 Tema A Cognome Nome Matr

Complementi di Matematica cdl in Informatica

Primo compitino (Analisi) 26 aprile 2010 Tema A

Cognome Nome Matr.

Le risposte saranno ritenute valide solo se giustificate (riportare i passaggi principali).

1) Risolvere i problemi di Cauchy, precisando l’intervallo di definizione delle soluzioni trovate

A) (

y⁰= y − 2x x + 1

y(0) = 6 ; B)

½ y⁰ = e^y+x+2 y(−2) = − log 3

C)



 y⁰=

√3

x + 2 (y + 5) x(x + 4) y(−1) = −5

D)





y⁰⁰− 25y⁰ = 0 y(0) = 2 y⁰(0) = 50

2) Calcolare, se esistono, i seguenti limiti (giustificare le risposte)

a) lim

(x,y)→(0,0)

y³

x²+ y²; b) lim

(x,y)→(0,0)

4xy x²+ y²

3) Data la funzione

f (x, y) =p

x + 2y + log(2 − x²y)

a) determinare e disegnare il dominio D;

b) scrivere la formula di Taylor con centro in P = (0, 2), arrestata al secondo ordine col resto di Peano;

c) scrivere l’equazione del piano tangente nel punto Q = (0, 2, f (0, 2));

d) calcolare le derivate direzionali di f nel punto P = (0, 2) nei versori paralleli alla retta x + 5y + 3 = 0;

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Complementi di Matematica cdl in Informatica

Primo compitino (Analisi) 26 aprile 2010 Tema B

Cognome Nome Matr.

Le risposte saranno ritenute valide solo se giustificate (riportare i passaggi principali).

1) Risolvere i problemi di Cauchy, precisando l’intervallo di definizione delle soluzioni trovate

A) (

y⁰= y − 4x x + 2

y(1) = 3 ; B)

½ y⁰ = e^x+y−1 y(1) = − log 2

C)



 y⁰=

√3

x + 2 (y − 4) x(x + 3) y(−1) = 4

D)





y⁰⁰− 16y⁰= 0 y(0) = −1 y⁰(0) = 32

2) Calcolare, se esistono, i seguenti limiti (giustificare le risposte) a) lim

(x,y)→(0,0)

x³

x²+ y²; b) lim

(x,y)→(0,0)

3xy x²+ y²

3) Data la funzione

f (x, y) =p

x − 2y + log(1 − x²y)

a) determinare e disegnare il dominio D;

b) scrivere la formula di Taylor con centro in P = (0, −2), arrestata al secondo ordine col resto di Peano;

c) scrivere l’equazione del piano tangente nel punto Q = (0, −2, f (0, −2));

d) calcolare le derivate direzionali di f nel punto P = (0, −2) nei versori paralleli alla retta x − 5y + 7 = 0;

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