RISOLUZIONE 1. A `e falsa, basta considerare la funzione f (x) = |x|, continua in [

RISOLUZIONE

1. A `e falsa, basta considerare la funzione f (x) = |x|, continua in [ 1, 1] ma non derivabile in x 0 = 0.

B `e vera. Essendo la funzione continua nell’intervallo chiuso e limitato [ 1, 1], dal Teorema di Weierstrass, esistono x ₁ , x ₂ 2 [ 1, 1] punti di massimo e di minimo per f(x) in [ 1, 1]. Posto m = f (x 1 ) e M = f (x 2 ), risulta allora m  f(x)  M per ogni x 2 [ 1, 1] e quindi f(x) limitata in [ 1, 1].

2. A `e vera. Infatti, essendo la funzione derivabile in x = 0 risulta anche continua in tale punto e dunque lim

x!0 f (x) = f (0) = 0.

B `e falsa. Ad esempio la funzione f (x) = sin x `e derivabile in x = 0 con f (0) = 0 mentre

x!0 lim f (x)

x = lim

x!0

sin x x = 1.

3. A `e vera. Infatti, essendo f (x) pari si ha che per ogni x 2 R risulta f ⁰ ( x) = lim

h !0

f ( x + h) f ( x)

h = lim

h !0

f (x h) f (x)

h = lim

k !0

f (x + k) f (x)

k = f ⁰ (x)

dove nell’ultimo limite abbiamo posto k = h.

B `e falsa. Consideriamo per esempio la funzione pari e derivabile f (x) = cos x e il punto x ₀ = 0.

Abbiamo che f (0) = 1, f ⁰ (0) = sin 0 = 0 e quindi che f (0) + f ⁰ (0)x = 1 ma risulta f (x) = 1 per ogni x = 2k⇡ con k 2 Z. Altrimenti detto, la retta tangente al grafico di cos x nel punto x ₀ = 0 intercetta il grafico di sin x in infiniti punti.

4. Determiniamo per quali valori di ↵, 2 R la funzione f(x) =

( ↵ log(cos x)+x sin x

x per x > 0

e ^x 1 per x  0

risulta continua in x 0 = 0. Abbiamo

x!0 lim f (x) = lim

x!0 e ^x 1 = 0 = f (0)

per ogni 2 R. Mentre, essendo per x ! 0, sin x = x + o(x) e log(cos x) = (cos x 1) + o(cos x 1) = ^x ₂

+ o(x ² ), si ottiene

x lim !0

f (x) = lim

x !0

↵ log(cos x) + x sin x

x = lim

x !0

(1 ^↵ ₂ )x ² + o(x ² )

x = 0

per ogni ↵ 2 R. Dunque f(x) risulter`a continua in x 0 = 0 per ogni ↵, 2 R.

Riguardo alla derivabilit` a, abbiamo che la funzione ammette derivata sinistra in x ₀ = 0 con f ⁰ (0) = per ogni 2 R in quanto

x!0 lim

f (x) f (0)

x = lim

x!0

e ^x 1

x =

Riguardo alla derivata destra, risulta

x lim !0

f (x) f (0)

x = lim

x !0

2 log(cos x) + x sin x

x ² = lim

x !0

(1 ^↵ ₂ )x ² + o(x ² )

x ² = 1 ^↵ ₂

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per ogni ↵ 2 R. La funzione ammette pertanto derivata destra in x 0 = 0 con f ₊ ⁰ (0) = 1 ^↵ ₂ . Ne segue che la funzione risulta derivabile in x ₀ = 0 per ogni ↵, 2 R tali che = 1 ^↵ ₂ .

5. Abbiamo che la funzione f (x) = ( p

1+x 1

x

se x > 0

sin( x) se x  0 risulta continua in x ₀ = 0 se e solo se

↵ < 1, per ogni 2 R. Infatti si ha

x lim !0 f (x) = lim

x !0 sin( x) = 0 = f (0) per ogni 2 R. Mentre, ricordando che per x ! 0 risulta p

1 + x 1 ⇠ ^x ₂ , si ottiene

x!0 lim

f (x) = lim

x!0

p 1 + x 1

x ^↵ = lim

x!0

x 2

x ^↵ = lim

x!0

1 2x ^{↵ 1} =

8 >

<

> :

+ 1 se ↵ > 1

1

2 se ↵ = 1 0 se ↵ < 1 Dunque f (x) risulter` a continua in x ₀ = 0 se e solo se ↵ < 1, qualunque sia 2 R.

