(1)Complementi di matematica, modulo di Analisi - Analisi Complementi 22 settembre 2010 1.(N.O.) Risolvere il seguente problema di Cauchy y0 = (cos x)y + 1 (x − 3)2esin x y(0

Complementi di matematica, modulo di Analisi - Analisi Complementi 22 settembre 2010

1.(N.O.) Risolvere il seguente problema di Cauchy y⁰ = (cos x)y + 1

(x − 3)²e^{sin x} y(0) = 1.

2.(N.O.) Risolvere

y⁰⁰ + 4y = 0 y(0) = 1 y⁰(0) = 0.

3.

a) Determinare i punti stazionari (precisandone la natura) della funzione f (x, y) = 1

3x³ + 1

2y²− 2xy − 3x + 3y

b) Calcolare la derivata direzionale di f nel punto (1, 0) nella direzione (1, 3).

4. Sia

D = {(x, y) ∈ R²| x²+ y² ≤ 4, x ≤ y}.

Disegnare D e calcolare Z Z

D

x dxdy

5. (V.O) Stabilire se le seguenti serie numeriche convergono a)

X∞ 1

(−1)^kcos1

k b)

X∞ 1

n

2ⁿ c) X∞

1

(−1)^klog(1 + 1 k)

6. (V.O.) Determinare l’insieme di convergenza della seguente serie di potenze X∞

1

1

k²(x − 5)^k