Riguardo alla derivabilit` a osserviamo innanzitutto che per ↵ 1, 2 R, la funzione non `e continua e dunque nemmeno derivabile in x ₀ = 0. Se ↵ < 1 abbiamo che la funzione ammette derivata sinistra in x 0 = 0 con f ⁰ (0) = in quanto

x lim !0

f (x) f (0)

x = lim

x !0

sin( x)

x =

per ogni 2 R. Riguardo alla derivata destra, per ↵ < 1, risulta

x lim !0

f (x) f (0)

x = lim

x !0

p 1 + x 1

x ^↵+1 = lim

x !0

x 2

x ^↵+1 = lim

x !0

1 2x ^↵ =

8 >

<

> :

+ 1 se ↵ > 0

1

2 se ↵ = 0 0 se ↵ < 0 e quindi che la funzione ammette derivata destra in x 0 = 0 con f ₊ ⁰ (0) = 0 per ↵ < 0 mentre f ₊ ⁰ (0) = ¹ ₂ per ↵ = 0. Avremo allora che la funzione risulta derivabile per ogni ↵ < 0 e = 0 ma anche per ↵ = 0 e = ¹ ₂ .

6. Studiamo la continuit` a e la derivabilit` a della funzione f (x) =

( _log(1+x

)+x sin x

x

per x > 0 sinh( x) per x  0 nel punto x ₀ = 0 al variare di ↵, 2 R. Abbiamo che

x!0 lim f (x) = lim

x!0 sinh( x) = 0 = f (0)

per ogni 2 R. Mentre, essendo per x ! 0, sin x = x + o(x) e log(1 + x ² ) = x ² + o(x ² ) si ottiene log(1 + x ² ) + x sin x = 2x ² + o(x ² )

e dunque

x lim !0

f (x) = lim

x !0

log(1 + x ² ) + x sin x

x ^↵ = lim

x !0

2x ² + o(x ² )

x ^↵ = lim

x !0

2 x ^{↵ 2} =

8 >

<

> :

0 se ↵ < 2

2 se ↵ = 2

+ 1 se ↵ > 2

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per ogni ↵ 2 R. Dunque f(x) risulter`a continua in x 0 = 0 solo per ↵ < 2.

Riguardo alla derivabilit` a, abbiamo che la funzione ammette derivata sinistra in x ₀ = 0 con f ⁰ (0) = per ogni 2 R poich´e

x lim !0

f (x) f (0)

x = lim

x !0

sinh( x)

x =

essendo sinh y ⇠ y per y ! 0. Riguardo alla derivata destra, per ↵ < 2, dagli sviluppi sopra risulta

x lim !0

f (x) f (0)

x = lim

x !0

log(1 + x ² ) + x sin x

x ^↵+1 = lim

x !0

2x ² + o(x ² ) x ^↵+1

= lim

x !0

2 x ^{↵ 1} =

8 >

<

> :

0 se ↵ < 1 2 se ↵ = 1 + 1 se ↵ > 1

Quindi la funzione ammette derivata destra in x ₀ = 0 per ogni ↵  1 con f + ⁰ (0) = 0 se ↵ < 1 e f ₊ ⁰ (0) = 2 se ↵ = 1. Ne segue che la funzione risulta derivabile in x ₀ = 0 per ↵ < 1 e = 0 e per ↵ = 1 e = 2.

7. Studiamo la continuit` a e la derivabilit` a della funzione f (x) =

( sinh(x ^↵ ) per x > 0

tan( x) per x  0 in x 0 = 0 al variare di ↵, 2 R. Abbiamo che

x!0 lim f (x) = lim

x!0 tan( x) = 0 = f (0)

per ogni 2 R. Mentre, osservato che per x ! 0 ⁺ si ha x ^↵ ! 0 se ↵ > 0, x ^↵ ! 1 se ↵ = 0 e x ^↵ ! +1 se ↵ < 0, otteniamo

x lim !0

f (x) = lim

x !0

sinh(x ^↵ ) = 8 >

<

> :

0 se ↵ > 0 sinh 1 se ↵ = 0 + 1 se ↵ < 0 Dunque f (x) risulter` a continua in x ₀ = 0 solo per ↵ > 0 e ogni 2 R.

Riguardo alla derivabilit` a, osserviamo innanzitutto che se ↵  0 la funzione non risulta continua e quindi nemmeno derivabile in x ₀ = 0, qualunque sia 2 R. Per ↵ > 0 abbiamo che la funzione ammette derivata sinistra in x ₀ = 0 con

f ⁰ (0) = lim

x!0

f (x) f (0)

x = lim

x!0

tan( x)

x =

per ogni 2 R. Riguardo alla derivata destra, essendo per x ! 0, sinh(x ^↵ ) ⇠ x ^↵ per ogni ↵ > 0, risulta

x!0 lim

f (x) f (0)

x = lim

x!0

sinh(x ^↵ )

x = lim

x!0

x ^{↵ 1} = 8 >

<

> :

0 se ↵ > 1 1 se ↵ = 1 + 1 se ↵ < 1

Quindi la funzione ammette derivata destra in x ₀ = 0 per ogni ↵ 1 con f ₊ ⁰ (0) = 0 se ↵ > 1 e f ₊ ⁰ (0) = 1 se ↵ = 1. Ne segue che la funzione risulta derivabile in x ₀ = 0 per ↵ > 1 e = 0 con f ⁰ (0) = 0 ma anche per ↵ = = 1 con f ⁰ (0) = 1.

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8. Determiniamo per quali valori di ↵, 2 R la funzione f(x) =

( _cosh(x

) 1

x per x > 0

p

1 + x p

1 + x per x  0 risulta continua in x 0 = 0. Per ogni 2 R abbiamo

x!0 lim f (x) = lim

x!0

p

1 + x p

1 + x = 0 = f (0)

mentre, osservato che per x ! 0 ⁺ si ha x ^↵ ! +1 per ↵ < 0 e x ^↵ = 1 per ↵ = 0, abbiamo che

x!0 lim

f (x) = lim

x!0

cosh(x ^↵ ) 1

x = + 1

per ogni ↵  0. Essendo invece x ^↵ ! 0 per ↵ > 0 e x ! 0 ⁺ , e ricordando che cosh y 1 ⇠ ^y ₂

per y ! 0, per ↵ > 0 otteniamo che

x!0 lim

f (x) = lim

x!0

cosh(x ^↵ ) 1

x = lim

x!0

x

2

x = lim

x!0

x ^{2↵ 1}

2 =

8 >

<

> :

0 se ↵ > ¹ ₂

1

2 se ↵ = ¹ ₂ + 1 se ↵ < ¹ ₂ Dunque f (x) risulter` a continua in x ₀ = 0 per ↵ > ¹ ₂ e ogni 2 R.

Riguardo alla derivabilit` a, osserviamo innanzitutto che per x ! 0 risulta p

1 + x p

1 + x = 1 + ^x ₃ + o(x) (1 + ₃ ^x + o(x)) = ¹ ₃ x + o(x) e dunque che

x lim !0

f (x) f (0)

x = lim

x !0

p

1 + x p

1 + x

x = lim

x !0 1

3 x + o(x)

x = ¹ ₃

per ogni 2 R. Possiamo allora concludere che la funzione ammette derivata sinistra in x 0 = 0 con f ⁰ (0) = ¹ ₃ per ogni 2 R. Riguardo alla derivata destra, per ogni ↵ > ¹ ₂ risulta

x lim !0

f (x) f (0)

x = lim

x !0

cosh(x ^↵ ) 1

x ² = lim

x !0

x ^{2↵ 2}

2 =

8 >

<

> :

0 se ↵ > 1

1

2 se ↵ = 1 + 1 se ↵ < 1

Quindi la funzione ammette derivata destra in x ₀ = 0 per ogni ↵ 1 con f ₊ ⁰ (0) = 0 se ↵ > 1 e f ₊ ⁰ (0) = ¹ ₂ se ↵ = 1. Ne segue che la funzione risulta derivabile in x 0 = 0 per ↵ > 1 e = 1 con f ⁰ (0) = 0 ma anche per ↵ = 1 e = ¹ ₂ con f ⁰ (0) = ¹ ₂ .

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